1、LOGO傅里葉變換傅里葉變換上海大學機自學院上海大學機自學院上一章（線性時不變系統的時域分析）回顧上一章（線性時不變系統的時域分析）回顧v上一章其實質是在時域中進行系統分析的任務，也就是說解決在給定的時域輸入信號上一章其實質是在時域中進行系統分析的任務，也就是說解決在給定的時域輸入信號激勵作用下，系統在時域中將產生什么樣響應的問題。之所以稱為時域分析，是由于激勵作用下，系統在時域中將產生什么樣響應的問題。之所以稱為時域分析，是由于在系統分析的過程中，所涉及的函數變量均為時間在系統分析的過程中，所涉及的函數變量均為時間t t，故這一方法稱之為，故這一方法稱之為“時域分析時域分析法法”。該方法比較

2、直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。主要內容，。該方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。主要內容，可概括為如下幾個方面：可概括為如下幾個方面：v1 1、時域分析的基本概念、時域分析的基本概念 系統時域響應的概念和四種主要響應形式。系統時域響應的概念和四種主要響應形式。v2 2、離散系統的時域分析、離散系統的時域分析 差分和差分方程的含義和建立；差分方程的經典解法，以及各種響應的具體求解。差分和差分方程的含義和建立；差分方程的經典解法，以及各種響應的具體求解。v3 3、單位沖擊響應與單位樣值響應、單位沖擊響應與單位樣值響應 單位沖擊響應和單位樣值響應的概念和實質

3、；通過微分方程或差分方程的求解方法。單位沖擊響應和單位樣值響應的概念和實質；通過微分方程或差分方程的求解方法。v4 4、卷積積分、卷積積分 卷積積分的基本概念和意義；采用定義法和圖解法進行求解的方法和步驟；卷積積分卷積積分的基本概念和意義；采用定義法和圖解法進行求解的方法和步驟；卷積積分的重要性質。的重要性質。v5 5、卷積和、卷積和 卷積和的基本概念和意義；通過定義、性質以及圖解法和不進位乘法熟練進行求解的卷積和的基本概念和意義；通過定義、性質以及圖解法和不進位乘法熟練進行求解的方法和步驟。方法和步驟。第三章主要內容第三章主要內容v3.1 信號分解為正交函數信號分解為正交函數 (一般了解）一

4、般了解） v3.2 傅里葉級數傅里葉級數 v3.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 v3.4 非周期信號的頻譜（傅里葉變換）非周期信號的頻譜（傅里葉變換） v3.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質 v3.6 卷積定理卷積定理v3.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換v3.8.抽樣信號的傅里葉變換與取樣定理抽樣信號的傅里葉變換與取樣定理時域分析時域分析v 時域分析的要點是，以沖激信號或單位信號為基本信號，時域分析的要點是，以沖激信號或單位信號為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數或單位函數；且，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數或單位函數；且， 對于連續時間系統對于連續時間系統

5、對于離散時間系統對于離散時間系統 v 在本章的分析中，所指的信號和系統均為連續時間信號和在本章的分析中，所指的信號和系統均為連續時間信號和連續時間系統。連續時間系統。)()()(tfthtyf)()()(kfkhkyf變換域變換域v 變換域一般指：頻域、變換域一般指：頻域、S S域和域和Z Z域；也就是通過各種數學變域；也就是通過各種數學變換，將時域的信號與系統變換到頻域、換，將時域的信號與系統變換到頻域、S S域和域和Z Z域中進行分域中進行分析和觀察，這樣不僅能夠簡化信號與系統在時域分析中的析和觀察，這樣不僅能夠簡化信號與系統在時域分析中的復雜計算，更主要的是：可以觀察到信號與系統在時域分

6、復雜計算，更主要的是：可以觀察到信號與系統在時域分析中所無法看到的一些奇妙的現象和特性，從而可以多角析中所無法看到的一些奇妙的現象和特性，從而可以多角度地對信號與系統有更深刻的認識和更全面的把握。度地對信號與系統有更深刻的認識和更全面的把握。v 采用變換域分析的目的：主要是簡化分析。這章傅里葉變采用變換域分析的目的：主要是簡化分析。這章傅里葉變換主要從信號分量的組成情況去考察信號的特性。從而便換主要從信號分量的組成情況去考察信號的特性。從而便于研究信號的傳輸和處理問題。于研究信號的傳輸和處理問題。111sin(),cos(),0, 1, 2jntntnt en 任意周期信號可以表示為一系列不同

7、頻率的正弦或虛任意周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦或虛指數函數之和。指數函數之和。本章以正弦函數或本章以正弦函數或(虛指數函數虛指數函數)為基本信號為基本信號任意非周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦任意非周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦或虛指數函數積分。或虛指數函數積分。信號分解為正交函數的原理與矢量分解為正交矢量的信號分解為正交函數的原理與矢量分解為正交矢量的 概念相似。概念相似。yxyvC2xvC1AyxvCvCA21 yxvv , 為各相應方向的正交單位矢量。為各相應方向的正交單位矢量。 它們組成一個二維正交矢量集。它們組成一個二維正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推廣到

