1、今年在某次物理競賽中忘了帶計(jì)算器，需要計(jì)算開立方。當(dāng)時(shí)不知道怎么筆算，所以只好一位一位地試。因此，我便想研究出一種開立方的筆算方法（我知道現(xiàn)在有，但是苦于找不到，所以只好自己來了）。 在剛開始研究是我不知道該如何入手，所以就去找了初二時(shí)候的代數(shù)書，里面有開平方筆算法和推導(dǎo)過程。它是這么寫的： 在這里，我“定義”ab=a的b次方。 (10a+b)2 = 100a2+20ab+b2 = 100a2+b(20a+b) a代表的是已經(jīng)計(jì)算出來的結(jié)果，b代表的是當(dāng)前需要計(jì)算的位上的數(shù)。在每次計(jì)算過程中，100a2都被減掉，剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整數(shù)b'使b'(2

2、0a+b')<=b(20a+b)。 因此，我就照著書里的方法，推導(dǎo)開立方筆算法。 (10a+b)3 = 1000a3+300a2*b+30a*b2+b3 = 1000a3+b300a2+b(30a%2 筆算開立方一天，我遇到了一道需要用到的近似值的物理題。我沒帶計(jì)算器或中學(xué)數(shù)學(xué)用表，只好逐個(gè)計(jì)算一些數(shù)的立方，并與10比較，好不容易才把小數(shù)點(diǎn)后第二位數(shù)字確定下來。這促使我尋求筆算開立方的方法。筆算開平方的方法我是掌握的。我想筆算開立方的方法應(yīng)該與它有些關(guān)聯(lián)，不妨先把筆算開平方的主要步驟回憶一下：1 將被開方數(shù)的整數(shù)部分從個(gè)位起向左每兩位分為一組；2 根據(jù)最左邊一組，求得平方根的最高

3、位數(shù)；3 用第一組數(shù)減去平方根最高位數(shù)的平方，在其差右邊寫上第二組數(shù)；4 用求得的最高位數(shù)的20倍試除上述余數(shù)，得出試商。再用最高位數(shù)的20倍與試商的和乘以試商，若所得的積不大于余數(shù)，試商就是平方根的第二位數(shù)，若大于，就減小試商再試。5 用同樣方法繼續(xù)進(jìn)行下去。類似地，若要寫出筆算開立方的法則，顯然第1步中的“兩”應(yīng)改為“三”，第2、3步中的“平”應(yīng)改為“立”，而第5步不變化。關(guān)鍵是第4步如何進(jìn)行。當(dāng)天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。于是我猜想“20倍”應(yīng)該與“2ab”有關(guān)。我先后想出了幾種可能的方法，經(jīng)檢

4、驗(yàn)，都是行不通的。那么我有必要分析筆算開平方的本質(zhì)。以兩位數(shù)為例，= (10a+b)2=100a2+20ab+b2。這里a代表平方根的最高位數(shù)，b代表試商。事實(shí)上，100a2已在第3步里被減去了。那么剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)·b，也就是“求得的最高位數(shù)的20倍與試商的和再乘以試商”。這樣，如果被開方數(shù)是(10a+b)2，那么最后所得的余數(shù)恰好為零；如果被開方數(shù)比(10a+b)2大，就把10a+b看作a繼續(xù)進(jìn)行下去。同樣的道理，這個(gè)法則對多位數(shù)、一位數(shù)和小數(shù)也適用。類似地，(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在開立方法則第3

5、步里被減去了。那么我就應(yīng)該把求得的最高位數(shù)的平方的300倍與試商的積，求得的最高位數(shù)的30倍與試商的平方的積和試商的立方寫在豎式的左邊，用第3步所得余數(shù)減去它們的和。舉幾個(gè)簡單的例子驗(yàn)證一下：(300=12×300×1 (600=12×300×2 (1200=22×300×1) 30=1×30×12 120=1×30×22 60=2×30×12 1=13) 8=23) 1=13)為了進(jìn)一步驗(yàn)證這種方法的正確性,我求出了的近似值,并與計(jì)算器的結(jié)果進(jìn)行比照:(為了書寫簡便,我把1

