1、China University of Mining and Technology第三章第三章 行列式及其應用行列式及其應用3.1 3.1 行列式的定義行列式的定義 3.2 3.2 行列式的性質行列式的性質 3.3 3.3 行列式的應用行列式的應用 China University of Mining and Technology 學習要點學習要點： 1. 了解行列式的定義及其性質。了解行列式的定義及其性質。 2. 會運用行列式的性質求行列式的值。會運用行列式的性質求行列式的值。 3. 重點掌握行列式在理論推導中的應用，主要有以下三重點掌握行列式在理論推導中的應用，主要有以下三個定理：個定理：

2、 （1）行列式展式定理；）行列式展式定理； （2）克萊姆法則；）克萊姆法則； （3）行列式乘法定理。）行列式乘法定理。China University of Mining and Technology3.1 3.1 行列式的定義行列式的定義引例引例3.1 用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組.22221211212111bxaxabxaxa 解解 第一個方程乘以第一個方程乘以a22，第二個方程乘以，第二個方程乘以a12，然后兩方程，然后兩方程相減得相減得 .212221121122211baabxaaaa類似可得類似可得.211211221122211abbaxaaaaChina

3、University of Mining and Technology當當 021122211aaaa時時, 得方程組的解得方程組的解.,211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx212221121122211baabxaaaa.211211221122211abbaxaaaa我們引進我們引進二階行列式二階行列式的概念的概念, 即定義即定義,2112221122211211aaaaaaaa那么那么, 方程組的解可整齊地表示為方程組的解可整齊地表示為.,222112112212112222112112221211aaaababaxaaaaab

4、abxChina University of Mining and Technology二階行列式二階行列式22211211aaaa又稱為二階方陣又稱為二階方陣22211211aaaaA的行列式的行列式類似地，如果定義類似地，如果定義三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa11122122aaAaa記作記作11221221a aa aChina University of Mining and Technology含有三個未知量的線性方程組含有三個未知量

5、的線性方程組,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa0333231232221131211aaaaaaaaaD當系數矩陣的行列式當系數矩陣的行列式 時，通過計算可知其解可整齊地表示為時，通過計算可知其解可整齊地表示為 China University of Mining and Technology112131111311121222232122321222332333133331323123111213111213111213212223212223212223313233313233313233,baaabaaabbaaaba

6、aabbaaabaaabxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaChina University of Mining and Technology問題問題nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111111212122212nnnnnnaaaaaaaaa使得方程組的解可整齊地表示為使得方程組的解可整齊地表示為設設nn的線性方程組的線性方程組如何定義如何定義 n 階行列式階行列式China University of Mining and Technology1121111212222212222121111211112

7、121222212221212,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaaaabbaaaabbaaaabxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa（這里假設分母不為零）（這里假設分母不為零）China University of Mining and Technology在在 D 中劃掉第中劃掉第 i 行和第行和第 j 列元素而剩下的元素按原來列元素而剩下的元素按原來相對位置不變所構成的低一階的行列式，稱為相對位置不變所構成的低一階的行列式，稱為 (i,j) 元元素的素的，記為，記為Mij ,稱稱Aij = (-1)i+j Mij為為 (i,j) 元素的元素的。nnnnnnaaaaaaa

8、aaD212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211用式子用式子D表示方陣表示方陣A的元素按某種規則運算得到的一的元素按某種規則運算得到的一個數，稱為個數，稱為A的行列式。的行列式。China University of Mining and Technology132333322232211 nnnnnnnaaaaaaaaaM131333312232112 nnnnnnnaaaaaaaaaM111111)1(MA 122112)1(MA 例如：例如：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 China University of Minin

9、g and Technologyn 階行列式階行列式的值定義如下：的值定義如下：njjjjMaA1111(-1)當當n=1時，時， =a11;當當n2時，假設對時，假設對n-1階行列式已有定義，則階行列式已有定義，則（上式又稱（上式又稱按第一行展開按第一行展開）111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaannnjjjAaAaAaAa1112121111111（3.1）AChina University of Mining and Technology由定義，可得二階行列式與三階行列式的計算由定義，可得二階行列式與三階行列式的計算22211211aaaa21122211121211