8、信號空間，在信號空矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中的任意信號均可表示成它們的線性組合。號空間中的任意信號均可表示成它們的線性組合。3.1 信號分解為正交函數信號分解為正交函數矢量正交集矢量正交集v 矢量正交的定義矢量正交的定義 矢量矢量 和和 內積為零，即內積為零，即v 矢量正交集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合。矢量正交集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合。如三維空間中，如三維空間中，所組成的集合就是矢量正交集，所組成的集合就是矢量正交集，且完備且完備。矢量矢量 表示為表示為1

9、,2,3()yyyyVV V V1,2,3()xxxxVV V V310TxyxiyiiV VV V(1,0,0)xV (0,1,0)yV (0,0,1)zV (1,2.5,4)A2.54xyzAVVV矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，在信號空間矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中的任意信號均可表示成它們的線性組合。間中的任意信號均可表示成它們的線性組合。（2）正交函數集正交函數集 在區間在區間 上的上的n個函數（非個函數（非零）零） ,其中任意兩個均滿足其中任意兩個均滿足 為常

10、數，則稱函數集為常數，則稱函數集 為區間為區間 內的正交函數集。內的正交函數集。,21tt)(1t )(2t 210)()(21ttdttt )(1t ,21tt（1）正交函數正交函數 在在 區間上定義的非零區間上定義的非零實實函數函數 和和 若滿足條件若滿足條件 則函數則函數 與與 為在區間為在區間 的正交函數。的正交函數。 正交函數集正交函數集)(2t )(1t ,21tt)(tn 21)()(ttjidttt , 0 , 0jikjiiik )().(1ttn ,21tt完備正交函數集完備正交函數集之外不存在函數之外不存在函數 如果在正交函數集如果在正交函數集 )().(1ttn)(t滿

11、足等式滿足等式 210)()(ttidttt ni,.,2 , 1，則稱該函數集為完備正交函數集。，則稱該函數集為完備正交函數集。三角函數集：三角函數集： 在區間在區間 內組成完備正交函數集。內組成完備正交函數集。1111111,cos,cos2,cos,sin,sin2,sin,ttn tttn t00( ,)t tT12/T 111,cos,sinntnt 是一個完備的正交函數集是一個完備的正交函數集t t在一個周期內，在一個周期內，n n=1,.=1,. 2112cossin0TTntmdt2112,coscos20,TTTmnntmt dtmn2112,sinsin20,TTTmnnt

12、mt dtmn由積分可知由積分可知三角函數集三角函數集10, 1, 2)jnten 復復指指數數函函數數集集：（其其中中 111111110tTjntjntttTjntjntteedtmneedtT12T為為指指數數函函數數的的公公共共周周期期1n,jnte 當當為為一一完完備備的的正正交交函函數數集集復指數函數集復指數函數集信號分解為正交函數信號分解為正交函數設有設有n個函數個函數 )(, . , )( , )(21tttn在區間在區間 ) , (21tt構成構成一個正交函數空間。將任一函數一個正交函數空間。將任一函數 用這用這 個正交函數的個正交函數的線性組合來近似，可表示為：線性組合來近

13、似，可表示為： )(tfn njjjnntCtCtCtCtf12211)()(.)()()( 根據最小均方誤差原則，可推出：根據最小均方誤差原則，可推出： dtttfKdttdtttfCittittittii)()(1)()()(2121212 式中：式中：dttKttii 21)(2 如果分解的項數越多則誤差愈小。即如果分解的項數越多則誤差愈小。即 n，均，均方誤差方誤差 02 ，即，即 在區間在區間 內分解為無窮多項內分解為無窮多項)(tf) , (2 1tt之和。之和。將周期信號將周期信號 )()(mTtftf 在區間在區間 Ttt 00,內展開成完內展開成完備正交信號空間中的無窮級數。

14、如果完備的正交函數集備正交信號空間中的無窮級數。如果完備的正交函數集 是三角函數集或指數函數集，那么，周期信號所展開的是三角函數集或指數函數集，那么，周期信號所展開的 無窮級數就分別稱為無窮級數就分別稱為“三角形傅里葉級數三角形傅里葉級數”或或“指數形傅指數形傅 里葉級數里葉級數”，統稱為傅里葉級數。，統稱為傅里葉級數。 3.2 傅里葉級數傅里葉級數1111111,cos,cos 2,cos,sin,sin 2,sin,ttntttnt10, 1, 2)jnten （設有一個周期信號設有一個周期信號 它的周期是它的周期是 ，角頻率，角頻率 它可分解為：它可分解為：一、周期信號的分解一、周期信號

15、的分解01111cos()sin()2nnnnaantbnt122/FT( )f tT011211121( )cos()cos(2)2sin()sin(2)af tatatbtbt其中其中 稱為傅里葉系數，稱為傅里葉系數， 。nnba , 12TdttfTaTT 220)(12傅里葉系數如何求得傅里葉系數如何求得dtttfKdttdtttfCittittittii)()(1)()()(2121212 式中：式中：dttKttii 21)(2 2122122( )cos(),0,1,2,2( )sin(),1,2,TTnTTnaf tnt dtnTbf tnt dtnT由上式可見，由上式可見，

