1、實用文檔三角形作輔助性方法大全口訣：總那么：3標注等線和等角,對頂角不要忘,相等邊角要避開.31、等腰三線合；過腰上一點做另腰平行或底平行線.等腰頂角是腰高和底夾角二倍,等腰三角形一腰延長線和另一腰構建 新等腰三角形,原頂角是新底角的二倍,新底邊垂直原底邊.42、求角大小,需構造出有數值的角；兩角做比擬,連點延邊構三角,大外小內找中介；相等角,等腰、對頂、平行、同余和 同補；給出二倍角,構等腰二倍角變外角,分大擴小也可以.33、兩線做比擬,截長補短可求證.特殊角求三邊,帶平方都要用 直角三角形.三角形內構四邊,四邊周長小于三角形周長；.34、角分線,到邊距離相等經常用,也可兩邊截等段；三角形相

2、鄰外交角角分線交點到兩邊距離相等,三角形內角平分線交予 一點,且到三邊距離相等.平行線間角分線的交點一定是中 點見后25、中線,倍長中線、或倍長以中點為端點線利用對頂和相等線段；16垂分線上點連線段端點有幫助；3 7、多邊變身三角形,延兩邊、連對角、連頂點；be中A一、遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一的性 質解題,思維模式是全等變換中的“對折.1三線合一例：,如圖, ABC中,AB = AC, D為BC中點,DEL AB于E, DF丄AC于F,求證：DE = DF 證實：連結AD./ D為BC中點, BD = CD又 AB =AC AD平分/ BAC/ DEL AB, DFL A

3、C DE = DF求證：EFL BC例：,如圖, ABC中,AB = AC在BA延長線和 AC上各取一點 E、F,使AE= AF,標準文案2、常過一腰上的某一點做另一腰的平行線和底平行線例：,如圖,在 ABC中,AB = AC , D在AB上, E在AC延長線上,且 BD = CE,連結DE交 BC于 F求證：DF = EF證實：證法一過 D作 DN/ AE,交 BC于 N,那么/ DNB = / ACB / NDE = / E,/ AB = AC, / B = / ACBEE / B = / DNB BD = DN又 BD = CE DN = EC在厶DNF和 ECF中/ 1 = / 2/

4、NDF =/EDN = EC DNFA ECF DF = EF證法二過 E作EM/ AB交BC延長線于 M,那么/ EMB =Z B 過程略引入：如圖是一個等邊三角形木框,甲蟲在邊框上爬行,端點除外,設甲蟲到另外兩邊的距離之和為,等邊三角形的高為,那么與的大小關系是A d> hB、dv hC、d= hD無法確定三種方法1. 過點P做底邊的平行線利用等邊三角形三條高相等2. 連接B、P,將大三角形轉換為兩個小三角形,并利用三角形面積公式.3. 測試中標準畫圖量出答案注意取整值等邊三角形3、常將等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形例：,如圖, ABC中,AB= AC, / BAC = 80

5、76; ,P 為形內一點, 假設/ PBC= 10° /PCB = 30° 求/ PAB的度數.解法一：以AB為一邊作等邊三角形,連結 CE那么/ BAE =/ ABE = 60°AE = AB = BE/ AB = AC AE = AC / ABC =/ ACB/ AEC =/ ACE/ EAC =/ BAC / BAE=80° ° °60 = 201/ ACE = 一(180°/ EAC)= 80°21/ ACB= (180° / BAC)= 50°2/ BCE =/ ACE- / ACB&

6、#176; ° °50 = 30=80在厶PBC和 EBC中/ PBC = / EBCBC = BC/ PCB = / BCE BP = BE/ AB = BE AB = BP/ BAP =Z BPA/ ABP =Z ABO / PBC = 50° 10° = 40 / PAB =1 (180 °/ ABP)= 70°2解法二：以AC為一邊作等邊三角形,證法同一.解法三：以BC為一邊作等邊三角形 BCE連結AE,那么EB = EC = BC , / BEC =/ EBC = 60/ EB = EC E在BC的中垂線上同理A在BC的中垂

7、線上 EA所在的直線是BC的中垂線 EA1 BC1/ AEB = - / BEC = 30° = / PCB2P由解法一知：/ ABC = 50°二、角比擬1、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角證實角的不等關系時,如果直接 證不出來,可連結兩點或延長某邊, 構造三角形,使求證的大角在某個三角形外角的位置上, 小角處在內角的位置上,再利用外角定理證題.BDC>/ BAC例：DABC內任一點,求證：/證法一：延長BD交AC于E,V/ BDA EDC 的外角, / BDO/ DEC同理：/ DEC>/ BAC / BDO/ BAC證法二：連結AD,并延長交BC

