1、1第一章隨機事件及其概率一、隨機事件及其運算1.樣本空間、隨機事件1樣本點：隨機試驗的每一個可能結果，用與表示；2樣本空間：樣本點的全集，用L 表示；注：樣本空間不唯一.3隨機事件：樣本點的某個集合或樣本空間的某個子集，用A,B,C,表示;4必然事件就等于樣本空間；不可能事件(。)是不包含任何樣本點的空集；5基本事件就是僅包含單個樣本點的子集。2. 事件的四種關系1包含關系：Au B，事件 A 發生必有事件 B 發生；2等價關系：A = B ,事件 A 發生必有事件 B 發生，且事件 B 發生必有事件 A 發生；3互不相容(互斥)：AB=。，事件 A 與事件 B 一定不會同時發生。- .一一.

2、 A A_ : 14對立關系(互逆):A,事件A發生事件 A 必不發生，反之也成立；互逆滿足 0,貝U P( Bi| A)P(B)P(A|BJ31. 事件的對立與互不相容是等價的。(X)2. 若P(A) =0,則A=0。(X)3. 若P(A) =0.1, P(B) =0.5,WJP(AB) =0.05。 (X)4. A,B,C 三個事件恰有一個發生可表示為ABC+ABC+ABC。( V )5. n 個事件若滿足yi, j, P(AjP()P(Aj)，則 n 個事件相互獨立。(X)6.當Au B時，有 P(B-A)=P(B)-P(A) 。(V)第二章隨機變量及其分布一、 隨機變量的定義： 設樣本

3、空間為Q ,變量X =X(co)為定義在Q上的單值實值函數，則稱 X 為隨機變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、 分布函數及其性質1.定義：設隨機變量X，對于任意實數XW R，函數F(x) = PX苴x稱為隨機變量X的概率分布函數，簡稱分布函數。注：當X1X2時，P(X1X、X2) =F(X2) F(X1)X 是離散隨機變量，并有概率函數p(Xj),i =1,2，則有 F(x)=Z p(x).xi3XX 連續隨機變量，并有概率密度f (X)，貝 U F(X)=P(X 苴X) = f f (t)dt.-=02.分布函數性質：(1F F( X X)是單調非減函數，即對于任意X

4、X10), k = 0, 1, 2,. k!四、連續隨機變量及其分布1.定義.若隨機變量 X X 的取值范圍是某個實數區間I,I,且存在非負函數 f(x)，使得對于任意區間(a,buI ,有P(a X b) = J f (x)dx，則稱 X X 為連續隨機變量；函數 f f (x)(x)稱為連續隨機變量 X X 的概率密度函數，簡稱概率密度。a注 1:連續隨機變量 X X 任取某一確定值的x0概率等于 0,即P(X =x) =0;X汪 2:P(x1:X :x2) =P(x1=X%x2) = P(x1 2X :x2)= P(x1:： X %x2) =f (x)dx注 1: 一個函數若滿足上述 2

5、 個條件，則它必是某個隨機變量的概率密度函數。注2:當x1x2時，P(x1X壬x2) =F(x2)F(x)且在 f(x)的連續點 x x 處，有F (x) =f(x).3.幾種常見的連續隨機變量的分布：(1) E(C) =C, (C為常數)(2) E(CX)=CE(X)2.期望的性質： v 12.概率密度 f f (x)(x)的性質：，性質 1:1:f(x)芝0;性質2:0f (x)dxx2二 f(x)dxx1均勻分布X U(a,b),f(x)=b a0a _x _b其它F(x)=0,x：a;x - a-,axcb;b a指數分布X e(，)，, 0f(x)0,x _0 x :01 -eTx,

6、 x A0,0,正態分布X N(.、；2) : 0(x一J)2一.-o .2f(x) = e ,.2 捉F(x) =(t_J2x -e2。dt, -二：:x ：二1.2.當 N N 充分大時，超幾何分布 H H (n,n, M,M, N N)可近似成泊松分布。概率函數與密度函數是同一個概念。3.設 X 是隨機變量，有P(a X b) = P(aX b)。( X )4.若X的密度函數為f (x)=cos x, x 0,項，則P(0 X X=E EX X-E E(X X)20;它反映了隨機變量 X X 取值分散的程度，如果 D D(X X)值越大(小)，表示 X X 取值越分散(集中)。2. 方差

