1、1.4 4邏輯聯結詞邏輯聯結詞“且且”“”“或或”“”“非非”1.通過數學實例,了解邏輯聯結詞“且”“或”“非”的含義.2.通過本節學習,會用“且”“或”“非”改寫有關命題,會寫一個命題的否定,并會判斷其真假.3.能舉實例,體會“且”“或”“非”在數學中的意義,并注意與生活語言相區別,從而會正確使用邏輯聯結詞.1.邏輯聯結詞“且”用“且”聯結兩個命題p和q,構成一個新命題“p且q”.說明:(1)對“且”的理解,可聯想“交集”的概念.邏輯聯結詞中的“且”的含義與AB=x|xA,且xB中的“且”的含義是一致的.(2)如果命題“p且q”是真命題,那么命題p和命題q都是真命題;如果命題“p且q”是假命

2、題,那么命題p和命題q中至少有一個是假命題,即以下三種情況必有一種情況出現:命題p為真,命題q為假;命題p為假,命題q為真;命題p為假,命題q為假.2.邏輯聯結詞“或”用“或”聯結兩個命題p和q,構成一個新命題“p或q”.說明:(1)對“或”的理解,可聯想“并集”的概念.邏輯聯結詞中的“或”的含義與AB=x|xA或xB中的“或”的含義是一致的.(2)如果命題“p或q”是真命題,那么命題p和命題q至少有一個是真命題,即以下三種情況中必有一種情況出現:命題p為真,命題q為假;命題p為假,命題q為真;命題p為真,命題q為真.如果命題“p或q”是假命題,那么命題p和命題q都是假命題.【做一做1-1】

3、下列命題中既是“p或q”形式,又是真命題的是()A.方程x2-x+2=0的兩根是-2,1B.方程x2+x+1=0沒有實根C.2n-1(nZ)是奇數D.a2+b20(a,bR)解析:A選項不是“p或q”形式;B選項中的命題不是“p或q”的形式;C選項中的命題也不是“p或q”的形式;D選項中a2+b20由a2+b20或a2+b2=0構成,且是真命題,故選D.答案:D【做一做1-2】 已知p與q是兩個命題,給出下列命題:只有當命題p與q同時為真時,命題“p或q”才能為真;只有當命題p與q同時為假時,命題“p或q”才能為假;只有當命題p與q同時為真時,命題“p且q”才能為真;只有當命題p與q同時為假時

4、,命題“p且q”才能為假.其中真命題是()A.B.C.D.答案:B3.邏輯聯結詞“非”對命題p加以否定,就得到一個新命題,記作p,讀作“非p”.說明:(1)對“非”的理解,可聯想“補集”的概念.若將命題p對應集合P,則命題“非p”就對應集合P在全集U中的補集UP.(2)一個命題的否定與該命題的否命題不是一回事,命題的否定只是否定命題的結論,而否命題則是既否定命題的條件又否定命題的結論.【做一做2-1】 命題“方程x2-1=0的解是x=1”中,使用邏輯聯結詞的情況是()A.沒有使用邏輯聯結詞B.使用了邏輯聯結詞“且”C.使用了邏輯聯結詞“或”D.使用了邏輯聯結詞“非”解析:x=1的含義是x=-1

5、或x=1.答案:C【做一做2-2】 分別用“p或q”“p且q”“非p”填空:(1)命題“2是偶數且為質數”是的形式;(2)命題“|x-1|1的解集為x|x2或x0”是的形式;(3)命題“-3不小于零”是的形式.答案:(1)p且q(2)p或q(3)非p4.真值表題型一題型二題型三題型四【例1】 分別寫出由下列各組命題構成的“p且q”形式的新命題,并判斷新命題的真假:(1)p:30是5的倍數,q:30是8的倍數;(2)p:平行四邊形的對角線互相平分,q:平行四邊形的對角線相等;(3)p:x=1是方程x-1=0的根,q:x=1是方程x+1=0的根.分析:用邏輯聯結詞“且”把命題p,q聯結起來構成“p

6、且q”形式的命題;利用命題“p且q”的真值表判斷其真假.題型一題型二題型三題型四解:(1)p且q:“30是5的倍數且是8的倍數”.因為命題p是真命題,命題q是假命題,所以命題p且q是假命題.(2)p且q:“平行四邊形的對角線互相平分且相等”.因為命題p是真命題,命題q是假命題,所以命題p且q是假命題.(3)p且q:“x=1是方程x-1=0的根且是方程x+1=0的根”.因為命題p是真命題,命題q是假命題,所以命題p且q是假命題.反思反思1.若兩個命題有公共的主語,寫成“且”命題時,后一個命題可省略主語.2.判斷“且”命題真假的方法和步驟:(1)判斷每一個命題的真假;(2)利用真值表判斷“且”命題