6、0.000后面的“0”省略了。)用這種方法算出10的立方根約等于2.1544，而計(jì)算器的結(jié)果是2.1544347，這說明求出的結(jié)果是正確的。現(xiàn)將筆算開立方的方法總結(jié)如下：1 將被開立方數(shù)的整數(shù)部分從個(gè)位起向左每三位分為一組；2 根據(jù)最左邊一組，求得立方根的最高位數(shù)；3 用第一組數(shù)減去立方根最高位數(shù)的立方，在其右邊寫上第二組數(shù)；4 用求得的最高位數(shù)的平方的300倍試除上述余數(shù)，得出試商；并把求得的最高位數(shù)的平方的300倍與試商的積、求得的最高位數(shù)的30倍與試商的平方的積和試商的立方寫在豎式左邊，觀察其和是否大于余數(shù)，若大于，就減小試商再試，若不大于，試商就是立方根的第二位數(shù)；5 用同樣方法繼續(xù)進(jìn)

7、行下去。這種方法肯定早就有人發(fā)明了。其運(yùn)算量相當(dāng)大，實(shí)用價(jià)值也不高。但我畢竟是獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了它。雖然欣喜無法與發(fā)現(xiàn)新大陸相比，但這至少使我體驗(yàn)到在數(shù)學(xué)世界中探索的快樂。此后不久，我居然發(fā)現(xiàn)這種方法在期中考試中發(fā)揮了作用期中考試物理試卷中有這樣一道題：“神舟”三號飛船的運(yùn)行周期約是91分鐘，地球半徑約是6370，求飛船的軌道高度（以km為單位，保留兩個(gè)有效數(shù)字）。這道題并不難。根據(jù)所學(xué)知識，我很快就列出方程，并求出了結(jié)果的表達(dá)式。經(jīng)過近似計(jì)算和約分、化簡，結(jié)果大約是(1000-6370)。我想大多數(shù)同學(xué)能夠算到這里，而對于就束手無策了。但它難不倒我。我運(yùn)用了筆算開立方的方法。由于法則是自己總結(jié)的，

8、所以記得很牢，用起來也得心應(yīng)手。很快，我求出6.7，最終結(jié)果約是3.3×102。嚴(yán)格地說，這個(gè)答案是不可靠的。要保證最終結(jié)果的第二個(gè)有效數(shù)字準(zhǔn)確，應(yīng)該把計(jì)算到百分位。但因時(shí)間有限，且300這個(gè)數(shù)本身就是不準(zhǔn)確的，我只好這樣寫。后來我看到答案，知道我的結(jié)果是正確的。我感到高興，因?yàn)槲易约喊l(fā)現(xiàn)并總結(jié)出的規(guī)律在考試中得到應(yīng)用。我覺得這種筆算開立方的方法不能為大家所知似乎是個(gè)遺憾。但它的應(yīng)用似乎僅限于這類由周期求軌道半徑的物理題，除此之外，別的意義很是寥寥。換言之，這種方法僅是雕蟲小技而已。然而探索的過程使我體會(huì)到初步的數(shù)學(xué)研究方法，或許將有更大的意義因?yàn)椤皩φ胬淼奶角蟊葘φ胬淼恼加懈鼮榭少F

9、”。舉例說明: 17開立方.首先求17以內(nèi)的最大立方數(shù)為23=8,17-8=9,在9的后面加上三個(gè)0,9000 在9000范圍內(nèi),設(shè)立方根的第二位是A,則用2A*A*2*30+A3,此算式不>9000,A=5,及立方根的第二位是5用9000-7625=1375,在1375后面加上三個(gè)0來求立方根的第三位, 設(shè)第三位是B,則用25B*25*B*30+B3,則B=7,及1375000-1349593=25407,依此類推,求第四位的算式是257C*257*C*30+C3,可以算出C=1,及25407000-19822411=5584589,在往下5584589000求第五位.17立方根的1前

10、四位是2.571。 2571D*2571*D*30+D3,D=2 =徒手開n次方根的方法: 原理:設(shè)被開方數(shù)為X,開n次方,設(shè)前一步的根的結(jié)果為a,現(xiàn)在要試根的下一位,設(shè)為b, 則有:(10*a+b)n-(10*a)n<=c(前一步的差與本段合成);且b取最大值 用純文字描述比較困難,下面用實(shí)例說明: 我們求 2301781.9823406 的5次方根: 第1步:將被開方的數(shù)以小數(shù)點(diǎn)為中心,向兩邊每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在兩端用0補(bǔ)齊; 23'01781.98234'06000'00000'00000'. 從高位段向低位段逐段