7、的性質(1)D(C) =0, (C為常數)(2)D(CX)=C2D(X) 若X與Y相互獨立，貝U D(X土Y)=D(X)+D(Y)(4) 對于任意實數 C R,有 E E ( ( X-CX-C ) )2 2 D(D( X X ) )當且僅當 C C = = E(XE(X)時，E E ( ( X-CX-C ) )2取得最小值 D(X).D(X).(5) (切比雪夫不等式):設 X X 的數學期望 日 X X)與方差 D D(X X)存在，對于任意的正數 們有P(|XP(|X -E(X)B-E(X)B 3 3 MDi.MDi.或P(|X-E(X)|P(|X-E(X)| e)e) Ml-DMl-D

8、.ee3. 計算 利用方差定義；(2)常用計算公式 D(X) =E(X2)E(X)2.(3)方差的性質；(4)常見分布的方差.注：常見分布的期望與方差1.若 X X B(nB(n, p p),則 E( X X)=np, D D(X X) = npqnpq; 2.若X P,則E(X)=D(X)=Z;3.若 X X UaUa, b b),則E(X)=空，D(X)=;4. 若Xe0),則E(X)=【，D(X) = ：;212-.25.若XN。,。2),則E(X)=H, D(X)=s2.三、原點矩與中心矩kk(總體)X 的 k 階原點矩：vk(X) = E(X )(總體)X 的 k 階中心矩：uk(X

9、) = EX E(X)1.只要是隨機變量，都能計算期望和方差。(X )2.期望反映的是隨機變量取值的中心位置，方差反映的是隨機變量取值的分散程度。(V)3.方差越小，隨機變量取值越分散，方差越大越集中。 (X )4. 方差的實質是隨機變量函數的期望。(V)5. 對于任意的 X,Y,都有D(X Y)=DX +DY成立。(X )第四章正態分布一、正態分布的定義62,標準正態分布3.標準差c-(X) =c-一、正態分布的性質四、中心極限定理1_心2X N(比b2)概率密度為f (X) =re2兀CJ2,一8 x e,其分布函數為F (x)=1一 e宕dt2二：(t _ I)注：F(L)二方.正態密度

10、函數的幾何特性:(1)曲線關于X=陽稱；1當 x=由寸，f(x)取得最大值,2 : c(3)當XT也肘，f(X)T0,以X軸為漸近線；(X II)21- - -2(4)- e2；dx = 1 =.2= =e23 dxL-rd(頃當固定G,改變 也勺大小時，f(x)的圖形不變，只是沿著y軸作平移變化.(6)當固定卬,改變 甫勺大小時，f(x)對稱軸不變而形狀在改 變，勰小，圖形越高越瘦； 越大，圖形越矮越胖.當卜=0,1時,XN(0,1),其密度函數為 q)(x)2 二2Xe2,_MCXE.且其分布函數為 6(x)t2X_e2dt中(x)的性質：(1)1(。)=云(3)：.：，(_x) =1 -

11、：.：，(x).X22dx =1 =x24=c _! e2dx = 2 二 -=O3.正態分布與標準正態分布的關系X正理：右 X N(比 cr2),貝 UY-N(0,1).CT定理：設 X N(J,二2),則 P(X1，:X _X2)=:CT工)二、正態分布的數字特征設X N(P,。2),則 1.期望 E E(X X)=卜1E(X)=,2X-W2xe2 2；- - dx =土-=O2,方差 R 為=Q21D(X)=N*D2e-20(x_.)22程 dx =。21. 線性性.設X N(H,cr2),貝 U Y =a+bX N(a +bP, b2。2), (b#0)2. 可加性.設X N(Hx，B