7、的真假.題型一題型二題型三題型四【變式訓練1】 將下列命題用“且”聯結成新命題,并判斷它們的真假.(2)p:NZ,q:0N;(3)y=cosx是周期函數,又是偶函數.解:(1)p且q:1”.因為p是真命題,q是真命題,所以“p且q”是真命題.(2)p且q:“NZ且0N”.因為p是真命題,q是假命題,所以“p且q”是假命題.(3)p且q:“y=cosx是周期函數且y=cosx是偶函數”.因為“y=cosx是周期函數”與“y=cosx是偶函數”都是真命題,所以這個命題是真命題.題型一題型二題型三題型四【例2】 對下列各組命題,利用邏輯聯結詞“或”構造新命題,并判斷新命題的真假:(1)p:正數的平方

8、大于0,q:負數的平方大于0;(2)p:58,q:58;(3)p:方程(x-1)(x-2)=0的根是x=1,q:方程(x-1)(x-2)=0的根是x=2.分析:對于給定的命題p,q可以直接用“或”進行聯結,而不作任何形式上的變動.解:(1)p或q:“正數或負數的平方大于0”,是真命題.(2)p或q:“58或52,q:2=2;(2)p:是0的真子集,q:0;(3)p:函數y=x2+2x+5的圖像與x軸有公共點,q:方程x2+2x+5=0沒有實數根.解:(1)p:22,是假命題,q:2=2,是真命題,命題“p或q”是真命題,“p且q”是假命題,“非p”是真命題.(2)p:是0的真子集,是真命題,q

9、:0,是假命題,命題“p或q”是真命題,“p且q”是假命題,“非p”是假命題.(3)p:函數y=x2+2x+5的圖像與x軸有公共點,是假命題,q:方程x2+2x+5=0沒有實數根,是真命題,命題“p或q”是真命題,“p且q”是假命題,“非p”是真命題.題型一題型二題型三題型四【例3】 寫出下列各命題的否定及其否命題,并判斷它們的真假.(1)若x,y都是奇數,則x+y是偶數;(2)若xy=0,則x=0或y=0.解:命題的否定分別是:(1)若x,y都是奇數,則x+y不是偶數.是假命題.(2)若xy=0,則x0,且y0.是假命題.命題的否命題分別是:(1)若x,y不都是奇數,則x+y不是偶數.是假命

10、題.(2)若xy0,則x0,且y0.是真命題.題型一題型二題型三題型四反思反思1.對命題進行否定時,要注意觀察命題的特點:(1)簡單命題的否定只要直接否定判斷詞,如“3是正數”的否定是“3不是正數”.(2)對全稱命題的否定在否定判斷詞時還要否定全稱量詞變成特稱命題;對省略全稱量詞的全稱命題要補回全稱量詞再否定;對特稱命題的否定要否定特稱量詞變成全稱命題.(3)命題“若p,則q”的否定是“若p,則非q”.2.否命題則需同時否定條件與結論.題型一題型二題型三題型四【變式訓練3】 寫出下列命題的否定及否命題.(1)面積相等的三角形是全等三角形;(2)若m2+n2+x2+y2=0,則實數m,n,x,y

11、全為零.解:(1)命題的否定:面積相等的三角形不都是全等三角形.否命題:面積不相等的三角形不是全等三角形.(2)命題的否定:若m2+n2+x2+y2=0,則實數m,n,x,y不全為零.否命題:若m2+n2+x2+y20,則實數m,n,x,y不全為零.題型一題型二題型三題型四【例4】 設命題p:函數f(x)=命題q:關于x的不等式3x-9x0得3x1,所以y=3x-9x的值域為(-,0).若命題q為真命題,則a0.由命題“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,得命題p,q一真一假.當p真q假時,a不存在;當p假q真時,0a2.故滿足條件的a的取值范圍是a|0a2.反思反思先求p,q中的a的取值范

12、圍,再利用“p或q”為真,“p且q”為假構造關于a的不等式組,求出適合條件的a的取值范圍.題型一題型二題型三題型四【變式訓練4】 已知p:方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0無實數根.若“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,求m的取值范圍.解:p:方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0無實數根,0,即16(m-2)2-160,題型一題型二題型三題型四16(m2-4m+3)0,1m3.“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,命題p,q一真一假.解得1m2.故m的取值范圍為m|14B.p:aa,b,c,q:aa,b,cC.p:15是質數,q:8是12的約數D.p:2是偶數,q:2不是質數答案:B1 2 3 4 5 6A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析:由p,得x-1.由q,得-1