10、11aaaaAaAa131312121111333231232221131211AaAaAaaaaaaaaaa323122211333133221123332232211aaaaaaaaaaaaaaa312213332112322311322113133212332211-aaaaaaaaaaaaaaaaaaChina University of Mining and Technology計算下三角行列式計算下三角行列式11212212nnnnnaaaAaaa按第按第1行展開行展開)1(3233322211nnnnnaaaaaaa按第按第1行展開行展開334344112234(2)nnnnna

11、aaa aaaa nnaaa2211解解 根據行列式的定義根據行列式的定義nnnnnaaaaaaA21222111例例3.1China University of Mining and Technology特別地，特別地，niindddd121nddd21China University of Mining and Technology作業作業P55 1（1）（）（3）China University of Mining and Technology對于方陣對于方陣 ，設，設Aij表示元素表示元素aij的代數余子式，稱矩陣的代數余子式，稱矩陣nnijaA)( nnnnnnTijAAAAAAAA

12、AAA212221212111為為 A 的的伴隨矩陣伴隨矩陣。3.2 3.2 行列式的性質行列式的性質China University of Mining and TechnologyijijAAankjkik, 0,1ijijAAankkjki, 0,1), 2 , 1,(njiEAAAAA p即行列式等于其任一行（列）元素與其對應的代數余子式乘即行列式等于其任一行（列）元素與其對應的代數余子式乘積之和（亦即行列式可按任一行或任一列展開）；積之和（亦即行列式可按任一行或任一列展開）；p任一行（列）元素與另一行（列）元素所對應的代數余子式任一行（列）元素與另一行（列）元素所對應的代數余子式乘積

13、之和為零。乘積之和為零。即即China University of Mining and Technology3121-4)015-1-(-10352320205153按第按第1行展開行展開例例3.2驗證行列式的展開定理驗證行列式的展開定理031521413D031521413解解按第按第3行展開行展開031521413)5-1-43(-35-2411201133-1按第按第3列展開列展開031521413)3113(-(-5)3121-420(-8)(-5)-20China University of Mining and Technology再驗證一下錯列或錯行展開是否為零再驗證一下錯列或

14、錯行展開是否為零?333223221312AaAaAa21133211650231322122111AaAaAa)0341(301431)3113(4324123031211)3113(2031521413DChina University of Mining and Technology1224222223214521D設設 ，求，求D的第的第3列元素的代數余子列元素的代數余子 式之和。式之和。 根據行列式的展開定理可得根據行列式的展開定理可得，03442333232221321AaAaAaAa從而，從而，0)2(34333213AAAA即，即，0.34333213AAAA，43216302

15、11118751D.44434241AAAA練習練習 已知已知 計算計算例例3.3解解China University of Mining and Technologyu利用展開定理得到計算行列式的基本方法利用展開定理得到計算行列式的基本方法 “降階法降階法”，即，即利用行列式展開定理利用行列式展開定理, 可將可將n階行列式的計算轉化為階行列式的計算轉化為n-1階行列階行列式的計算。式的計算。 根據行列式的展開定理，按第一列展開得根據行列式的展開定理，按第一列展開得.2211nnnaaaAnnnnnaaaaaaA22211211計算上三角行列式計算上三角行列式例例3.4解解China Univ

16、ersity of Mining and Technology00000000例如例如),2 , 1( ,2211niAaAaAaDininiiii性質性質3.1如果行列式如果行列式 有一行（列）的有一行（列）的 元素為零，則該行元素為零，則該行列式的值等于零。列式的值等于零。AChina University of Mining and Technology性質性質3.2 若行列式若行列式 的某一行（列）的所有元素均為兩個數的某一行（列）的所有元素均為兩個數之和，則該行列式等于相應的兩個行列式的和。之和，則該行列式等于相應的兩個行列式的和。例如例如6003003013952001992041