8、于 FV/ BDF>A ABD的外角,/ BDFW BAD同理/ CDF>Z CAD/ BDFZ CD>Z BADbZ CAD 即：/ BDOZ BAC1. 有二倍角時常用的輔助線構造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：,如圖,在 ABC中,/ 1 = / 2,/ ABC = 2 / C, 求證：AB+ BD = AC證實：延長AB至U E,使BE = BD,連結DE那么/ BED = / BDE/ ABD =/ E+Z BDE/ ABC =2/ E/ ABC = 2 / C Z E = / C在厶AED和 ACD中/ E = / C/ 1 = / 2AD = AD

9、 AEDA ACD AC = AE / AE = AB + BE AC = AB + BE 即 AB+ BD = AC平分二倍角例：,如圖,在 ABC中,BD丄AC于D,Z BAC = 2 / DBC 求證：Z ABC = / ACB證實：作Z BAC的平分線 AE交BC于 E,那么Z BAE = Z CAE = Z DBC BD丄 ACEZ CBD + Z C = 90 Z CAEZ C= 90 Z AEC= 180°Z CAE-Z C= 90° AE丄 BC Z ABC+Z BAE = 90 Z CAEZ C= 90Z BAE = Z CAE Z ABC = Z ACB

10、例：,如圖, AB = AC, BD丄AC于D,求證：Z BAC = 2 Z DB(證實：方法一作Z BAC的平分線 AE,交BC于E,那么Z 1 = Z 2 = - Z BAC2又 AB = AC AE丄 BC Z 2 +Z ACB = 90實用文檔/ BD丄 AC/ DBOZ ACB = 900/ 2 = / DBC/ BAC = 2 / DBC方法二過 A作AE丄BC于 E 過程略方法三取 BC中點E,連結AE 過程略加倍小角例：,如圖,在 ABC中,BD丄AC于D,Z BAC = 2 / DBC求證：/I ABC = / ACB證實：作/ FBD =/ DBC,BF交AC于F 過程略標

11、準文案三、兩線做比擬1截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段； 補短法：延長較短線段和較長線段相等這兩種方法統稱截長補短法 當或求證中涉及到線段 a、b、c、d有以下情況之一時用此種方法: a> b®a± b = c± d例：,如圖,在 ABC中,AB> AC,/ 1 = / 2, P為AD上任一點,求證：AB- AC> PB- PC證實：截長法： 在AB上截取AN = AC,連結PN在厶APN和厶APC中,AN = AC/ 1 = / 2AP = AP APNA APC PC = PN/ BPN中有 PB- PCX

12、 BN PB- PCX AB- AC 補短法： 延長AC至M,使AM = AB,連結PM在厶ABP和厶AMP中AB = AM/ 1 = / 2AP = AP ABFPA AMP PB = PM又在 PCM中有 CM > PM- PC AB- AC> PB- PC2、利用三角形三邊關系.n,如圏4, D E為AABC內兩點,求證：AB十AOBD+DE+CE.3、當涉及到線段平方的關系式時常構造直角三角形,利用勾股定理證題例：,如圖,在 ABC中,/ A = 90 °, DE為BC的垂直平分線求證:BE Ah = AC證實：連結 CE貝U BE = CE Ah + AC =

13、ECC Ah + AC= BE2 BE" - Ah = AC練習：,如圖,在 ABC中,/ BAC = 90°, AB = AC, P為BC上一點求證：PB" + PC= 2PA24條件中出現特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形中 例：,如圖,在 ABC中,/ B = 45 °,Z C = 30 °, AB ,2,求 AC的長.解：過A作AD£ BC于D / B+Z BAD = 90°,/ B = 45 °,Z B = Z BAD = 45°, AD = BD /AB" = AD 2 + BD,

14、 AB = .2 AD = 1vZ C = 30 °, AD丄 BC AC = 2AD = 2四、角平分線1有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段,構造全等三角形例：,如圖,ABC的中線且/ 1 = / 2,/ 3 = / 4,求證：BE+ CF> EF證實：在 DA上截取 DN= DB 連結 NE NF,貝U DN= DC 在厶BDE和 NDE中,DN = DB/ 1 = / 2 ED = ED BE = NE同理可證：CF = NF在厶 EFN 中,EN+ FN> EF BE+ CF> EF2、可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變