16、是是 的偶函數的偶函數 ， 是是 的奇函數，的奇函數， nannnaa nbnnnbb 2122122( )cos(),0,1,2,2( )sin(),1,2,TTnTTnaf tnt dtnTbf tnt dtnT由于由于是同頻率項是同頻率項,因此可將其合并因此可將其合并11cossinntnt和和式中：式中： ,. 3 , 2 , 1 , 22 nbaAnnn00aA )arctan(nnnab 則有則有 00Aa . , 2 , 1 , cos nAannn nnnAb sin . , 2 , 1 , n nAnnnAA 可見，可見， 是是 的偶函數，即有的偶函數，即有 而而 是是nn的

17、奇函數，即有的奇函數，即有 nn 0111212011( )cos()cos(2)2cos()2nnnAf tAtAtAAnt一般而言一般而言 稱為稱為 次諧波次諧波 ， 是是 次諧波的振幅，次諧波的振幅， 是其初相角。是其初相角。 nnAnn1cos()nnAnt可見，任何滿足狄里赫利條件的周期信號均可分解為可見，任何滿足狄里赫利條件的周期信號均可分解為直直 流分量流分量 ，一次諧波或基波，一次諧波或基波 (它它的角的角 頻率與原周期信號相同頻率與原周期信號相同)，二次諧波，二次諧波 ， 以此類推，三次，四次等諧波。以此類推，三次，四次等諧波。 20A111cos()At212cos(2)A

18、t狄里赫利條件狄里赫利條件（1 1）在一周期內，間斷點的數目有限；）在一周期內，間斷點的數目有限；（2 2）在一周期內，極大、極小值的數目有限；）在一周期內，極大、極小值的數目有限；（3 3）在一周期內，）在一周期內，dttfTtt11)(電子技術中的周期信號大都滿足狄里赫利條件條件，當電子技術中的周期信號大都滿足狄里赫利條件條件，當f(t)滿足狄里赫利條件時，滿足狄里赫利條件時， 才存在。才存在。nnncba, 結論：周期信號可分解為各次諧波分量之和。結論：周期信號可分解為各次諧波分量之和。一般而言一般而言 稱為稱為 次諧波次諧波 ， 是是 次諧波的振幅，次諧波的振幅， 是其初相角。是其初相

19、角。 nnAnn1cos()nnAnt0111212011( )cos()cos(2)2cos()2nnnAf tAtAtAAnt解：解： 例例3.2-1 將下圖中的方波信號展開為傅里葉級數將下圖中的方波信號展開為傅里葉級數01111212021102( )cos()sin()22( )cos()22( 1)cos()cos()nnnnTTnTTaf tantbntaf tnt dtTnt dtnt dtTT1111101221sin()sin() 202200,1,2,3,nTntntTnTT nanT21202110211112( )sin()22( 1)sin()sin()02121co

20、s() cos() 2021111 cos() cos()0,2,4,6,8,21 cos()4,1,3,5,7,TTnTTbf tnt dtTnt dtnt dtTTTntntTT nT nnnnnnnnnnn它僅含有一、三、五、七它僅含有一、三、五、七. 等奇次諧波分量。等奇次諧波分量。如下頁圖所示，是用有限項傅里葉級數來逼近的情況：如下頁圖所示，是用有限項傅里葉級數來逼近的情況：,.3 , 2 , 1 ,0 n0 na ,. 7 , 5 , 3 , 1 , 4,. 8 , 6 , 4 , 2 , 0nnnbn 11114111( )sin()sin(3)sin(5)sin()351,3,

21、5,f ttttntnnTT/ 20t(a)基波基波0T/ 2Tt(b)基波基波+三次諧波三次諧波0T/ 2Tt(c)基波基波+三次諧波三次諧波+五次諧波五次諧波0T/ 2Tt(c)基波基波+三次諧波三次諧波+五次諧波五次諧波+七次諧波七次諧波（1）所取項愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于）所取項愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于原方波信號。原方波信號。（2）所取項數愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠近間斷）所取項數愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠近間斷點。點。（3）即使）即使 ，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，有有 的偏差。但在均方的意義上合成波形同原方波的偏差。但在均

22、方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區別。的真值之間沒有區別。 (吉布斯現象）吉布斯現象）n%9若給定的若給定的 有某些特點，那么，有些傅里葉系數將有某些特點，那么，有些傅里葉系數將等于零從而使計算較為簡便。等于零從而使計算較為簡便。)(tf（1） 為偶函數為偶函數)(tf則有則有 ，波形對稱于縱坐標。，波形對稱于縱坐標。 )()(tftf 二、奇偶函數的傅里葉系數二、奇偶函數的傅里葉系數,.2 , 1 , 0 22 nabaAnnnn)( 為為整整數數mmabarctgnnn 從而有從而有 22110221224( )cos()( )cos()(0,1,2,)2( )sin()0(1,2

23、,)TTTnTTnaf tnt dtf tnt dtnTTbf tnt dtnT（2） 為奇函數為奇函數)(tf則有則有 ，波形對稱于原點。，波形對稱于原點。)()(tftf 進而有進而有 )(2)12(為為整整數數mmbAnnn , 2 , 1n這時有這時有,2,1n21004( )sin()nTnabf tnt dtT實際上，任意信號都可分解為奇函數和偶函數兩部分。實際上，任意信號都可分解為奇函數和偶函數兩部分。 )()()()()()( tftftftftftfevodevod 2)()()(2)()()( tftftftftftfodev其中其中 )()()()( tftftftfev

