1、二項分布及其應用引入姚明作為中鋒,他職業生涯的罰球命中率為0. 8,假設他每次命中率相同,請問他4投3中的概率是多少？問題1:在4次投籃中姚明恰好命中 問題2:在4次投籃中姚明恰好命中 問題3:在4次投籃中姚明恰好命中 問題4:在4次投籃中姚明恰好命中 問題5:在n次投籃中姚明恰好命中1次的概率是多少？ 2次的概率是多少？ 3次的概率是多少？ 4次的概率是多少？ k次的概率是多少？解讀1、條件概率(1 )條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B,在事件 A發生的條件下,事件 B發生的概率叫做條件概率,用符號P(B|A) 來表示.(2)條件概率公式：P A I BPBAPA其中PA 0'A

2、IB稱為事件A與B的積或交(或積).把由事件A與B的交(或積),記做D AI B (或D AB ).(3)條件概率的求法：利用定義,分別求出P A 和 p B A,得 P B A P AI B . P A借助古典概型概率公式,先求事件A包含的根本領件數,即 nA再求事件n AI B,得n AI Bn A2、相互獨立事件同時發生的概率(1)事件的獨立性 ：如果事件A (或 B)是否發生對事件B (或A )發生的概率沒有影響, P(B|A) P(B),這時,我們稱兩個事件 A , B相互獨立,并把這兩個事件叫做相互獨立事 件.P AgB P A gP B .如果事件A , A2,An相互獨立,那么

3、這 n個事件都發生的概率,等于每個事件發 生的概率的 積,即P(A I A2 I L I An) P(AJ P(A2)L P(An),并且上式中任意多個事 件A換成其對立事件后等式仍成立.(2)相互獨立與事件互斥兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發生,兩事件相互獨立是指一個事件發生與否對另一事件發生的概率沒有影響(如有放回的抽取模型).兩事件相互獨立不一定互斥.3、二項分布(1)獨立重復試驗如果每次試驗,只考慮有兩個可能的結果A及A,并且事件 A發生的概率相同在相同的條件下,重復地做n次試驗,各次試驗的結果相互獨立,那么一般就稱它們為n次獨立重復試驗.n次獨立重復試驗中,事件A恰好發生k次的概率

4、為Pn(k)Cn pk(1 p)n k (k 0, 1, 2, L , n).(2 )二項分布假設將事件A發生的次數設為 X ,事件A不發生的概率為q 1 p ,那么在n次獨立重復試驗 中,事件A恰好發生k次的概率是P(X k) V pkqn k,其中k 0, 1, 2, L , n .于是得到X(qnp)0 OnCn p q11 n 1.Cn p q Lk k n kCn p qn nL Cn p q各對應項的值,所以稱這樣的散型隨機變量X B(n, p).X服從參數為n , p的二項分布,記作的分布列X01knP00 nCn p q11 n 1Cn p qk k n kCn p qnn 0

5、Cn p q由 于 表 中 的 第 二 行恰 好 是典例精講一選擇題(共19小題)1. (2021春？重慶期末)設隨機變量XB (3, 0.2),那么E (2x+1)=()A. 0.6B. 1.2C. 2.2D. 3.2【分析】由隨機變量XB (3, 0.2), E (2x+1) =2E (X) +1,由此能求出結果.【解答】解：隨機變量XB (3, 0.2), E (X) =3X 0.2=0.6, E (2x+1) =2E (X) +1=2X 0.6+1= 2.2.應選：C.2. (2021春？泉州期末)設隨機變量 X, 丫滿足：丫=3X- 1 , XB (2 ,5(X> 1) =9

6、,那么 D (Y)=()A. 4P),B. 5D. 7C. 651【分析】由XB (2, p), P (X> 1)求出p=-,從而XB (2,93能求出D (X),利用D (Y) =9E (X),能求出結果.由此【解答】解：隨機變量X, 丫滿足：丫=3X- 1, XB (2,5p),P( X> 1) =9, P (X=0) =1 - P (X> 1) =?(1 - ?2=4,91 1解得 P=3,二 XB (2 , 3),144 =9X _=4.91 D(X)=2X 3 X D (Y) =9E (X)應選：A.3. (2021春?大連期末)設X為隨機變量,XB (n, 1),