17、00103600300130039520012002041003100600300300395200200204100100600300139520012041003AChina University of Mining and Technology性質性質3.3 設設A是一個方陣，是一個方陣， 相應于方陣的三種初等行（列）變換，行列式也有相應的相應于方陣的三種初等行（列）變換，行列式也有相應的三種行（列）變換。一次變換后，其值會發生怎樣的變化呢？三種行（列）變換。一次變換后，其值會發生怎樣的變化呢？(1) 設設 BAjirrji)(，則，則;AB(2) 設設 BAijkrr ，則，則;AB

18、(3) 設設 BAkkri )0(-，則，則.AkB 推論推論3.1 如果行列式如果行列式 中有兩行（列）的元素相同，則該行中有兩行（列）的元素相同，則該行列式的值為零。列式的值為零。A例如例如0cbacba0ccbbaaChina University of Mining and Technology性質性質3.4 如果行列式如果行列式 中的某行元素（列）有公因子，則該中的某行元素（列）有公因子，則該公因子可提到行列式的外面。公因子可提到行列式的外面。A例如例如123331182122411311821322126364284112633218412China University of M

19、ining and Technology推論推論3.2 對于對于n階方陣階方陣A，則，則 是一個數。是一個數。,AAn推論推論3.3 如果行列式如果行列式 中有兩行（列）元素對應成比例，則中有兩行（列）元素對應成比例，則其行列式的值為零。其行列式的值為零。A09633210420021例如例如China University of Mining and Technologyu利用行列式的性質得到計算行列式的基本方法利用行列式的性質得到計算行列式的基本方法 “化三角化三角形法形法”。 其基本思路是：通過行列式的行（列）變換將行列其基本思路是：通過行列式的行（列）變換將行列式化簡為階梯形行列式，再

20、利用三角形行列式的值等于其對角式化簡為階梯形行列式，再利用三角形行列式的值等于其對角線上元素的積計算其結果。線上元素的積計算其結果。12rr 13rr 142rr 8350211042004121解解只用只用ri+krj這種變換，這種變換，例例3.5把行列式化為三角形，然把行列式化為三角形，然后計算行列式后計算行列式D的值。的值。0112201101214121D0112201101214121DChina University of Mining and Technology835021104200412132rr 835021102110412123rr 245rr/p>

21、104121344rr 20004200211041214China University of Mining and Technology說明說明1 行列式的性質凡是對行成立的，對列也成立，反之亦然。行列式的性質凡是對行成立的，對列也成立，反之亦然。說明說明2 計算行列式的方法很多，技巧也很強，重點掌握降階法計算行列式的方法很多，技巧也很強，重點掌握降階法和化三角形法。和化三角形法。矩陣矩陣A的行列式與其轉置矩陣的行列式與其轉置矩陣AT 的行列式的值相等，的行列式的值相等，即即.TAA China University of Mining and Technology計算行列式計算行列式 3

22、214214314324321D將行列式第將行列式第2、3、4列加到第一列列加到第一列, 得得321121411431432110321102141014310432104 , 3 , 21jccDj11102220311043214 , 3 , 21irri40004400311043211022324rrrr1601610例例3.6解解China University of Mining and Technologyu特征特征1：對于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把：對于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第第2行至行至n行加到第一行（列），提取公因子后在簡化計算。行加到第一行

23、（列），提取公因子后在簡化計算。 將行列式第將行列式第2,3,n列加到第一列列加到第一列, 得得abbbnababbnabbabnabbbbnaD1111abbbabbbabbbbna1111) 1( 計算計算 n 階行列式階行列式abbbbabbbbabbbbaD例例3.7解解China University of Mining and Technologybabababbbbna1) 1(1)() 1(nbabna1rri ni,2 China University of Mining and TechnologynnnnayayxxaD2221)0(32naaannnkkkkaaxxay