24、evodod*一個函數是奇函數還是偶函數不僅與其波形有關，一個函數是奇函數還是偶函數不僅與其波形有關，而且與原點的選擇有關。而且與原點的選擇有關。如果如果 的前半周期波形移動的前半周期波形移動 后，與后半周期波形后，與后半周期波形 對稱于橫軸即：對稱于橫軸即： )(tf2T)2()(Ttftf ，稱為奇諧函數。，稱為奇諧函數。 此時傅里葉級數展開式中將只含奇次諧波分量，而不此時傅里葉級數展開式中將只含奇次諧波分量，而不 含有偶次諧波分量。即含有偶次諧波分量。即 042420 bbaaa0t-TT-T/ 2f (t)T/ 21-1奇諧函數奇諧函數（3） 為奇諧函數為奇諧函數)(tf例例3.2-2

25、v例：周期矩形信號如圖所示，若重復頻率例：周期矩形信號如圖所示，若重復頻率=5 KHz，脈寬為，脈寬為20微妙，幅度微妙，幅度=10 V，求傅立葉，求傅立葉級數展開的直流分量大小，以及基波、二次諧波級數展開的直流分量大小，以及基波、二次諧波和三次諧波的有效值。和三次諧波的有效值。解：因為為偶函數，所以解：因為為偶函數，所以 ，故只有直流分量和余弦分，故只有直流分量和余弦分量，并有量，并有 ，利用公式求解如下：，利用公式求解如下：直流分量：直流分量： 所以直流分量為所以直流分量為n次諧波系數：次諧波系數：0nbnnaA 21051102010222)(23622220TAAdtTdttfTaTT

26、1222200aA12211122224( )cos()cos()sin2TTnnnAaf tnt dtAnt dtATTnT其有效值為：其有效值為：nnAA22將將 代入上式，得基波有效值為：代入上式，得基波有效值為：同理當同理當 和和 時，得二次和三次諧波的有效值時，得二次和三次諧波的有效值分別為：分別為： 1n 1112410 2sinsin181.3922AAT2n3n1212245 2sinsin361.32222AAT13132410 2sinsin541.22323AAT討論討論 關于關于n的奇偶性的奇偶性nnnnAba ,nnnnAbaA 22nnnnabtg arg是是n的偶

27、函數。的偶函數。是是n的奇函數。的奇函數。是是n的偶函數。的偶函數。是是n的奇函數。的奇函數。2122122( )cos()2( )sin()TTnnTTnnaf tnt dtaTbf tnt dtbT 將上式第三項中的將上式第三項中的 用用 代換，并考慮到代換，并考慮到 是是 的的偶函數，即偶函數，即 ； 是是 的奇函數的奇函數, 則上式可寫為則上式可寫為 :nn nAnnnAA n nnn 三、傅里葉級數的指數形式三、傅里葉級數的指數形式2cosjxjxeex 1111()()01011( )2211222nnnnj ntj ntnnjjjntjntnnnnAAf teeAA eeA ee

28、011( )cos()2nnnAf tAnt11( )2njjntnnf tA ee11111101101101111( )2221122211222nnnnnnjjjntjntnnnnjjjntjntnnnnjjjntjntnnnnAf tA eeA eeAA eeA eeAA eeA ee如將上式中的如將上式中的 寫成寫成 （ ），）， 則上式可以寫成則上式可以寫成:0A00 100njjtA ee令復數量令復數量 ，稱其為，稱其為復復傅里葉傅里葉 系數，簡稱傅里葉系數。其模為系數，簡稱傅里葉系數。其模為 ，相角為，相角為 ， 則得傅里葉級數的指數形式為則得傅里葉級數的指數形式為 njnj

29、nFeFeAnn 21nFn 1( )jntnnf tF e11( )2njjntnnf tA ee復傅里葉系數復傅里葉系數 )(21sincos2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn 2122122( )cos(),0,1,2,2( )sin()0,1,2,TTnTTnaf tnt dtnTbf tnt dtnT122112221122211( )cos()( )sin()1( )cos()sin()1( )0, 1, 2,TTTTnTTTjntTFf tnt dtjf tnt dtTTf tntjnt dtTf t edt nT 1( )jntnnf tF e1221( )Tjnt

30、TnFf t edtT0, 1, 2,n 1221( )TjntTnFf t edtT0, 1, 2,n nF這就是求指數形式傅里葉級數的復系數這就是求指數形式傅里葉級數的復系數 的公式。的公式。 任意周期信號任意周期信號 可分解為許多不同頻率的虛指數信號可分解為許多不同頻率的虛指數信號 之和，其各分量的復數幅度（或相量）為之和，其各分量的復數幅度（或相量）為 。)(tfnF1()jnte nnnjbaF 21 與與 互為共軛。互為共軛。nFnF 與與 的關系。的關系。nFnF nnnnnjbajbaF 2121nnnnnAFFFF21 三角形式傅里葉級數三角形式傅里葉級數01111( )co

31、s()sin()2nnnnaf tantbnt2122122( )cos(),0,1,2,2( )sin()0,1,2,TTnTTnaf tnt dtnTbf tnt dtnT指數形式傅里葉級數指數形式傅里葉級數任意周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦函任意周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦函 數或虛指數函數之和。數或虛指數函數之和。1( )jntnnf tF e1221( )TjntTnFf t edtT0, 1, 2,n 111sin(),cos(),(0, 1, 2)jntntnt en 復傅里葉系數復傅里葉系數 與與 ， ， 的關系的關系nFnAnbna nnjnnjbaeAFn