12、), YN(%,b2)，且 X 和 丫相互獨立,Z =X 丫N(口xy,H+E);3. 線性組合性2一設Xi N(0,Oi), I =1,2，n,且相互獨立,nnn:一CiXI N (.二Cii，.二G2*).71.獨立同分布的中心極限定理(2)樣本矩的性質8設隨機變量Xi，X2，Xn，相互獨立，服從相同的分布，且定理解釋：若Xi,X2，Xn滿足上述條件，當n充分大時，有nZX Xi-n-n(1)Y； = AN(0,1)；(2)n nsn21,.、(3)X = A Xi AN(P,打)2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理Y_、1X (t-日2設Yn B(n, p),則 limlim P P_n22

13、 苴 x x = =f e2廿dtF F lJnp(1lJnp(1 - - p)p)； V2na定理解釋：若Yn B（n, p）,當 n n 充分大時，有(1)Yn-npAN(0,1)；(2) Yn AN(np,np(1 p)np(1 -p)1. 若X N(0, 1), Y N(2, 1),則X Y N(-2, 2).( X )X- 口12. 右XN(P,s )，則P(-苴0) = .( V )二23. 設隨機變量 X 與 Y 均服從正態分布：X N(已42), Y N(P,52)而p1=P（X壬卜一4）; p2=P（Y芝卜+5），則（B ）.A.對任何實數氏 都有p p2； B.對任何實數

14、七 都有p1= p2C.只對卜的個別值，才有p1= p2；D.對任何實數都有p1p2.第五章數理統計的基本知識一、總體個體樣本1.總體：把研究對象的全體稱為總體（或母體）.它是一個隨機變量，記 X.X.2. 個體：總體中每個研究對象稱為個體.即每一個可能的觀察值.3. 樣本：從總體 X X 中，隨機地抽取 n n 個個體X1,X2，Xn,稱為總體 X X 的容量為 n n 的樣本。注： 樣本（X1，X2，Xn）是一個 n 維的隨機變量； 本書中提到的樣本都是指簡單隨機樣本，其滿足2 個特性:E(X) = J,D(X)=o2,i =1,2, ,n,;則對于任何實數 x,有limlim P Pj：

15、(t_.)2-虧dtn* Yn=Xii 4， .2、 AN(nP, n。)；4.已知連續隨機變量 X X 的概率密度函數為2x1則 X X 的數學期望為1X X 的方差為1/2 nZXi -nL皿 l 而(Tx_e9代表性：Xi,X2，Xn中每一個與總體 X X 有相同的分布. 獨立性：Xi,X2，Xn是相互獨立的隨機變量4.樣本(Xi, X2,，Xn)的聯合分布n設總體 X X 的分布函數為 F F(X X)，則樣本(X1，X2，Xn)的聯合分布函數為F(X1，X2L,Xn)=HF(Xi)；i -4n(1)設總體 X X 的概率密度函數為 f f (X X),則樣本的聯合密度函數為f (X，

16、X2,，Xn) =H Hi=1n 設總體 X X 的概率函數為p(X), (X =0,1,2,)，則樣本的聯合概率函數為p(X,X2,，Xn)=n)=n p(Xi)；i 4、統計量1.定義不含總體分布中任何未知參數的樣本函數g(X1,X2,Xn)稱為統計量，g(X1,X2,，Xn)是g(X,X2,Xn)的觀測值.注：(1)統計量g(X1,X2，,Xn)是隨機變量；(2) 統計量 g(Xi,X2，Xn)不含總體分布中任何未知參數;樣本 k k 階中心矩 Uk=】 (Xi-X)k,(k =1,2，)其觀測值. 1樣本 k 階原點矩Vk=-Xjk,(k =1,2，)與總體 k 階原點矩E(Xk),(

17、k=1,2，)；樣本 k 階中心矩UI (XiX)k,(k=1,2，)與總體 k 階原點矩EX E(X)k,(k=1,2,).前者是隨機變量，后者是常數n 3IO(3)統計量的分布稱為2.常用統計量抽樣分布.(1)樣本矩：樣本均值X =W Xi ；n7其觀測值X=L Xi.nid可用于推斷：總體均值E E(X X).c1n樣本方差S2= 寸n -1i注(Xi-X)2X2i-nX2);其觀測值s2n -1n(Xi=1-x)21n -122為FX可用于推斷：總體方差D D(X).樣本標準差S = . S2n1二一(Xin一1 II 1i注-X)n1n22芝Xi2-nX2J其觀測值n樣本 k k 階

