1、 第一章第五節(jié)第五節(jié) 極限運算法則極限運算法則一、無窮小運算法則一、無窮小運算法則二、極限的四則運算法則二、極限的四則運算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) ,min21一、一、 無窮小運算法則無窮小運算法則定理定理1證明證明:設(shè),0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當(dāng)100 xx時, 2, 02當(dāng)200 xx時, 2取時, 則當(dāng)00 xx22因而.0)(lim0 xx這說明當(dāng)0 xx 時,為無窮小 .有限個無窮小的和還是無窮小 .考慮兩個無窮小的和. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 注注:如如1211l

2、im222nnnnnn1類似可證:無限個無窮小之和不一定是無窮小無限個無窮小之和不一定是無窮小! !有限個無窮小之和仍為無窮小有限個無窮小之和仍為無窮小 . .定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.uM又設(shè),0lim0 xx證明證明:設(shè)函數(shù) u(x)在 內(nèi)有界,01(,)U xo即存在M 0, ),(10 xUx對即,0,02當(dāng)),(20 xUx時, .M取,min21則當(dāng)),(0 xUx時, 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 時的無窮小 .推論推論 1推論推論 2 .uM.M常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.有限個無窮小的乘積是無窮小.

3、例例1 解解: 1sinx01limxx由定理 2 知.0sinlimxxx注注 :xxysin的水平漸近線 .sinlimxxx求 y = 0是曲線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則,)(lim,)(limBxgAxf那么(1) lim ( )( )f xg xlim( )lim ( )f xg x(證明略證明略.);AB定理定理 3 假設(shè)(2) lim ( )( )f xg xlim( ) lim ( )f xg x;A B(3)lim( )lim ( )f xg x.AB若B0 , ( )lim( )f xg x那么注注:(1)

4、(2)可以推廣到有限個函數(shù)的情形.推論推論 1lim( )C f x( C 為常數(shù) )推論推論 2lim ( )nf x( n 為正整數(shù) )lim( )Cf xlim( )nf x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 例例201( )nnnP xaa xa xL那那么么0lim( )nxxP x0a01limxxa xL0limnnxxa x)(0 xPn 設(shè)n次多項式0a10a xL0nna x求解解:0lim.nxxax0limnxxax0limnxxax0limnxxax0.nax例例3 0( )lim.( )xxP xQ x其中)(, )(xQxP都是多項式， 且0()0.Q

5、 x求解解:0( )lim( )xxP xQ x00lim( )lim( )xxxxP xQ x00().()P xQ x0()0Q xQ有理整函數(shù)有理分式函數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) x = 3 時分母為 0 !31lim3xxx例例5934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx31例例43231lim53xxxx3323lim(1)lim(53)xxxxx26.3 例例6解解:2154lim23xxxxQ0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , .4532lim21xxxx求x = 1 時,但分子0 , 目錄 上頁 下頁

6、返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 例例72211243lim139xxxx 2.322243lim39xxxx例例8232321lim25xxxxx0.233311lim152xxxxxx例例932225lim321xxxxx.由例由例8“ 抓大頭抓大頭”“ 生成無窮小量法生成無窮小量法”或叫或叫 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 一般地：一般地：為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mmmxaxaxa110limnnnbxbxb11000,ab0,nm當(dāng).nm當(dāng),nm當(dāng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 定理定理4 ,lim,limByAxnnnn 那么)(lim) 1 (nnn

7、yx (2) limnnnxy,00)3(時且當(dāng)BynBAyxnnnlimBAA B假設(shè)設(shè)有數(shù)列 、 nx ,ny定理定理5,)(lim,)(limBxgAxf且那么.BA( )( )( )xf xg x，由保號性定理得),()(xgxf假如證明證明: 令那么lim ( )x( )0 x,AB且0AB ，.AB即 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 定理定理6 當(dāng) 時,00(,)oxU x0( ),g xu0lim( ),uuf uA那么0lim ( )xxf g x0lim( )uuf u 注注:0lim( ),xxg x 那么0lim ( )xxf g x三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限

8、運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 設(shè) 由 ( )yf g x與 復(fù)合而成,( )ug x( )yf u00lim( ),xxg xu假設(shè)在 x0 的某去心鄰域內(nèi)有定義. ( )yf g x且存在00,. A(2) 假設(shè)假設(shè)lim( )uf uAlim( )uf uA( )( )( )( )(證明略證明略)0lim ( ),xg xu那么lim ( )xf g x(1) 假設(shè)假設(shè)0lim( )uuf uA0lim( )uuf uA()x()x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 例例10解解:.93lim23xxx23,9xux3limxu31lim3xx原式 =uu61lim6166求

9、求令那么例例11301 1lim1 1xxx 求求解解:61,ux21(1)(1)lim(1)(1)uuuuuu則原式 =3211lim1uuu3.2令211lim1uuuu16 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 例例12 求求解解:.11lim1xxx,xu 那么, 1lim1ux令211lim1uuu原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2方法方法1 1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運算法則(1) 無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運算法則注

10、意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法:分子或分母有理化法約分法約去零因子生成無窮小量法“ 抓大頭”換元法設(shè)中間變量去根號 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 思考及練習(xí)思考及練習(xí)1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在不存在 . 否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 3. 求求. )1(lim2xxxx解解:原式 =xxxx1lim21111lim2xx214. 22lim3.2xxxax解解 :即2lim20,xxQ22lim ()0 xxxa2.a 試確定常數(shù) a 使2220,a 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 10,0.aab5. 21lim0.1xxaxbx解解 :即1,1.ab 試確定常數(shù) a、b 使21lim01xxaxbx2(1)()1lim01xa xab x