32、 2121 222121nnnnbaAF nnnabarctan nnnjnnFjbaeAFn2121 nnnnnFFAa cos nnnnnFFjAb sinnnFA2 3.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。方法。一、一、 頻譜圖的概念頻譜圖的概念已知周期信號已知周期信號f(t)可用傅里葉級數來表示。可用傅里葉級數來表示。或或1011( )cos()2jntnnnnnAf tAntF e1

33、2211( )2nnTjjjntTnnnFA eF ef t edtT如果將如果將 ， 的關系繪成下面的線圖，的關系繪成下面的線圖，便可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小及各便可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小及各分量的相位，分別稱為幅度譜和相位譜（單邊）。分量的相位，分別稱為幅度譜和相位譜（單邊）。1nAn1nn如果將如果將 ， 的關系繪成下面的線圖，的關系繪成下面的線圖，同樣可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小及各同樣可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小及各分量的相位，也分別稱為幅度譜和相位譜（雙邊）。分量的相位，也分別稱為幅度譜和相位譜（雙邊）。1nFn1nn 頻譜圖幅度頻譜幅

34、度頻譜相位頻譜相位頻譜離散譜，譜線離散譜，譜線曲線曲線或或 nnFc曲線曲線 n周期信號采用指數形式展開后的頻譜周期信號采用指數形式展開后的頻譜, , 因因Fn一般一般為復數為復數, ,稱為復數頻譜稱為復數頻譜. .圖3-2 周期信號的復數頻譜周期信號的復數頻譜 nnFnF1111n1n1n000例例 3.3-1 ),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0)202cos(2)10cos(31)(tttttf試畫出試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。的振幅譜和相位譜。 解解 f(t)為周期信號，題中所給的為周期信號，題中所給的f(t)表達式可視為表達式可視為f(t)的傅里的傅里葉級數展開

35、式。據葉級數展開式。據 可知，其基波頻率可知，其基波頻率=(rad/s)，基本周期，基本周期T=2s，=2、3、 6 分別為二、三、六次諧波頻率。且有分別為二、三、六次諧波頻率。且有 011( )cos()2nnnAf tAnt8 . 04 . 063AA304563其余 0nA2321AA120A20100210圖圖 3.3-1 (a)振幅譜；振幅譜； (b) 相位譜相位譜 Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.8Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.8圖 3.3-2 信號的雙邊頻譜

36、(a) 振幅譜； (b) 相位譜 |Fn|o23456(a)121.510.20.41.510.20.43456 no234561530451020453015304510204530234562(b)二、二、 周期矩形脈沖的頻譜周期矩形脈沖的頻譜T 設有一幅度為設有一幅度為E，脈沖寬度為，脈沖寬度為 的周期性矩形脈的周期性矩形脈 沖，其周期為沖，其周期為 ，求其復傅里葉系數。，求其復傅里葉系數。圖 3.3-3 周期矩形脈沖12 2 0TT T2 tftE2 2 0TT T2 tft11111111122211112221221111111111( )()( 2 sin)2sin2()22TT

37、jntjntjntTTnnnjjaEE eFf t edtedtTTTjnnEEeejjTnjTnnnSnTT xxxSasin)( -取樣函數取樣函數 1.它是它是偶函數。偶函數。 2. 當當 時，時， 。0 x1)( xSa3.當當 時，函數值為時，函數值為0。 0 kkx 它是無限拖尾的衰減振蕩。它是無限拖尾的衰減振蕩。11()2nnFSaTx xSa0 2 2 3 3 E . 2, 1, , 0 n該周期性矩形脈沖的指數形式傅里葉級數展開式為：該周期性矩形脈沖的指數形式傅里葉級數展開式為： 圖3.3-4 周期矩形脈沖的頻譜（T=4）11()2nnEFSaT1111( )()2jntjn

38、tnnnnEf tF eSaeT41nF 2 4 4 2 011()2nESaT第一個零點時譜線的序號：第一個零點時譜線的序號：零點的位置：零點的位置：相鄰譜線的間隔：相鄰譜線的間隔：第一個零點的位置：第一個零點的位置： 0 k41nF 2 4 4 2 011()2nESaT4T112T12n12nk12nk12n112Tn 由上圖由上圖 可以看出，此周期信號頻譜具有以下幾個特點：可以看出，此周期信號頻譜具有以下幾個特點： 第一為離散性，第一為離散性，此頻譜由不連續的譜線組成，每一條譜線此頻譜由不連續的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續譜或離散譜。代表一個正弦分量，所以

39、此頻譜稱為不連續譜或離散譜。 第二為諧波性，第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現在基波頻率此頻譜的每一條譜線只能出現在基波頻率w1的整數倍頻率上，即含有的整數倍頻率上，即含有w1的各次諧波分量，而決不含有的各次諧波分量，而決不含有非非w1的諧波分量。的諧波分量。 第三為收斂性，第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨nw1的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著nw1的增大而逐漸減小。的增大而逐漸減小。 當當nw1時，時，|Fn|0。 前已指出，當周期趨于無限大時，相鄰譜線的間隔前已指出，當周期趨于無限大時，相鄰譜線的間隔趨