18、原點矩 Vk= Xjk,(k=1,2，)ni其觀測值Vkn1 k二一 Xini4注：比較樣本矩與總體矩，如樣本均值X和總體均值 E E(X);X);樣本方差S2與總體方差以為；(2)樣本矩的性質10設總體 X 的數學期望和方差分別為EX =H,DX=b2,X,S2為樣本均值、樣本方差，則c -n -12. o O1oE(X)=；2oD(X)= I-2;3oE(S2)=c2.n3.抽樣分布：統計量的分布稱為抽樣分布三、3 大抽樣分布1.乂2分布: 定義.設Xi,X2，Xk相互獨立，且Xi N(0,1), i =1,2，,k，則 72=Xi2+X2 + +X2 72(k) 注：若X N(0,1),

19、則X2X2(1).(2)性質(可加性)設新2和器相互獨立，且 匕2 72),7；72(k2),則好+財K2(k1+k2).(2)性質.設XF(k，k2),則1/XF(k2,k).四、分位點定義：對于總體 X X 和給定的a(0ct 1)，若存在乂口，使得P(X芝乂營)=口則稱注：常見分布的分位點表示方法(1)/2(k)分布的a分位點7：(k);(2) t(k)分布的a分位點(k),其性質:1(3)F#(k1,k2),分布的a分位點F(k1,k2),其性質F1q(k1,k2)=-；頃2,3(4) N(0,1)分布的ot分位點u,有P(X芝uQ =1 P(XuQ =1中(uQ,第六章參數估計-、點

20、估計：設(X，X2，,Xn)為來自總體 X 的樣本，6 為X 中的未知參數，(X1，X2，,Xn)為樣本值，構造某個統計量&X，X2，Xn)作為參數8的估計，則稱做 X，X2，Xn)為，的點估計量,。(.，X?劣)為8的估計值.2.常用點估計的方法：矩估計法和最大似然估計法二、矩估計法1. 基本思想：用樣本矩(原點矩或中心矩)代替相應的總體矩2. 求總體 X 的分布中包含的 m 個未知參數,&，,確的矩估計步驟： 求出總體矩，即 E(Xk)或 EXE(X)k,k=1,2，； 用樣本矩代替總體矩，列出矩估計方程:1ZXik=E(Xk)或 1Z (XiX)k=EX E(X)k,k=

21、1,2，n . n .頊i1i J解上述方程(或方程組)得到 q q, ,% %島的矩估計量為： 島=d(X1,X2,， Xn), i=1,2， ， m %攜,的矩估計值為:耳=g(x1,X2， ，xn), i =1,2，,m3.矩估計法的優缺點：設 X X 與 Y Y 相互獨立，且 X N(0,1), YX2(k)，貝U t =t(k).,Y/k注：t t 分布的密度圖像關于 t t=0 對稱；當 n 充分大時，t 分布趨向于標準正態分布3. F F 分布： 定義.設 X X 與 Y Y 相互獨立，且 XX X2 2(k1), 丫7 72 2(k2),則=/*Y/k22. t t 分布:N(0,1). Fl).XQ為 X 分布的 a a 分位點。t1_：.(k) - -t：.(k);11優點：直觀、簡單；只須知道總體的矩，不須知道總體的分布形式.缺點：沒有充分利用總體分布提供的信息；矩估計量不具有唯一性；可能估計結果的精度比其它估計法的低三、最大似然估計法1. 直觀想法：在試驗中，事件 A 的概率 RA）最大，則 A 出現的可能性就大；如果事件A 出現了，我們認為事件A的概率最大.2. 定義 設總體X的概率函數或密度函數為p（x,e）（或f（x,a），其中參數 e e 未知，貝uX的樣本（x1,x2，xn）的聯合概率函數（或聯合密度函數）L（H）