11、做如下工作: 初值a=0,差c=23(最高段) 第2步:找b,條件:(10*a+b)n-(10*a)n<=c,即b5<=23,且為最大值;顯然b=1 差c=23-b5=22,與下一段合成, c=c*10n+下一段=22*105+01781=2201781 第3步:a=1(計(jì)算機(jī)語言賦值語句寫作a=10*a+b),找下一個(gè)b, 條件:(10*a+b)n-(10*a)n<=c,即:(10+b)5-105<=2201781, b取最大值8,差c=412213,與下一段合成, c=c*105+下一段=412213*105+98234=41221398234 第4步:a=18,找

12、下一個(gè)b, 條件:(10*a+b)n-(10*a)n<=c,即:(180+b)5-1805<=41221398234, b取最大值7 說明:這里可使用近似公式估算b的值: 當(dāng)10*a>>b時(shí),(10*a+b)n-(10*a)nn*(10*a)(n-1)*b,即: b41221398234/n/(10*a)(n-1)=41221398234/5/18047.85,取b=7 以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值 差c=1508808527;與下一段合成, c=c*105+下一段=1508808527*105+06000=150880852706000 第5步:a=18

13、7,找下一個(gè)b, 條件:(10*a+b)n-(10*a)n<=c,即: (1870+b)5-18705<=150880852706000, b取最大值2,差c=28335908584368;與下一段合成, c=c*105+下一段=2833590858436800000 第6步:a=1872,找下一個(gè)b, 條件:(10*a+b)n-(10*a)n<=c,即: (18720+b)5-187205<=2833590858436800000, b取最大值4,差c=376399557145381376;與下一段合成, c=c*105+下一段=3763995571453813760

14、0000 . 最后結(jié)果為:18.724.=開立方百科名片求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算法，叫做開立方。最早在我國的九章算術(shù)中有對開立方的記載。筆算開立方的方法方法一1將被開立方數(shù)的整數(shù)部分從個(gè)位起向左每三位分為一組； 2根據(jù)最左邊一組，求得立方根的最高位數(shù)； 3用第一組數(shù)減去立方根最高位數(shù)的立方，在其右邊寫上第二組數(shù)； 4用求得的最高位數(shù)的平方的300倍試除上述余數(shù)，得出試商；并把求得的最高位數(shù)的平方的300倍與試商的積、求得的最高位數(shù)的30倍與試商的平方的積和試商的立方寫在豎式左邊，觀察其和是否大于余數(shù)，若大于，就減小試商再試，若不大于，試商就是立方根的第二位數(shù)； 5用同樣方法繼續(xù)進(jìn)行下去。 方法二

15、第1、2步同上。 第三步，商完后，落下余數(shù)和后面緊跟著的三位，如果后面沒有就把余數(shù)后面添上三個(gè)0； 第四步，將要試商的數(shù)代入式子“已商數(shù)×要試商數(shù)×（10×已商數(shù)+要試商數(shù)）×30+要商數(shù)的立方”，最接近但不超過第三步得到的數(shù)者，即為這一位要商的數(shù)。 然后重復(fù)第3、4步，直到除盡。 編輯本段開方算法的歷史記載九章算術(shù)九章算術(shù)中講了開平方、開立方的方法，而且計(jì)算步驟和現(xiàn)在的基本一樣所不同的是古代用籌算進(jìn)行演算，現(xiàn)以少廣章第12題為例，說明古代開平方演算的步驟，“今有積五萬五千二百二十五步問為方幾何”“答曰：二百三十五步”這里所說的步是我國古代的長度單位。

16、開立方原文開立方 立方適等，求其一面也。 術(shù)曰：置積為實(shí)。借一算，步之，超二等。 言千之面十，言百萬之面百。 議所得，以再乘所借一算為法，而除之。 再乘者，亦求為方冪。以上議命而除之，則立方等也。 除已，三之為定法。 為當(dāng)復(fù)除，故豫張三面，以定方冪為定法也。 復(fù)除，折而下。 復(fù)除者，三面方冪以皆自乘之?dāng)?shù)，須得折、議，定其厚薄爾。開平冪者， 方百之面十；開立冪者，方千之面十。據(jù)定法已有成方之冪，故復(fù)除當(dāng)以千為百， 折下一等也。 以三乘所得數(shù)，置中行。 設(shè)三廉之定長。 復(fù)借一算，置下行。 欲以為隅方。立方等未有定數(shù)，且置一算定其位。 步之，中超一，下超二等。 上方法，長自乘而一折，中廉法，但有長，