40、近于無窮小，從而信號的頻譜密集成為連續頻譜。同趨近于無窮小，從而信號的頻譜密集成為連續頻譜。同時，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小，不過，這些時，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍保持一定的比例關系。無窮小量之間仍保持一定的比例關系。 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。概念。 令令一、傅里葉變換一、傅里葉變換3.4非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜稱稱 為頻譜密度函數。為頻譜密度函數。( )F1111( )limlim1nnTTFFF TT當周期當周期T1 趨近于無限大時，趨近于無限大時，w1 趨近于無窮小，取其

41、趨近于無窮小，取其 為為 ，而，而 將趨近于將趨近于 ，nw1 是變量，當是變量，當 時，它是離散值，當時，它是離散值，當w1 趨近于無限小時，它趨近于無限小時，它 就就成為連續變量，取為成為連續變量，取為 ，求和符號改為積分。，求和符號改為積分。 d 2d如何求頻譜密度函數？如何求頻譜密度函數？1111( )limlim1nnTTFFF TT由式由式 可得可得1111221( ),( )TjntjntTnnnf tF eFf t edtT1111221( )( )TjntjntTnnnF Tf t edtf tF TeT10112T 成為成為)1()(lim)( dtetfTFjFtjnT

42、)2()(21)( dejFtftjdef （1）式稱為函數）式稱為函數 的傅里葉變換的傅里葉變換 。)(tf（2）式稱為函數）式稱為函數 的傅里葉逆變換。的傅里葉逆變換。 )(jF)( jF)(tf)(tf)( jF 稱為稱為 的頻譜密度函數或頻譜函數的頻譜密度函數或頻譜函數. 稱為稱為 的原函數。的原函數。 )()( jFtf簡記為簡記為 jFtf 于是當于是當 時，式時，式T1111122( )1( )TjntTnjntnnF Tf t edtf tF TeT 與周期信號的傅里葉級數相類似，在與周期信號的傅里葉級數相類似，在f(t)是實函數時，是實函數時， F()、()與與R()、 X(

43、)相互之間存在下列關系：相互之間存在下列關系： )()()()()( jXRejFjFj dtttfjdtttfdtetfjFtj sincos)()()( dtttfR cos)()()()(22 XRjF )()(arctan)( RX dtttfX sin)(是是 的偶函數。的偶函數。 是是 的奇函數。的奇函數。 在在f(t)是實函數時：是實函數時： (1) 若若f(t)為為t的偶函數，即的偶函數，即f(t)=f(-t)，則，則f(t)的頻譜的頻譜函數函數F(j)為為的實函數，的實函數， 且為且為的偶函數。的偶函數。 (2) 若若f(t)為為t的奇函數，即的奇函數，即f(-t)=-f(t

44、)，則，則f(t)的頻的頻譜函數譜函數F()為為的虛函數，且為的虛函數，且為的奇函數。的奇函數。 結論結論)(tg 1例例3.4-1 下圖所示為下圖所示為門函數門函數（或稱矩形脈沖），用符號（或稱矩形脈沖），用符號 表示，其寬度為表示，其寬度為 ，幅度為，幅度為 。求其頻譜函數。求其頻譜函數。01 tg 2 2 t二、二、 典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換解：解： 如圖所示的門函數可表示為如圖所示的門函數可表示為 2 ,02 ,1 tttg其頻譜函數為其頻譜函數為 dtetfjFtj )()( jeedtejjtj 22221)2(2sin2sin22 Sajj 2 Satg圖 3.4

45、-1 門函數及其頻譜01 tg 2 2 t0 2 aSjF 2 4 4 2 實偶實偶實偶實偶一般而言，信號的頻譜函數需要用幅度譜一般而言，信號的頻譜函數需要用幅度譜 和相位和相位 譜譜 兩個圖兩個圖形才能將它完全表示出來。但如果頻譜函數是實函數或虛函數，那么只用形才能將它完全表示出來。但如果頻譜函數是實函數或虛函數，那么只用一條曲線即可。一條曲線即可。 為負代表相位為為負代表相位為 ， 為正代表相位為為正代表相位為0.( ) ()F j()F j()F j由圖可見，第一個零值的角頻率為由圖可見，第一個零值的角頻率為 （頻率（頻率 ）。）。 21當脈沖寬度減小時，第一個零值頻率也相應增高。當脈沖

46、寬度減小時，第一個零值頻率也相應增高。 對于矩形脈沖，常取從零頻率到第一個零值頻率對于矩形脈沖，常取從零頻率到第一個零值頻率 之間的頻段為信號的頻帶寬度。之間的頻段為信號的頻帶寬度。 )1(這樣，門函數的帶寬這樣，門函數的帶寬 ，脈沖寬度越窄，脈沖寬度越窄， 其占有的頻帶越寬。其占有的頻帶越寬。1f0 jF 2 4 4 2 (時域越窄時域越窄,頻域越寬頻域越寬)例例3.4-2 求求單邊指數函數單邊指數函數的頻譜函數的頻譜函數 dtetfjFtj )()(0t圖圖 3.4-2 單邊指數函數單邊指數函數1 tetua a 0 a aua atet解解: 將單邊指數函數的表示式將單邊指數函數的表示式