15、換中的“對折,所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理.例 ,如圖, AC平分/ BAD CD=CB AB>AD 求證：/ B+Z ADC=180.有角平分線時,常過角平分線上的點向角兩邊做垂線,利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.例：,如圖,Z 1 = Z 2 , P為BN上一點,且 PD丄BC于D, AB+ BC = 2BD, 求證：Z BAP+Z BCP = 180°證實：過P作PE! BA于E/ PD丄 BC, Z 1 = Z 2 PE = PD在 Rt BPE和 Rt BPD中BP = BPPE = PD Rt BPE Rt BPD BE = BD/ AB+ B

16、C = 2BD, BC = CD+ BD, AB = BE AE AE = CD/ PEL BE, PD丄 BC/ PEB =Z PDC = 90 在厶PEA和厶PDC中 PE = PD/ PEB =/ PDCAE =CD PEAA PDC/ PCB = / EAP / BAP+Z EAP = 180 Z BAP+Z BCP = 180練習：1.,如圖,PA PC分別是 ABC外角Z MAC與Z NCA的平分線,它們交于 P,PDL BM于M PF丄BN于F,求證：BP為Z MBN的平分線2. ,如圖,在 ABC中,Z ABC =100o,Z ACB = 20°, CE是Z ACB的

17、平分線,D 是AC上一點,假設Z CBD = 20°,求Z CED的度數.CE解：/ ACB=20,/ CBD=20 , BD=CD又 BD=ED ED=CD/ CED=/ DCE/ CE平分/ ACB/ CED=/ DCE=1O .五、中線1、有以線段中點為端點的線段時,常加倍延長此線段構造全等三角形例：,如圖,ABC的中線,且/ 1 = / 2,/ 3 = / 4,求證：BE+ CF> EF證實：延長 ED到M,使DM = DE,連結CM FM巳.£和厶CDM中,BD = CD/ 1 = / 5ED = MD BDEm CDM CM = BE 又/ 1 = / 2

18、, / 3 = /4/ 1 + / 2 +/ 3 + / 4 = 180 03 +/ 2 = 90 0即/FDM = / EDF = 90 0EDF = 90 0 EDF和厶MDF中ED = MD / FDM = / EDFDF = DF EDFA MDF EF = MF在 CMF中, CF+ CM > MFBE+ CF> EF此題也可加倍 FD,證法同上2、在三角形中有中線時,常加倍延長中線構造全等三角形.例：,如圖,ABC的中線,求證： AB+ AC>2AD證實：延長AD至 E, 使 DE = AD,連結BE/ ADABC的 中線D BD = CD在厶ACDn EBD中B

19、D = CD/ 1 = / 2EAD = ED ACDA EBD/ ABE中有 AB+ BE> AE AB+ AO 2AD3、.三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等 例：ABC的中線,且 CF丄AD于F, BEX AD的延長線于 E求證：BE = CF證實：略C4. 有中點時常構造垂直平分線.例：,如圖,在 ABC中,BC = 2AB, / ABC = 2 / C,BD = CD求證： ABC為直角三角形證實：過 D作DEL BC,交AC于E,連結 BE貝U BE = CE,/ C = / EBC/ ABE =Z EBC / BC = 2AB , BD = CD BD =

20、AB在厶ABE和厶DBE中AB = BD/ ABE =Z EBCBE = BE ABEm DBE/ BAE = 90 即厶ABC為直角三角形六、高1有垂直時常構造垂直平分線 例：,如圖,在 ABC中,/ B =2 / C, AD丄BC于 D證實：:一在CD上截取 DE = DB,B =Z AEB/B =2 Z CAEB = 2 Z C又ZAEB = Z C+Z EAC求證：CD = AB+ BD連結 AE貝U AB = AEED AE = CE又 CD = DE+ CE二延長 CB到 F,使DF = DC連結. CD = BD+ ABAF貝U AF =AC 過程略2有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結起來例：,如圖, ABC中,AB = AC,/ BAC = 120°, EF為AB的垂直平分線, EF交BC于F,交AB于E1求證：BF = FC2證實：連結 AF,貝U AF = BF/ B = / FAB/ AB = AC / BAC = 120°1C/ B = / C/ BAC =-(180°-/ BAC) = 30 °/ FAB = 30° / FAC =/ BAC- / FAB = 120 ° 30° =90°又/ C = 30&