7、假設隨機變量X的數學期望E (X) =2 ,那么P (X=2)等于8013A.B.243243【分析】根據X為隨機變量,XB)4C.243113D. 一16-),利用二項分布的變量的期望值公3式,代入公式得到n的值,再根據二項分布概率公式得到結果.(n,1【解答】解：隨機變量X為隨機變量,XB (n ,-),31其期望 EX=np=n=2,二 n=6 ,3 p( x=2) =?(!) 2(1 -1)4=2803應選：A.4. (2021春?金州區校級期末)假設3B (n, p),且?(?= 3 , ?(?= 2,那么 P(E =)的值為 ()31A.B. 一243C.32【分析】利用二項分布的

8、數學期望和方差性質列出方程組,求出1D.16n , p,由此能求出P (E =1的值.3【解答】解：T B (n , p),且?(?= 3 , ?(?= 3 ,? 3?(-1 ?)= |,解得 n=6 ,1p=2, P ( E =) =?(2)(1)5=32應選：C.5. (2021春?慶城縣校級期末)隨機變量X, Y滿足 X+Y=8,假設 XB (10,0.6),那么 E (Y), D (Y)分別是()A. 6 和 2.4B. 2 和 2.4C.2 和 5.6D. 6 和 5.6(10, 0.6),求出 E (X), D (X),【分析】由隨機變量X, 丫滿足X+Y=8, XB由此能求出E

9、(Y), D (Y).【解答】解：隨機變量X, 丫滿足X+Y=8, XB (10, 0.6), E (X) =10X 0.6=6,D (X) =10X 0.6X 0.4=2.4,E (Y) =E (8-X) =8-E (X) =8 - 6=2 ,D (Y) =D (8 - X) =D (X) =2.4.應選：B.6. (2021春?黃山期末)隨機變量 幼服從二項分布 B (n , P),且E ( $ =300, ?D ( $ =200,貝L等于()A. 3200B. 2700C. 1350D. 1200【分析】根據數學期望和方差列不等式組解出 n, p,從而得出答案.【解答】解：? 300?=

10、 900由題意可得?(_1?)=0200 ,解得?_ ,?應選：B.7. (2021春?龍海市校級期末)離散型隨機變量 X服從二項分布XB (n ,p)且E (X) =12, D (X) =3,那么n與p的值分別為()2 311A. 18, A. n=45, p=3B. 16, 4C. 16, 1D. 18,帀【分析】根據二項分布的均值與方差公式列方程組解出.【解答】解：XB (n, p)且 E (X) =12, D (X) =3,?22 12' ?(-1 ?)= 3? 16解得 ? 3 ,-4應選：B.18. (2021春？辛集市校級月考)假設?(? ?)=2：C. 35A. 1B.

11、 20?!那么一一的值為 3!(?-3)!D. 7【分析】根據?(? ?)= 4?2?1 ?(?_1)(?_2) 【解答】解：由?(?= ?)= J?得"(")(") 2?7X 6X 5X 4!3!4!=?!求出n,即可求出亦可的值.?(?-1)(?-2)(?-3)?!所以一?- 3!(?-3)!應選：C.3X 2X17X 6X5 =35.3 X 2 X14X 3X 2XI?= 7,9. (2021秋？東勝區校級期末)隨機變量 X服從二項分布B ( n , p),假設E(X) =30 , D (X) =20,貝U n p 分別等于()1B. n=45, p=31C

12、 n=90, p=32D. n=90, p=3【分析】直接利用二項分布的期望與方差列出方程求解即可.【解答】解：隨機變量X服從二項分布B (n , p),假設E (X) =30, D (X) =20 ,21可得 np=30, npq=20, q=-,那么 p=-, n=90,3 3應選：c.110. (2021秋?天心區校級月考)隨機變量 X: B (20,-),要使P (X=k)的3值最大,那么k等于()A. 5 或 6B. 6 或 7C. 7D. 7 或 81 2121【分析】利用 C2擊？()k? () 20 k> C20k 1 - P (x=1) =C21h? (一)11=3?2