47、 代入到式代入到式 tetua a 0 1 )()(0 a a a a a a jdteedtetfjFtjttj這是一復函數這是一復函數,將它分為模和相角兩部分：將它分為模和相角兩部分：)()arctan(22)( 11)( a a a a a a jjejFejjF 幅度譜和相位譜幅度譜和相位譜221)( a a jF)arctan()(a a 頻譜圖如下圖所示：頻譜圖如下圖所示： ()0- / 2 / 2(b) 相位頻譜01/a(a) 振幅頻譜 jF圖 3.4-3 單邊指數函數 0 t a aua ate例例 3.4-3 求下圖所示求下圖所示雙邊指數信號雙邊指數信號的頻譜函數的頻譜函數

48、eat10tf1 (t)e-at解：上圖所示的信號可表示為：解：上圖所示的信號可表示為：tetfa a )(10 , a a或者寫為或者寫為 0 ,0 ,)(1tetetftta aa a將將 代入到式代入到式 ， 可得其頻譜函數為：可得其頻譜函數為：)(1tf dte )t (f)j(Ftj a a a ajj 11 001dteedtee)j(Ftjttjt a a a a 222 a aa a 其頻譜圖如下所示其頻譜圖如下所示 ：F1(j)02/a2212 )( a aa a jF實偶實偶實偶實偶eat10tf1 (t)e-at例例3.4-4 求下圖所示信號的頻譜函數求下圖所示信號的頻譜

49、函數-eat10tf2 (t)e-at-1解解: 上圖所示的信號可寫為上圖所示的信號可寫為 ： 0 ,0 ,)( 2tetetftta aa a（其中（其中 ) 0 a a dtetfjFtj )()(2 a a a a a a a ajjdteedteetjttjt 110 0 222 a a j-eat10tf2 (t)e-at-1其頻譜圖如下圖所示：其頻譜圖如下圖所示：X2()01/a-1/a a a 22222jXjjF 實奇實奇虛奇虛奇-eat10tf2 (t)e-at-1例例3.4-5 求求沖激函數沖激函數的頻譜的頻譜 1)()( dtetttj 即單位沖激函數的頻譜是常數即單位沖

50、激函數的頻譜是常數 ，如下圖所示。其頻，如下圖所示。其頻 譜密度在區間譜密度在區間 處處相等，常稱為處處相等，常稱為“均勻譜均勻譜”或或“白色頻譜白色頻譜”。 10t (t )01F(j)(a)(b)圖 3.4-6 單位沖激函數的頻譜1)(t 沖激函數一階導數沖激函數一階導數的頻譜函數為的頻譜函數為 dtetttj )()( 按沖激函數導數的定義按沖激函數導數的定義 ：)0()1()()()()(nnndttt 可知可知 jedtddtetttjtj 0 )(即即 jt 同理可得同理可得nnjt)()()(例例3.4-6 求求單位直流信號單位直流信號的頻譜的頻譜 ttf- 1)(顯然，該信號不

51、滿足絕對可積條件，但其傅里葉變換顯然，該信號不滿足絕對可積條件，但其傅里葉變換 卻存在。它可以看作是函數卻存在。它可以看作是函數 )0()(1 a aa atetf當當 時的極限時的極限 。則直流信號的頻譜函數也應。則直流信號的頻譜函數也應 是是 的頻譜函數的頻譜函數 當當 時的極限。時的極限。 0a)(1tf)(1 jF0a a0eat1tf1 (t)e-at0 a a a a a aa aa aa a dd 22212020limlim a a a a2)arctan(2lim0 所以所以 )(22lim220 a aa aa a 即即 )(2 1 )(1tfa當當 趨近于零時趨近于零時我

52、們已經知道我們已經知道 的頻譜函數為：的頻譜函數為：2212 a aa a )j(F 0 , 0 , lim a aa aa a2202 f1 (t)0ta1a2a3a4(a)a4a3a2a102 ( )(b)02 ( )(b)0t1(a)圖圖 3.4-8 直流信號的頻譜直流信號的頻譜圖圖3.4-7 求求 1的極限過程的極限過程例例3.4-7 求求符號函數符號函數的頻譜的頻譜 符號函數定義為符號函數定義為 0 ,10 ,00 ,1 sgntttdeft顯然顯然,該函數也不滿足絕對可積條件。該函數也不滿足絕對可積條件。 函數函數 可看作函數：可看作函數：)sgn(t 0 ,0 ,)( 2tete

53、tftta aa a)0( a a0a當當 時的極限。時的極限。則它的頻譜函數也是則它的頻譜函數也是 的頻譜函數的頻譜函數 ，當，當 時的極限。時的極限。 )(2tf)(2 jF0a a我們已知我們已知 的頻譜函數為：的頻譜函數為：)(2tf222222)()()( a a jjXRjF00)0(2 F它是它是 的奇函數，在的奇函數，在 處處 。 因此，當因此，當 趨近于零時，有趨近于零時，有 ：a j2 0 , 0 , 2lim220 a a a aj0jt2)sgn(0 它在它在 處的值等于零。處的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X()0(b) 圖圖 3.4-9 sgn(t)及其頻譜

