1、【最新整理，下載后即可編輯】中國教育學會中學數學教學專業委員會全國初中數學競賽試題一、選擇題(共5小題，每小題6分，共30分.)1 (甲).如果實數糾b, C在數軸上的位置如圖所示，那么代數式 >7-a + bI +(c-6p + b + c 可以化簡為().h a QC(A) 2c-a(B) 2a-2b(C) -"(D) n1 (乙).如果t=-2 + 2 ,那么1 + 的值為()2 +3 + “(A) -2(B) 2(C) 2(D) 222 (甲).如果正比例函數V- ax 0)與反比例函數y- (b ()X的圖象有兩個交點，其中一個交點的坐標為(一3, -2),那么另一個

2、交點的坐標為()(A) (2, 3)(B) (3, -2)(C) (-2, 3)(D) (3,2)2 (乙).在平面直角坐標系XOy中，滿足不等式-+y2x+27的整數點坐標( y)的個數為().(A) 1()(B) 9(C) 7(D) 53 (甲).如果, b為給定的實數,且l<a<b ,那么1, 4 + 1, 2a+bt a+b + 這四個數據的平均數與中位數之差的絕對值是()（A） 1（D）；43 （乙）.如圖，四邊形ABCD中，AC9 角線,'AEC 是等邊三角形.ZADC = 30。，/IQ= 3,對BBD二 5,(A) 32(B) 4(C) 25(D) 4.5則

3、仞的長為（）.小倩對小4 （甲）.小倩和小玲每人都有若干面值為整數元的人民幣.玲說：“你若給我2元，我的錢數將是你的“倍”；小玲對小倩說:“你若給我G元，我的錢數將是你的2倍”，其中“為正整數，則G的可能值的個數是（）.(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44（乙）.如果關于X的方程h = Xp, q是正整數）的正根小于3,那么這樣的方程的個數是（）.(A)5(B)6(C)7(D) 85 （甲）.一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數字分別是1, 2, 3,4, 5, 6.擲兩次骰子，設其朝上的面上的兩個數宇之和除以4的 余數分別是0,1, 2, 3的概率為Po, Pi，Pv P3,則Po&

4、#39; Pl，PV P3中最 大的是（）.(A) PO(B) PI(C) p2(D) p35 (乙).黑板上寫有, I ,，需共IOO個數宇.每次操作先從黑 板上的數中選取2個數a, b,然后刪去a, b,并在黑板上寫上數 a+b+ab,則經過99次操作后，黑板上剩下的數是().(A) 2012(B) 101(C) Ioo(D) 99二、填空題(共5小題，每小題6分，共30分)6 (甲).按如圖的程序進行操作，l 7T3P2T487- 規定：程序運行從“輸入一個值 ：如果X”到“結果是否487? ”為一次操作. 操作進行四次才停止，那么X的取值范圍 是.L+丄6 (乙).如果糾b, C是正數

5、，且滿足a+b+c = 9 ,J2,那么宀+止+&的值為a + b b + c c + a 9b + c c + a a+b7 (甲).如圖，正方形ABCD的邊長為215 ,E, F分別是/13, 30的中點，AF與DE, DBABBC交圓D匕7 (乙)如圖所示，點A在半徑為2()的圓()以()A為一條對角線作矩形OBAC,設直線E 分別交于點M, N,則ZXQMN的面積()于D、E兩點，若Oei2,則線段CE、BD的長度差是o8 （甲）如果關于X的方程F+亦扌吃一3"專=（）的兩個實數根分別 .2011為旺，勺，那么氣帀的值為8 （乙）設”為整數，且1 2012.若（-+3

6、）（+1+3）能被5整除，則所有H的個數為.9 （甲）.2位八年級同學和巾位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環，即所有參賽者彼此恰好比賽一場記分規則是：毎場比 賽勝者得3分，負者得（）分；平局各得1分比賽結束后，所有同學的得分總和為13（）分，而且平局數不超過比賽局數的一半，則巾的值為 9 （乙）.如果正數X, y, Z可以是一個三角形的三邊長，那么稱（, y, Z）是三角形數.若a，b，C）和（丄丄）均為三角形數，且Nbc,則巴的 a b cC取值范圍是1()CD, 延長（甲）如圖，四邊形ABCD內接于O 月產是直徑,AD = DC.分別延長34, 交點為E作BFLEC,并與EC的交于