13、 10. 2應選：B.12. (2021春？撫順期末)設服從二項分布B(n, p)的隨機變量E的期望和方差分別是2.4與1.44,那么二項分布的參數n、p的值為()A. n=4, p=0.6 B. n=6, p=0.4C. n=8, p=0.3 D. n=24, p=0.1【分析】根據隨機變量符合二項分布,根據二項分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值,得到關于n和p的方程組,解方程組得到要求的兩個未知量.? () k 1? () 21 k, C20k? () k?333332 12(-)20 k> C20k+1? (-) k+1? (-) 19k,即可得出結論.3 331

14、2【解答】解：P (X=k) =C20k? (-) k? (-) 20k,貝U331 2 _ _ 1 _ 2 _ 1 2由題意 C20k? (_) k? (_) 20 k> C20k 1? (_) k 1? (_) 21 k, C20k? (_) k? (_) 20333333k> C20k+1? (-) k+1? (-) 19k,33 k=6或 7.應選：B.11. (2021秋？七里河區校級月考)假設 XB (n , p),且E (x) =6, D (x) =3,那么P (x=1)的值為()1313A.B.C. pD.-162102184【分析】根據二項分布的期望和方差的計算公

15、式,求得p和n的值,根據P(X=k)1 1=C2k? (-)k? (一)nk,即可求得 P (X=1)的值.2 21【解答】 解：由題意 Ex=np=6, Dx=np (1 - p) =3,解得 p= , n=12,【解答】解幼艮從二項分布B(n , p)由 EE =2.4=np DE =1.44=np( 1 - p),“口1.44可得 1 - p= 24 =0.6 ,2.4 p=0.4 , n= =6.0.4應選：B.13.(2021春?天津校級期末)離散型隨機變量X服從二項分布XB(n , p) 且E (X) =12, D (X) =4,那么n與p的值分別為()2 12 1A. 18, 3

16、B. 18, 3C 12, 3D. 12 , 3【分析】根據隨機變量符合二項分布,由二項分布的期望和方差的公式, 及條件中所給的期望和方差的值,列出期望和方差的關系式,得到關于n和p的方程組,解方程組可得到n, p的值.【解答】解：隨機變量X服從二項分布XB (n, p),且 E (X) =12, D (X)=4,-E( X)=12=np,D (X) =4=np (1 - p),1與相除可得1 - p=-,32ph, n=18.3應選：A.14. (2021春?紅橋區期末)隨機變量1E服從二項分布,且 B (3,-),那么3P ( E =)等于1A.-3)4B.-92D.-3【分析】根據隨機變

17、量E服從二項分布,2C. -91B (3 , -),得到變量對應的概率公3式,把變量等于1代入,求出概率.【解答】解：隨機變量E服從二項分布,1B (3,-),3 P ( E =) =?號?(3)2=4, 應選：B.315.2021春？福建校級期末假設隨機變量 B 10,那么D 5E- 3等于5C. 57A. 9B. 12D. 60【分析】【解答】利用二項分布的方差公式進行計算.310,：5解：隨機變量匕B3 2 12 D (B=10x x=5 5 5 D (5E- 3) =25D ( E =60.應選：D.16. 2021春?銅仁市校級期中 差等于10,那么n, p的值分別為1 1A. 40

18、0,B. 200,-2 20【分析】根據隨機變量符合二項分布,中所給的期望和方差的值,得到關于隨機變量XB n, p,其均值等于200,標準1 1C. 400,D. 200,-4 4根據二項分布的期望和方差的公式和條件n和p的方程組,解方程組得到要求的兩個未知量.【解答】解：隨機變量XB (n , p),均值等于200,標準差等于10,由 EE =200=np DE =100=np( 1 - p), 1可得 p=-, n=400.2應選：A.17.2021秋？孝感期末隨機變量 幼服從二項分布 Bn,p,且EE =30,dDE =200那么p等于B. 02 1C. 1A.B. 0C. 1D.-3

