1、最短路徑問題和最小【方法說明】“和最小”問題常見的問法是，在一條直線上面找一點，使得這個點與兩個定點距離的和最小（將軍飲馬問題）.如圖所示，在直線 直線AB與直線l的交點時，PA+ PB最小.ABl【方法歸納】如圖所示，在直線l上找一點B使得線段ABAB即為所求.All上找一點 P使得PA+PB最小.當點P為最小.過點A作AB，l,垂足為B,則線段如圖所示，在直線BB與直線l交于點l上找一點P使得PA+PB最小.過點B作關于直線l的對稱點B', P,此時PA+PB最小，則點P即為所求.BP .B'如圖所示，在/ 分別作關于AO, + CD + PD 最小,AOB的邊AO, BO

2、上分別找一點 C, D使得PC+CD + PD最小.過點 PBO的對稱點E, F,連接EF,并與AO, 則點C, D即為所求.BO分別交于點 C, D,此時PC如圖所示，在/ AOB的邊AO, BO上分別找一點 E, F使得DE + EF+CF最小.分別 過點C, D作關于AO, BO的對稱點 D', C',連接D'C',并與AO, BO分別交于點 E, F, 此時DE+EF + CF最小，則點E, F即為所求.AD'A如圖所示，長度不變的線段 CD在直線l上運動，在直線l上找到使得 AC+BD最小的 CD的位置.分別過點 A, D作AA'/ C

3、D, DA'/AC, AA與DA '交于點A',再作點B關于 直線l的對稱點B',連接AB與直線l交于點D',此時點D'即為所求.如圖所示，在平面直角坐標系中，點P為拋物線(y= % (13廣東)已知二次函數 y=x22mx+m21 .(1)當二次函數的圖象經過坐標原點0(0, 0)時，求二次函數的解析式；(2)如圖，當m = 2時，該拋物線與 y軸交于點C,頂點為D,求C、D兩點的坐標； (3)在(2)的條件下，x軸上是否存在一點 P,使得PC+PD最短？若P點存在，求出P 點的坐標；若 P點不存在，請說明理由.)上的一點，點 A (0, 1)

4、在y軸正半軸.點P在什么位置時 PA+PB最小？過點B作直線l: y= 1的垂線段BH，BH ' 與拋物線交于點 P',此時PA+PB最小，則點P即為所求.【思路點撥】(1)由二次函數的圖象經過坐標原點0(0, 0),直接代入求出 m的值即可；(2)把m= 2代入求出二次函數解析式，令 x=0,求出y的值，得出點 C的坐標；利用配 方法或頂點坐標公式求出頂點坐標即可；(3)根據當P、C、D共線時根據“兩點之間，線段最短”得出PC + PD最短，求出 CD的直線解析式，令 y=0,求出x的值，即可得出 P點的坐標. 【解題過程】解：(1) .二次函數的圖象經過坐標原點0 (0,

5、0),，代入二次函數 y= x2 2mx+ m2 1,得出：m21 = 0,解得：m=±1, ，二次函數的解析式為：y= x22x或y= x2+2x;(2)m= 2, ，二次函數 y= x22mx+m21 得：y = x24x+3= ( x2) 2 1,，拋物線的頂點為：D (2, 1),當 x=0 時，y=3, 1. C 點坐標為：(0, 3) ,C (0, 3)、D (2, 1);(3)當P、C、D共線時PC+PD最短，【方法一】,. C (0, 3)、D (2, 1),設直線 CD 的解析式為 y=kx+3,代入得：2k+3=1, k=2,y= 2x +3,當y=0時，2x+

6、3=0,解得x=2，PC+PD最短時，P點的坐標為：P (1,0).【方法二】過點D作DE，y軸于點E, P0 / DE,PO一=DECO PO =CE '23,解得:P0 = 3，3.PC+PD最短時，P點的坐標為：P (3, 0). 1c2.(11荷洋)如圖，拋物線 y = x2+ bx- 2與x軸父于A, B兩點，與y軸父于C點，且A (T, 0).(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；(2)判斷 ABC的形狀，證明你的結論；(3)點M (m, 0)是x軸上的一個動點，當 MC+MD的值最小時，求 m的值.y【思路點撥】(1)把點A的坐標代入求出b的值，即可得出拋物線的解析式，通

7、過配方法即可求出頂點D的坐標；(2)觀察發現 ABC是直角三角形，可以通過勾股定理的逆定理證明.由拋物線的解析式，分別求出點B, C的坐標，再得出AB, AC, BC的長度，易得AC2+BC2=AB2,得出 ABC 是直角三角形；(3)作出點C關于x軸的對稱點C',連接C'D交x軸于點M ,根據“兩點之間，線段最 短”可知MC + MD的值最小.求出直線 C'D的解析式，即可得出點 M的坐標，進而求出 m的值.【解題過程】解：(1)二.點 A ( 1, 0)在拋物線 y = 2x2+ bx2 上，2x(1 ) 2+bx (1) - 2 =0,解得 b=- 2拋物線的解析

8、式為 y = 2x2-2x-2=1 (x3)225，.頂點D的坐標為 ("3，(2)當 x=0時 y=2, C (0, 2), OC = 2.1 、 3當 y=0 時，？x22x2=0, 1. x1= - 1, x2=4,B (4, 0),，OA = 1, OB=4,AB = 5. AB2= 25, AC2 = OA2+OC2=5, BC2= OC2+OB2= 20, . AC2+BC2 = AB2. .ABC是直角三角形.(3)作出點C關于x軸的對稱點C',則C' (0, 2), OC'= 2,連接C'D交x軸于點M,根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MD的值最小.【方法一】4112n= 2設直線C'D的解析式為y=kx+n,則325,解得:2k + n = - -8，當y=0時,4124一談+2=0, * =彳2