7、點圧若AE=AC）, BC= 6,則CF的長為10（乙）.已知“是偶數，且1 10（）.若有唯一的正整數對S b）使得a2=b2+n成立，則這樣的"的個數為 三、解答題（共4題，每題15分，共60分）11 （甲）已知二次函數y = x2+（m+3） x+m + 2 ,當-IVXV3時，恒有yvO； 關于X的方程X2+（/H+ 3） X +加+ 2 = 0的兩個實數根的倒數和小于 求加的取值范圍. （乙）如圖所示，在直 角坐標系XOy中，點A 在y軸負半軸上，點B、 C分別在X軸正、負半 軸上,4 Ao = & AB = AC, Sin ZABC =-。點D在線段AB上，連結C

8、D交y軸于點E,且SW = S沁。試求圖像經過B、C、E三 點的二次函數的解析式。12（甲）.如圖，（DO的直徑為AB, OoI過點0,且與OO內切于點B C 為G）O上的點，OC與交于點D,且OD>CD.點E在OD上，且 DC = DE , 3E的延長線與G）Ol交于點F ,求證：'E（）Cs.12 （乙）.如圖，G）O的內接四邊形ABCD中，AC,刃？是它的對角線,SC的中點Z是/!眈的內心.求證:A（1）OZ是帀Q的外接圓的切線；（2）AB+AD= 2BD.13 （甲）已知整數為b滿足:Lb是素數，且必是完全平方數.當 a2012時，求N的最小值.13（乙）.給定一個正整數

9、“，凸”邊形中最多有多少個內角等于150°? 并說明理由.14 （甲）求所有正整數6使得存在正整數1, 2,2012 ,滿足x VX2 V V -2012 5 且2012+= n .x2O1214 （乙）將2, 3,，n （n2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數b, c （可以相同），使得ah =c ,求”的最小值參考解答一、選擇題1(甲)C解：由實數叭b, C在數軸上的位置可知 b<a<O<c ?且問>c，所以 > a+ b +y(C-U)2 + b + c= -U + (a + b) + (c-a)-(h + c) =a =1 +=1 +

10、>-1 = fl .1 (乙) B解：1+=1 + =1 +2 +2 +=3 + al + 22 (甲) D解：利用正比例函數與反比例函數的圖象及其對稱性，可知兩個 交點關于原點對稱，因此另一個交點的坐標為（3, 2）.2 （乙） B解得U-D2 =0,*(X-I)2 =0,(X-I)2 = K(A-I)2 =L0-1)：0：O-1)2=1；O-1)2=0；0-1)2 = 1.X = LX = 1，x = 0,X=0,X = 0,入 = 2, = 2t| = 2,y = 0：y = 0：y = 0； y = 2.y = 1；y = 2：y = 2：y = 1：解：由題設 ÷y2

11、r÷2/,得（） （X-I）2+（y-D2 2. 因為, y均為整數，所以有以上共計9對a,）.3 （甲） D所以這四個數據的平均數為解：由題設知 , <a + l<a+b + <2e+b)中位3 (乙)Bl + ( + l) + ( + b + l) + (2d + b) 3 + 4 + 2解：如圖，以CQ為邊作等邊ACQE,連接SE由于 AC= BCy CD= CE、厶 ECgEBCA七厶 ACD=厶 DCE七乙 ACD =乙 ACE,所以 BCTy'ACE、 BD = AE.又因為 ZADC = 30。，所以 ZADE = 90。.在 Rt ADE 中

12、，AE = 5, AD = 3,于是 DE=>ae2-d2=4,所以 CQ= DE 二 4.4 (甲) D解：設小倩所有的錢數為X元、小玲所有的錢數為尸元，X，y均為非負整數.由題設可得消去X得x + 2 = (y-2), y + n = 2(x-), (2-7)n = j+4,2(2v-7)÷15=I+2y_72y-7因為三為正整數，所以27-7的值分別為1, 3, 5, 15,所以7的值只能為4, 5, 6, 11.從而衛的值分別為8, 3, 2, 1; X的值分別 為 14, 7, 6, 7.4 (乙) C解：由一元二次方程根與系數關系知，兩根的乘積為-g<0,故方

13、 程的根為一正一負.由二次函數y = 2-p-q的圖象知，當x = 3時，>t > 0 , 所以32-3p-q>O ,即3p + q<9 .由于p, g都是正整數，所以P = I , lg5;或p = 2,lg2,此時都有 = p2+>0.于是共有7組Sq) 符合題意.5 (甲) D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數字構成的有序數對共有 36個，其和除以4的余數分別是()，1, 2, 3的有序數對有9個，8個, 9個，1()個，所以PQ =' P=事P?=!'卩3=學,因此必最大Jo3o3o3o5 (乙) C解：因為"+b+"

