1、2019年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理工類）本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第卷1至2頁，第卷3至5頁。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第卷注意事項：1每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件、互斥，那么如果事件、相互獨立，那么圓柱的體積公式，其中

2、表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設集合，則ABCD2設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為A2B3C5D63設，則“”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，輸出的值為A5B8C24D295已知拋物線的焦點為，準線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為原點），則雙曲線的離心率為ABCD6已知，則的大小關系為ABCD7已知函數是奇函數，將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象

3、對應的函數為若的最小正周期為，且，則ABCD8已知，設函數若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為ABCD2019年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理工類）第卷注意事項：1用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2本卷共12小題，共110分。二填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9是虛數單位，則的值為_10的展開式中的常數項為_11已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_12設，直線和圓（為參數）相切，則的值為_13設，則的最小值為_14在四邊形中，點在線段的延長線

4、上，且，則_三解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）在中，內角所對的邊分別為已知，（）求的值；（）求的值16（本小題滿分13分）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立（）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；（）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發生的概率17（本小題滿分13分）如圖，平面，（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（

5、）若二面角的余弦值為，求線段的長18（本小題滿分13分）設橢圓的左焦點為，上頂點為已知橢圓的短軸長為4，離心率為（）求橢圓的方程；（）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上若（為原點），且，求直線的斜率19（本小題滿分14分）設是等差數列，是等比數列已知（）求和的通項公式；（）設數列滿足其中（i）求數列的通項公式；（ii）求20（本小題滿分14分）設函數為的導函數（）求的單調區間；（）當時，證明；（）設為函數在區間內的零點，其中，證明一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】D【解析】【分析】先求，再求。【詳解】因為，所以.

6、故選D。【點睛】集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構成，能化簡的要先化簡，同時注意數形結合，即借助數軸、坐標系、韋恩圖等進行運算2.設【答案】C【解析】【分析】畫出可行域，用截距模型求最值。【詳解】已知不等式組表示的平面區域如圖中的陰影部分。目標函數的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標函數在點處取得最大值。由，得，所以。故選C。【點睛】線性規劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域，分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數最值或范圍即：一畫，二移，三求3.【答案】B【解析】【

7、分析】分別求出兩不等式的解集，根據兩解集的包含關系確定.【詳解】，即，等價于，故推不出；由能推出。故“”是“”的必要不充分條件。故選B。【點睛】充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：根據pq，qp進行判斷；(2)集合法：根據由p，q成立的對象構成的集合之間的包含關系進行判斷；(3)等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷這個方法特別適合以否定形式給出的問題4.【答案】B【解析】【分析】根據程序框圖，逐步寫出運算結果。【詳解】詳解：，結束循環，故輸出。故選B。【點睛】解決此類型問題時要注意：要明確是當型循環結構，還是直到型循環結構，根據各自的特點執行循

8、環體；要明確圖中的累計變量，明確每一次執行循環體前和執行循環體后，變量的值發生的變化；要明確循環體終止的條件是什么，會判斷什么時候終止循環體5.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出來，即可根據雙曲線離心率的定義求得離心率。【詳解】的方程為，雙曲線的漸近線方程為，故得，所以，所以。故選D。【點睛】雙曲線的離心率。6【答案】A【解析】【分析】利用利用等中間值區分各個數值的大小。【詳解】，故，所以。故選A。【點睛】利用指數函數、對數函數的單調性時要根據底數與的大小區別對待。7.【答案】A【解析】【分析】只需根據函數性質逐步得出值即可。【詳解】為奇函數，可知，由可得；把其圖象上各點的橫坐標伸長到原

9、來的倍，得，由的最小正周期為可得，由，可得，所以，。故選C。【點睛】在處有定義的奇函數必有。8.【答案】C【解析】【分析】先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉化為在上恒成立。【詳解】首先，即，當時，當時，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，易知為函數在唯一的極小值點、也是最小值點，故，所以。綜上可知，的取值范圍是。故選C。【點睛】在上恒成立，等價于；在上恒成立，等價于。第卷二.填空題：本大題共6小題.9.是虛數單位，則的值為_.【答案】【解析】【分析】先化簡復數，再利用復數模的定義求所給復數的模。【詳解】解法一：。解法二：。【點睛】所以解答與復數概念或運算有關的問題時，需