19、 3【分析】根據隨機變量符合二項分布,根據二項分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值,得到關于 n和p的方程組,解方程組得到要求的 未知量p.【解答】解：幼服從二項分布Bn, pE E =30,0 D E =200 EE =300=np；DE =200=np( 1 - p), 可得1-卩=型£,300 32 1 p=1 -=-33應選：D.118.(2021春?蚌埠期末)設隨機變量E服從B( 6,2),那么P(E =)的值是()5C.1653A.B.-88【分析】直接利用獨立事件的概率公式求解即可.1【解答】解：隨機變量E服從B(6, 2 ),那么P ( =)3D.16應

20、選：C.19. (2021春?珠海期末)在比賽中,如果運發動甲勝運發動乙的概率是I,那么在五次比賽中,運發動甲恰有三次獲勝的概率是(408011020A.B.C.D.243243243243【分析】由條件利用n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率計算公式,計算求得結果.一 2【解答】解：根據每次比賽中,甲勝運發動乙的概率是 -,故在五次比賽中,33280運發動甲恰有三次獲勝的概率是？?(2)?(1 - I)=243,應選：B.填空題(共5小題)20. (2021春?泰興市校級月考)設隨機變量 XB (2, p).假設P (X> 1) =4,4那么p=1一2 【分析】根據隨機變量服從 XB

21、(2, P)和P (X> 1)對應的概率的值,寫出概率的表示式,得到關于P的方程,解出P的值.【解答】解：隨機變量服從XB (2, P), P (X> 1) =1 -P (X=0) =1 - ? (1 - p) 故答案為：-. =3,41解得p=2, 2 2021. (2021春?溧陽市期末)二項分布滿足XB( 6,3),那么P(X=2) =_T-_,3243EX= 4.2 一【分析】根據隨機變量符合二項分布,xB (6, -)表示6此獨立重復試驗,每32次實驗成功概率為-,P (x=2)表示6次試驗中成功兩次的概率,根據二項分3布的期望公式,代入n和p的值,求出期望.2【解答】解

22、：TX服從二項分布XB (6,-)3p( X=2)=?(3)"(2)2=243、2隨機變量E服從二項分布 B (6,-),32期望 EE =np=8-=4320故答案為：;424322. (2021 春？徐州期中)在 0- 1 分布中,設 P(X=0) =p,0vpv 1,貝U P(X=1)=1 - p .【分析】由兩點分布的性質知,假設 P (X=0) =p,0v pv 1,那么P (X=1) =1 - p.【解答】解：在0- 1分布中,I P (X=0) =p, 0v pv 1,p (X=1) =1 - p.故答案為：1 - p.23.假設隨機變量 X1 B (n,0.2),X2

23、B (6, p),X3B (n, p),且 E(X1) =2,3 VT0V (X2) =2,貝U ( X3)的值是.【分析】利用二項分布的期望與方差公式,即可得出結論.【解答】解：由題意,0.2n=2,. n=10,3 16p (1 - p) =2,二 p=2,1.X3 B (10, 2),.D (X3)1 1 5 =10x 一 x_ =一2 2 2.0- (X3)=2 .故答案為:Vio2?歲24.服從二項分布為B (n , p),那么(?？護=(P)2【分析】隨機變量服從二項分布,其 E (爭)=np, D (為)=np (1 - p),即可求?莎出那么一V的值(?護【解答】解：隨機變量為服從二項分布為B (n, p), E (Q =np, D (Q =np (1 - p), t/c二亍=(1-p)故答案為(1-p) 2.三.解做題(共3小題)125.設隨機變量X具有分布P (X=k)氣,k=1, 2, 3, 4, 5,求E (X+2) 2, D5(2X- 1), v?(? 1).1【分析】由 P (X=k) , k=1, 2, 3, 4, 5,知 Eg DE.然后求 E (X+2) 2,