24、xa002221)(2132nkkkknayxaaaa計算計算 n 階行列式階行列式 利用初等列變換可將該行列式化為三角形行列式利用初等列變換可將該行列式化為三角形行列式kkkcayc 1nk, 2 nDu特征特征2：第一行，第一列及對角線元素除外，：第一行，第一列及對角線元素除外，其余元素全為零的行列式稱為爪型行列式。其余元素全為零的行列式稱為爪型行列式。例例3.8解解China University of Mining and Technology1111211221222122122211211111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaD計算范德蒙德計算范德

25、蒙德(Vandermonde)行列式行列式na na na 從最后一行開始，每行減去上一行的從最后一行開始，每行減去上一行的an倍。倍。u特征特征3：范德蒙德：范德蒙德(Vandermonde)行列式的計算過程及結論。行列式的計算過程及結論。例例3.9解解China University of Mining and Technology0)()()(0)()()(0)()()(01111121222121131232131112211121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD111121122122212212

26、2211211111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaDna na na China University of Mining and Technology)1(212222212122222112211111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa)()() 1(1211nnnnnnaaaaaaD按最后一列展開按最后一列展開1 -nD0)()()(0)()()(0)()()(01111121222121131232131112211121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

27、DChina University of Mining and Technology1121)()(nnnnnnDaaaaaaD22121111)()(nnnnnnDaaaaaaD223133)(DaaaaD121122)(aaDaaDnijjiaa1)(1111211221222122122211211111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaDChina University of Mining and Technology.27931842111111)(,0)(32xxxxfxf 的根的根求求解：解：)23)(13)(12)(3)(2)(1()( xxxx

28、f所以根為所以根為x =1,2,3.練習練習232311 1111 231 111( )1 491 2481 39271 827xxxxf xxxChina University of Mining and TechnologydcdcbabaDn2ddcdcbabaaDn000) 1(112)1(2)12()12() 1(nnnDad計算行列式計算行列式D2n的值的值按第一行展開按第一行展開00) 1(21cdcdcbababn)1(21)12() 1(nnDbc備用題備用題2解解China University of Mining and Technology)1(21)12()1(2)1

29、2()12() 1() 1(nnnnnDbcDadnnbcadDbcad)()()1(2dcdcbabaDn2China University of Mining and Technology計算計算n階行列式的值階行列式的值2112112112112nn nD 按第一行展開按第一行展開2(1) (1)211212 ( 1)12112nnnD 3(1) (1)110211 ( 1)12112nn 122nnDD112nnnnDDDD備用題備用題3解解China University of Mining and Technology2321nnDDDD212112得遞推公式得遞推公式11(2,3

30、,)nnDDn . 1, 21 nDDn所以所以112nnnnDDDDu特征特征4：所求行列式某一行（列）至多有兩個非零元素，按：所求行列式某一行（列）至多有兩個非零元素，按這一行展開，并能夠得到較低階的具有相同結構的行列式，如這一行展開，并能夠得到較低階的具有相同結構的行列式，如備用題備用題2、3。China University of Mining and Technology 只用第三種初等行變換可把只用第三種初等行變換可把A化為上三角矩陣化為上三角矩陣 證明證明設設A，B是是 n 階方陣，則階方陣，則.ABA B注注 當當A，B都是都是n階方陣時，一定有階方陣時，一定有.BAAB ij

31、sS 只用第三種初等列變換可把只用第三種初等列變換可把B化為上三角矩陣化為上三角矩陣 ijtT 即存在第三種初等矩陣即存在第三種初等矩陣(1,2,),(1,2, )ijimjkPQ 使得使得11,mkPPAS BQQT11 2211 22,nnnns sst ttASBT 并有并有 因此因此1111 11 22 22mknn nns t s ts tABPPABQQSTA BChina University of Mining and TechnologyAEAAAAAETT)(EAEAAEATTT)()(AEAEAEn) 1()(設設A是奇數階方陣，且是奇數階方陣，且 證明證明, 1,AEA