10、把所給復數化為代數形式，即abi(a，bR)的形式，再根據題意求解10.是展開式中的常數項為_.【答案】【解析】【分析】根據二項展開式的通項公式得出通項，根據方程思想得出的值，再求出其常數項。【詳解】，由，得，故所求的常數項為.【點睛】二項式中含有負號時，要把負號與其后面的字母看作一個整體，計算中要特別注意符號。11.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_.【答案】【解析】【分析】根據棱錐的結構特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑。【詳解】四棱錐的高為，故圓柱高為，圓柱的底面半徑為，故其

11、體積為。【點睛】圓柱的底面半徑是棱錐底面對角線長度的一半、不是底邊棱長的一半。12.設，直線和圓（為參數）相切，則的值為_.【答案】【解析】【分析】根據圓的參數方程確定圓的半徑和圓心坐標，再根據直線與圓相切的條件得出滿足的方程，解之解得。【詳解】圓心坐標為，圓的半徑為，所以，即，解得。【點睛】直線與圓的位置關系可以使用判別式法，但一般是根據圓心到直線的距離與圓的半徑的大小作出判斷。13.設，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】把分子展開化為，再利用基本不等式求最值。【詳解】，等號當且僅當，即時成立。故所求的最小值為。【點睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立。14.在四邊形中

12、，點在線段的延長線上，且，則_.【答案】【解析】【分析】可利用向量的線性運算，也可以建立坐標系利用向量的坐標運算求解。【詳解】解法一：如圖，過點作的平行線交于，因為，故四邊形為菱形。因為，所以，即.因為，所以.解法二：建立如圖所示的直角坐標系，則，。因為，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為。由得，所以所以。【點睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標法，在便于建立坐標系的問題中使用坐標方法更為方便。三.解答題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內角所對邊分別為.已知，.（）求的值；（）求的值.【答案】（）（）【解析】【分析】()由題意結合

13、正弦定理得到的比例關系，然后利用余弦定理可得的值()利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【詳解】（）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因為，得到，.由余弦定理可得.（）解：由（）可得，從而，故【點睛】本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理余弦定理等基礎知識.考查計算求解能力.16.設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；（）設為事件“上學期

14、間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發生的概率.【答案】（）見解析；（）【解析】【分析】()由題意可知分布列為二項分布，結合二項分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項分布的期望公式求解數學期望即可；()由題意結合獨立事件概率公式計算可得滿足題意的概率值.【詳解】()因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數學期望.()設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由()知：.【點睛

15、】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.17.如圖，平面，.（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值為，求線段的長.【答案】（）見證明；（）（）【解析】【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標系()利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關系即可證明線面平行；()分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；()首先確定兩個半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計算公式得到關于CF長度的方程，解方程可得CF的長度.【詳解】依題意，可以

16、建立以A為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系(如圖)，可得.設，則.()依題意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因為直線平面，所以平面. ()依題意，設為平面BDE的法向量，則，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.()設為平面BDF的法向量，則，即.不妨令y=1，可得.由題意，有，解得.經檢驗，符合題意所以，線段的長為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.18.設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為

17、.（）求橢圓的方程；（）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.【答案】（）（）或.【解析】【分析】()由題意得到關于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；()聯立直線方程與橢圓方程確定點P的值，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.【詳解】() 設橢圓的半焦距為，依題意，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.()由題意，設.設直線斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯立，整理得，可得，代入得，進而直線的斜率，在中，令，得.由題

18、意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質直線方程等基礎知識.考查用代數方法研究圓錐曲線的性質.考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.19.設是等差數列，是等比數列.已知.（）求和的通項公式；（）設數列滿足其中.（i）求數列的通項公式；（ii）求.【答案】（）；（）（i）（ii）【解析】【分析】()由題意首先求得公比和公差，然后確定數列的通項公式即可；()結合()中的結論可得數列的通項公式，結合所得的通項公式對所求的數列通項公式進行等價變形，結合等比數列前n項和公式可得的值.【詳解】()設等差數列的公差為，等比數列的公比為.依題意得，解得，故，.所以，的通項公式為，的通項公式為.()(i).所以，數列的通項公式為.(ii).【點睛】本題主要考查等差數列等比數列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識.考查化歸與轉化思想和數列求和的基本方法以及運算求解能力.20.設函數為的導函數.（）求的單調區間；（）當時，證明；（）設為函數在區間內的零點，其中，證明.【答案】（）單調遞增區間為的單調遞減區間為.（）見證明；（）見證明【解析】分析】()由題意求得導函數的解析式，然后由導函數的符號即可確定函數的單調區間；()構造函數，結合()的結果和導