1、第二節二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則 四、初等函數的求導問題四、初等函數的求導問題 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數的求導法則 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構造性定義 )求導法則求導法則其它基本初等其它基本初等函數求導公式函數求導公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數求導問題初等函數求導問題本節內容機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 定理定理.具有導數都在及函數xxvvxu

2、u)()()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以證明,并同時給出相應的推論和例題 .)0)(xv機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設, 那么vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()

3、(lim0)()(xvxu故結論成立.wvuwvu)( ,例如機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例如,(2)vuvuvu )(證證: 設設, )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( C為常數 )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4

4、(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu證證: 設設)(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結論成立.)()()()()(2xvxvxu

5、xvxu推論推論:2vvCvC機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( C為常數 ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )( xf二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 定理定理. y 的某鄰域內單調可導, 證證: 在 x 處給增量由反函數的單調性知且

6、由反函數的連續性知 因而,)()(1的反函數為設yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1例例3. 求反三角函數及指數函數的導數求反三角函數及指數函數的導數.解解: 1) 設設,arcsinxy 那么,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arcc

7、os利用0cosy, 那么機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2) 設, )1,0(aaayx那么),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當ea時,小結小結:機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 在點 x 可導, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則定理定理.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導復合函數 fy )(xg且d( )()=.dy

8、dy dufu gxxdu dx在點 x 可導,證證:)(ufy 在點 u 可導, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當 時 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關鍵: 搞清復合函數結構, 由外向內逐層求導.推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 求下列導數求下列導數:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()

9、(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch說明說明: 類似可得類似可得;sh)(chxx axxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 設設, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee考慮考慮: 假設假設)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的導數?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩

10、個記號含義不同練習練習: 設設,)(xfffy .,)(yxf求可導其中機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6. 設設, )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx那么 )(arshx112x(反雙曲正弦)其它反雙曲函數的導數見 P94例16. 2shxxeex的反函數機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 四、基本初等函數的求導四、基本初等函數的求導1. 常數和基本初等函數的導數 (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtans

11、ec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 有限次四則運算的求導法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數 )0( v3. 復合函數求導法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數在定義區間內可導初等函數在定義區間內可導, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說明說明: 最基本的公式最基本

12、的公式uyddxudd其它公式用求導法則推出.且導數仍為初等函數且導數仍為初等函數機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7. 求解解: :,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 設),0( aaaxyxaaaxa解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例9.（選）（選） 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe

13、112xx關鍵關鍵: 搞清復合函數結構搞清復合函數結構 由外向內逐層求導由外向內逐層求導機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內容小結內容小結求導公式及求導法則 (見 P94)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復合函數結構 , 由外向內逐層求導 .41143x1.xx1431x思考與練習思考與練習對嗎?2114341xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 設設, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a閱讀 L.P 51 例1 正確解法:)(a

14、f 時, 下列做法是否正確?在求處連續,機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 求下列函數的導數求下列函數的導數解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 4. 設設),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導數定義利用導數定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導公式利用求導公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 作業作業P 94-95習題2-2A1(1)(3)(5)(7)(9)(11)(12)(14) ;2(1)(4)