14、+=+i)(b+i),所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數加1后的乘積不變設經過99次操作后黑板上剩下的數為則x÷l = (l÷l)(l÷l)(l÷l)(侖+1),解得x + l = 101 , X = IoO .二、填空題6 (甲) 7V19解：前四次操作的結果分別為3- 2, 3(3X- 2) 2 = 9- 8, 3(9X- 8) 2 = Tlx- 26, 3(27X- 26) 2 =81 x-8().由已知得27-26487,81X-80 >487.解得 7 VxW 19.容易驗證，當7V19時，3-2487 9x-8487,故X的取值范圍

15、是7<x19.6 (乙).7解：在1-+ 1-+ =兩邊乘以a+b + c = 9得 a+b b+c c+a 9CC a b ,cn C a b _3 += 10 即+= 7a+b h+c c+aa+b b+c c+a7 (). 8解：連接",記正方形ABCD的邊長為2“.由 題設易知厶BFN S'DAN、所以AD AN DN _2 BFNFBNi ' 由此得AN = INF ,所以AN = I-AF .在Rt5F中，因為AB = 2a, BF=a ,所以AF = yAB2 + BFT = 5t ,于是CoSZBAF =竺=還.AF 5由題設可知所以ZAED =

16、 ZAFB ,ZAME = I80° ZBAF ZQ = 180° ZBAF-ZAFB = 90 2 Is于是AM = AE COS ZBAF = GMN = AN-AM =-AF-AM =U 315Snd MN 4=SaFDAF 15又 SKD = 2 '(2d)'(2d) = 2d ,所以 S邸D = YT SMFD因為d = E J所以SMNP = 8 7 (乙)解：如圖，OM 丄 DE.因為 OB = 202-122 =16 ,所以“ OBoC 16x1248OM =,BC 205CM = Cl-OMI = , BM=-.5564 CE-BD = (

17、EM CM)-(DM-BM) = BM-CM= 528T設DE的中點為M ,連接OM,則8 (). -解：根據題意，關于X的方程有由此得8 ,-CT15D36 _28 T"T =1407 +井 O伙 _ 3)2=().X(X3)2(),所以伙一3)2=(),從而Q3.此時方程為F+3旳=0,解得 Xi=Xz= xI201120128 (乙).161()解：(/?2 -" + 3加 +77 + 3)= (n2 +3)-H2 =HA +52 +9因此5 I G4+9),所以爪三I(InOd 5),因此 =5k ± 1,或 5k ± 22012÷5

18、= 4022所以共有2012-402=1610個數9 （甲）8解：設平局數為"，勝（負）局數為b ,由題設知加+ M = 130,由此 得 om3.又 a+b = -m + i" + 2,所以 2d + " = （加+ 1）（加+ 2）.于是O h = 30-（n + 1）（加 + 2） 43,87 （m + I）（WI+2） 130,由此得 加=8,或w = 9.當加=8 時,b = 40, = 5 ； 當? = 9 時,b = 20, a =35 ,耳不合題設.9 （乙）.Z<-12 C解：依題意得:代入（2）得a+b>c（l）< 111 小

19、，所以 b>c-a+ ->-（2）Ib C a-<- + -< ,兩邊乘以a得 a b C c-a CK ÷- 即口 V厶 化簡得2-3÷c2<0,兩邊除以¢2得 C-UCC C-aM2-3（÷1<O所以c J C2 C 2另一方面sy所以巴Sl綜合得上仝vC2 C另解：可令由得b>（-k）c,代入（2）化簡得k2-3k + <Q,C解得字g冒 另一方面：臼bc,所以Ml, 綜合得10 (甲).322解：如圖，連接月G刃入on.由月3是OO的直徑知/BCA =BDA = 90° /依題設ZBFC=

20、 9()°，四邊形ABCD是Oo 的內接四邊形，所以/BCF=/BAD,所以Rr萬仔SRIZB4Q ,因此 .CF AD因為OQ是G)O的半徑，AD = CD.所以OQ垂直平分SG ODH BC,于是匹=匹=2DC OB J，因此DE = 2CD = 2AD, CE = 3AD.由EDSZCEB,知 DEEC = AEBE . AE = , BE = -BA ,2 2 所以 2AD 3AD = - BA , BA= 2邁AD ,故2 2廠F AD Rr BC 32Cr DC =BA 2221()(乙).12解：依題意得 n = a2 -b2 =(a+ba-b)由于"是偶數，

21、a+b、Ab同奇偶，所以n是4的倍數，即n = 4k ,當1 "1()()時，4的倍數共有25個，但要滿足題中條件的唯一正整 數對3 b),則：k = pk = p其中P是素數，因此，k只能取下列12個數：2、3、5、 7、11、13、17、19、23、4、9、25,從而這樣的 n 有 12 個。三、解答題H (甲)解：因為當-l<x<3時，恒有y<0,所以 = ("2 + 3)2 -a”? + ?)。?即(n + D2 >0 ,所以 n-l.(3分)當 X = -I 時，y 0 ；當 X = 3 時，y 0 ,即(-1 )2 + (m + 3)(-