32、AT. 0 AE例例3.10證明證明China University of Mining and Technology解解例例3.11sin2sin()sin()sin()sin2sin()sin()sin()sin2A ，計算，計算Asincos0coscoscossincos0sinsinsinsincos0000Asincos0 coscoscossincos0sinsinsin0sincos0000AChina University of Mining and Technology作業作業 P64 2（2） （3） P65 5（1）China University of Mining

33、and Technology3.3 3.3 行列式的應用行列式的應用行列式的應用主要體現在理論推導行列式的應用主要體現在理論推導 。方陣方陣A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是 ，0A時，其逆矩陣時，其逆矩陣 ，其中，其中A*為為A的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。AAA11且當且當A可逆可逆說明說明1 該定理不僅可以用來判別方陣可逆，同時也提供了求該定理不僅可以用來判別方陣可逆，同時也提供了求逆矩陣的計算公式。逆矩陣的計算公式。說明說明2 當當 時，時，A稱為稱為奇異矩陣奇異矩陣，否則稱為，否則稱為非奇異矩陣非奇異矩陣。0 AChina University of Mining and Tech

34、nology證明證明 必要性必要性設方陣設方陣A可逆，則存在可逆，則存在A-1，使，使對上式兩邊取行列式，并利用行列式乘法定理得對上式兩邊取行列式，并利用行列式乘法定理得 11AA所以所以 . 0AEAA1EAAAAAA)1()1(.11AAA充分性充分性所以所以A可逆，且可逆，且設設 ，0A由行列式展開定理由行列式展開定理EAAAAA China University of Mining and Technology acbdbcadAAAAAA11221221111dcbaA討論矩陣討論矩陣何時可逆，且求其逆矩陣。何時可逆，且求其逆矩陣。. 0-bcadAA可逆的充分必要條件為可逆的充分必

35、要條件為例例3.12解解China University of Mining and Technology求求A的逆矩陣的逆矩陣.343122321A02343122321A.1存在存在 A, 2341211A, 3331212A, 2, 6, 6, 223222113AAAA, 2, 5, 4333231AAA222563462211A例例3.13解解China University of Mining and Technology，naaaA21112111naaaA設設. ),1,2,(00niaAi例例3.14證明證明證明證明A可逆的充要條件是可逆的充要條件是，),1,2,(0niai

36、并求其逆。并求其逆。China University of Mining and Technology設設A，B均為均為n階方陣，證明階方陣，證明AB可逆的充分必要條件可逆的充分必要條件是是A，B均可逆。均可逆。若若A，B均可逆，則均可逆，則 從而從而，00BA0,BAAB因此因此AB可逆。可逆。 反之，若反之，若AB可逆，則可逆，則 從而從而0,BAAB，00BA因此因此A、B可逆。可逆。 例例3.15證明證明China University of Mining and Technology0DA1*1xA bA bA有唯一解有唯一解., 2 , 1,njDDxjj解的分量為解的分量為注注

37、通常把解的分量表達式叫做克萊姆法則。通常把解的分量表達式叫做克萊姆法則。設設，則線性方程組，則線性方程組Axb其中其中Dj (j=1,2,n)是把系數行列式是把系數行列式 D中第中第 j列換成向量列換成向量b而得到而得到的行列式。的行列式。China University of Mining and Technology0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD可知可知A可逆，且方程組有惟一解，其解為可逆，且方程組有惟一解，其解為由系數矩陣的行列式由系數矩陣的行列式bAAbAx11nnnnnnnnbbbAAAAAAAAADxxx21212221212111211即即證明證明Ch

38、ina University of Mining and Technology比較左右兩邊矩陣的比較左右兩邊矩陣的j 行行, 得得DDAbAbAbDxjnjnjjj)(12211China University of Mining and Technology推論推論3.4 設齊次線性方程組設齊次線性方程組Ax = 0，如果系數矩陣行列式如果系數矩陣行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAD則方程組則方程組Ax = 0只有零解。只有零解。China University of Mining and Technology已知拋物線已知拋物線 經過三點經過三點(1,0)，(