54、及其頻譜例例3.4-8 求求階躍函數階躍函數的頻譜的頻譜 對上式兩邊進行傅里葉變換，得對上式兩邊進行傅里葉變換，得 :11( )sgn( )22u tt11 ( ) sgn( )22u tt11 ( )( )( )()u tjj 圖圖 3.4-10 u (t)及其頻譜及其頻譜0 ()R()X()0R() ()-1/ X()0-1/ 1/ 20t10t1/ 20t-1/ 21/ 2 Sgn(t)其頻譜的實部和虛部分別為其頻譜的實部和虛部分別為: 頻譜的虛部是頻譜的虛部是 的奇函數，在的奇函數，在 處其值等于零。處其值等于零。 )()(R1)(Ximportant( )( )tu t同同表表 常用

55、傅里葉變換對常用傅里葉變換對 ( )( )tu t同同續表續表 ( )( )tu t同同v思考題：思考題： 1.為什么要對信號進行變換域分析？為什么要進為什么要對信號進行變換域分析？為什么要進行傅立葉變換？行傅立葉變換？ 2.幅頻特性和相頻特性代表的是什么含義？意義幅頻特性和相頻特性代表的是什么含義？意義何在？何在？v預習內容：預習內容： 傅立葉變換的性質，具體內容包括：傅立葉變換的性質，具體內容包括： 線形特性；奇偶特性；對稱特性；尺度變換性；線形特性；奇偶特性；對稱特性；尺度變換性； 時移特性；頻移特性；微分特性；積分特性；時移特性；頻移特性；微分特性；積分特性； （1）頻域分析與頻譜的基

56、本概念；）頻域分析與頻譜的基本概念；（2）任意的周期信號，可以用傅立葉級數進行展開，并具有）任意的周期信號，可以用傅立葉級數進行展開，并具有“三角形式三角形式”和和“復指數形式復指數形式”的兩種形式；的兩種形式； 三角形三角形ntjnneFtf)(dejFjFFtfdtetftfFjFtjtj)(21)()()()()(1上次課的回顧：上次課的回顧：011( )cos()2nnnAf tAnt 任一信號可以有兩種描述方法：任一信號可以有兩種描述方法：時域的描述時域的描述 頻域的描述頻域的描述 本節將研究在某一域中對函數進行某種運算，在另一本節將研究在某一域中對函數進行某種運算，在另一 域中所引

57、起的效應。域中所引起的效應。 為簡便，用為簡便，用 表示時域與頻域之表示時域與頻域之 間的對應關系，即間的對應關系，即 )()( jFtf )( jF tf dtetftj )( )(tf dejFtj )(213.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質一、一、 線性線性 )()(11 jFtf)()(22 jFtf若若則對于任意常數則對于任意常數 和和 ，有，有1a2a)()()()(22112211 jFajFatfatfa 傅里葉變換的線性性質可以推廣到有多個信號的情況。傅里葉變換的線性性質可以推廣到有多個信號的情況。 線性性質有兩個含義：線性性質有兩個含義： 1、齊次性、齊次性 它表明，

58、若信號它表明，若信號 乘以常數乘以常數 （即信號增大（即信號增大 倍），則其頻譜函數也乘以相同的常數倍），則其頻譜函數也乘以相同的常數 （則其頻譜（則其頻譜 函數也增大函數也增大 倍）；倍）； )(tfaaaa 2、可加性、可加性 它表明，幾個信號之和的頻譜函數等于各個信它表明，幾個信號之和的頻譜函數等于各個信 號的頻譜函數之和。號的頻譜函數之和。二、二、 奇偶性奇偶性下面研究時間函數與其頻譜的奇、偶、虛、實關系。下面研究時間函數與其頻譜的奇、偶、虛、實關系。 如果如果 是時間是時間 的實函數，那么根據：的實函數，那么根據： )(tft)sin()cos( tjtetj dtttfjdtttf

59、dtetfjFtj)sin()()cos()( )()( )()()()( jejFjXR 其中頻譜函數的實部和虛部分別為：其中頻譜函數的實部和虛部分別為： dtttfXdtttfR)sin()()()cos()()( 頻譜函數的模和相角分別為：頻譜函數的模和相角分別為：)()(arctan()()()()(22 RXXRjF 1、若、若 f(t) 是時間是時間 t 的實函數，則頻譜函數的實函數，則頻譜函數 的的 實部實部 是角頻率是角頻率 的偶函數，虛部的偶函數，虛部 是角頻率是角頻率 的奇函數，的奇函數， 是是 的偶函數，的偶函數， 是是 的奇函的奇函數。數。 jF X R )( jF )

60、( 2、如果、如果 是時間是時間 的實函數，并且是的實函數，并且是偶函數偶函數，則，則 )(tft 0)cos()(2 )cos()()()(dtttfdtttfRjF 頻譜函數頻譜函數 等于等于 ，它是，它是 的的實偶實偶函數。函數。 )( jF)( R3、如果、如果 是時間是時間 的實函數，并且是的實函數，并且是奇函數奇函數，則，則 )(tft 0)sin()(2 )sin()()()(dtttfjdtttfjjXjF 頻譜函數頻譜函數 等于等于 ，它是，它是 的的虛奇虛奇函數。函數。 )( jF)( jX 4、 的傅里葉變換的傅里葉變換)( tf dtetftftj )()( 令令 ，得