22、1) + /H + 2 0 ,3 + 3(h + 3) + fi + 2 0 ，解得加 -5 .(8 分)設方程2+(n+3)x+(m+2) = 0的兩個實數根分別為xr x2 ,由一元二 次方程根與系數的關系得x+x2=-(m+3), xlx2 =m+2 .解得 w <-12 ,或 m > -2 .因此 n<-2 .(15 分)11(乙)解：因為 sin/ABC =AB 3AO = S,所以AB = 1().由勾股定理，得BO = yAB2-AO2 = 6.易知 ABO 竺 ACO , 因此 CO = BO -6.于是 A(0,-8) , B(6,0) , C(-6,0).

23、 彳&占廠)餡叢掾巧(n. n .所以 -BC n I =丄 AO BO , l×12（-n） = 1×8×6 .2 1 1 2 2 2解得H= .因此7?為月萬的中點，點Q的坐標為（3 ,-4）.>因此仞，SO分別為/1Q 3C的兩條中線，點E為弋眈為重夕, 所以點E的坐標為（0，-（也可由直線CD交y軸于淤I暫療） 設經過萬,G E三點的二次函數的解析式為y = （x-6）（x+6） 將點E的坐標代入，解得Q =轄故經過萬，G E三點的二次函數的解析式為y=2l'12 （甲）.證明：連接BD,因為OB為00（的 直徑，所以ZODB = 9

24、0。.又因為DC = DE ,所以 CE是等腰三角形.（5分）設BC與C）Ol交于點M ,連接OM,則ZoMB = 90。.又因為OC = OB , 所以ABOC = 2ADOM = IADBC = 2ZDBF = ZDOl F .（10分） 又因為ZBOC, ZDOIF分別是等腰ZXBOC,等腰 DO/的頂角，所以 B（）Csdof 12 （乙）.證明： 如圖，根據三角形內心的性質和愉超貫驢十 角相等V %的性質知：ZCID = AIAD + ZIDA ,AZCDI = ZCDB + ABDl = ZBAC + ZJDA = ZJAD+ZIDA .廠所以 ZCID = ZCDl , CI -

25、 CD./ /同理，CJ=CB -Ij故點O是/刃？的外心.!/ D連接Q4, OG因為/是？IC的中點，且所以 OILAC,即 OlVCI .故OZ是ZVBQ外接圓的切線（2）如圖，過點Z作IELAD于點E,設OC與刃？交于點F.由 BC = CD ,OCLBD.因為 / CBF- /LIAE, BC=Cl=AI,所以 RtABCF RtAAIE .所以 EF=AE.又因為Z是血的 內心，所以AB+AD-BD = 2AE+BD-BD = 2BF = BD . 故 AB 十 D = 2BD .也可由托勒密定理得：AB CD+AD BC = AC BD ,再將AC = 2BC = 2CD代入 即

26、得結論B+AD = 2BDo13(甲).解：設, 因為a-b = m （是素數）,Hb-Ir n是自然數）O+/?）'-4力二所以（2左一/W）? _ 4 二 /7T ,（2 z+2n） （2 m 2.11） ITr.（5分）(1)當nl時，因為2ii7÷2與2a-m-2n都是正整數，且2匂m+2n>2a- m 2n （n 為素數）,所以 2a m+2n=m, 2a m-2n=l.解得于是（加+ I），Ifr -1a=, n =4'4(1()分)又 52012,即 2012.4又因為巾是素數，解得7789此時，匂竺學1=2()25.4當 a = 2025 時，I

27、n = 89 , b = 1936, z = 1980.此時,刀的最小值為2025.(2)當“ =0時，因為2012,所以b=0,從而得匂的最小值為2017(素數)。綜上所述，所求的刃的最小值為2017o(15分)13 (乙).解：設凸n邊形最多有k個內角等于150° ,則每個15()°內角的外角 都等于30° ,而凸n邊形的n個外角和為360° ,所以k挈= 12,只有當 =12時，J VZk才有最大值12. (5分)下面我們討論工12時的情況：(1) 當H>12時,顯然,k的值是11；(2) 當 n = 3,4,5,6,7 時,k 的值分別為 1, 2, 3, 4, 5；(3) 當 « = 8,9,10,11 時，k 的值分別為 7, 8, 9, 1(). (K)分)綜上所述，當37時，凸n邊形最多有2個內角等于150° ； 當8h11時，凸n邊形最多有1個內角等于150° ；當/ = 12時，凸n 邊形最多