39、2,3) cbxaxy 2(-3,28)，求該拋物線的方程。，求該拋物線的方程。 將三點的坐標代入拋物線方程，得將三點的坐標代入拋物線方程，得a,b,c應滿足的非線性應滿足的非線性 .28393240cbacbacba經計算得經計算得 ，020139124111D，4013281231101D例例3.16解解方程組方程組China University of Mining and Technology故由克萊姆法則，上述方程組的惟一解為故由克萊姆法則，上述方程組的惟一解為 ，6012891341012D.2028393240113D，21DDa，32DDb. 13DDc于是所求拋物線方程為于是

40、所求拋物線方程為 1.3-22xxyChina University of Mining and Technology0)4(20)6(2022)5(zxyxzyx 系數行列式系數行列式402062225D按第按第3行展開行展開062226225)4(，)8)(2)(5(當當 時，齊次方程組有非零解。時，齊次方程組有非零解。825，當當 為何值時，齊次方程組有非零解？為何值時，齊次方程組有非零解？ 例例3.17解解China University of Mining and Technology1232) 3(122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx問問a,b為何

41、值時，方程組有唯一解，無解，無窮多解。有無窮多為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多解。有無窮多解時，求出其通解。解時，求出其通解。aaA1232310221011113210231022101111aa已知方程組已知方程組 系數矩陣是方陣首選行列式法系數矩陣是方陣首選行列式法例例3.18解解China University of Mining and Technology2) 1(100010221321231221aaaaa當當a1時，方程組有唯一解；時，方程組有唯一解；0, 1Aa0, 1Aaa=11101123221022101111bA01100000000022101111br當當

42、 時，方程組無解。時，方程組無解。1 b當當 時，方程組有無窮多解。時，方程組有無窮多解。1 b當當a=1 時，方程組可能無解也可能有無窮多解，需討論。時，方程組可能無解也可能有無窮多解，需討論。China University of Mining and Technology0011000000002210110100100000000022101111rrA通解為通解為24132122111221kxkxkkxkkxChina University of Mining and TechnologynnnniiiiiiiiinnnnnnaaaaaaaaaaaaD2211212,1),(212

43、222111211(-1).其中，其中，niii,21是自然數是自然數1，2，n 的一個排列；的一個排列；niii,21是對所有這樣的排列求和，共有是對所有這樣的排列求和，共有 項；項；! n),(21niii是排列是排列 的逆序數，其定義為：的逆序數，其定義為： niii,21nstiiii,1在一個排列在一個排列 中，如果中，如果 ，則稱出現一個，則稱出現一個stii 逆序，一個排列中出現逆序的總數稱為這個排列的逆序數。逆序，一個排列中出現逆序的總數稱為這個排列的逆序數。China University of Mining and Technology例如例如(1,2,3)=0, (2,3

44、,1)=2, (3,1,2)=2,(3,2,1)=3, (1,3,2)=1, (2,1,3)=1,333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa132231112332122133a a aa a aa a a因此因此China University of Mining and Technology解解 根據行列式的逆序數定義，能夠出現根據行列式的逆序數定義，能夠出現x4，x3的項只有的項只有設設，3213213212-321)(xxxxxxf例例3.19問問f(x)中中x4，x3系數分別系數分別是多少？是多少？41322314aaaa和和34321214-aaaa故故4332211441322314-)(aaaaaaaaxf2)-(2-2)-(23xxxx344- xx所以，所以，x4，x3的系數分別為的系數分別為1，-4。China University of Mining and Technology計算計算n 階行列式階行列式nnxxxxD321Dn拆分為如下兩個行列式，且第一個行列式按最后一列展開，拆分為如下兩個行列式，且第一個行列式按最后一列展開，321321000 xxxxx