17、故降一等；下隅法，無面長， 故又降一等也。 復(fù)置議，以一乘中， 為三廉備冪也。 再乘下， 令隅自乘，為方冪也。 皆副以加定法。以定法除。 三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除，去三冪之厚也。 除已，倍下，并中，從定法。 凡再以中、三以下，加定法者，三廉各當(dāng)以兩面之冪連于兩方之面，一隅 連于三廉之端，以待復(fù)除也。言不盡意，解此要當(dāng)以棋，乃得明耳。 復(fù)除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。 術(shù)亦有以定法命分者，不如故冪開方，以微數(shù)為分也。1 編輯本段手算開根號原理方法1、數(shù)m開n次方，n位一節(jié)為一根，前根均作a, a后需求的根均作b；前根a的位數(shù)不斷增長，后根b永遠(yuǎn)作一位根視；直至開盡或開至所

18、需要的位數(shù)。 2、首位a根用19內(nèi)n方訣直接確定，【隨后就無a根系列的事了；或用雙根或多位根作a；即將約小于被開數(shù)的乘方數(shù)的冪底整數(shù)值作為a根，再求b=x】b根用“標(biāo)準(zhǔn)固律方程式”或“簡易求b方程式”求。 原理正向乘方式：m=（a+b）n=an+bn+s【s根據(jù)n的數(shù)字而定值，n為上標(biāo)，文本網(wǎng)顯示不出來，希理解。因沒有設(shè)置“上下標(biāo)功能”或沒有安裝“公式編輯器”所致，特說明。】 逆向開方時(shí)：man=bn+s=xn+s；manbn=s； 如二次方的s=2ab； 三次方的s=3abD【D=a+b】 五次方的s=5abD（D2ab）【D=a+b；前面的2為上標(biāo)，特說明。】 其它任意次方的固律參數(shù)照推【

19、本文不介紹，望理解】。 即：bn=mans=cs【c為可知數(shù)，s、bn為潛態(tài)可知數(shù)】正規(guī)解法與過程可看原正規(guī)文：關(guān)于“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”的“算術(shù)公理的無矛盾性”證明中的lan3高方直開法與直開式的方程解篇。 例如：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）= m=a3+b3+3abD【D=a+b】 所以：（a+b）3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】注：3為上標(biāo)。特說明。 其他任意高次方的轉(zhuǎn)換方式理同最簡單、用式最短的三次方原理實(shí)用式記法。 但m開3次方時(shí)，這個(gè)原公式幫不上忙了，即必須進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 因此成：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+

20、3ab（a+b）=m= a3+b3+3abD【D=a+b】， 而后面轉(zhuǎn)換成為m=a3+b3+3abD【D=a+b】，則m開方時(shí)就有同二次方一樣的公式求根式可用了，在任意高次方中理同二次方無異。 也即在實(shí)際開高次方或無窮大指數(shù)上標(biāo)數(shù)時(shí)，或高次方程的運(yùn)算過程中【注意：求b=x根就是科學(xué)上的各種一元n次方的標(biāo)準(zhǔn)方程式】，結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)都將現(xiàn)代數(shù)學(xué)式中的式子按照“結(jié)構(gòu)原理”進(jìn)行了處理與轉(zhuǎn)換，使它都按照統(tǒng)一規(guī)律形式的規(guī)律型公式去表達(dá)，目的：便于快速簡潔的進(jìn)行運(yùn)算，并符合“算術(shù)公里的無矛盾性標(biāo)準(zhǔn)”。 注意m=（a+b）2=a2+b2+2ab=aa+bb+2ab；這個(gè)2ab就是二次方的S；所以二次方都會(huì)解！ 而：

21、 m=（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=aaa+bbb+3aab+3abb=a3+b3+3ab（a+b）= a3+b3+3abD【D=a+b】；這個(gè)3abD就是三次方的S；懂此者就如同二次方一樣都會(huì)解！ 又如，m=（a+b）5=a5+b5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4= a5+b5+5abD(D2-ab) 五次方的S=5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4。 而這些3ab（a+b）=3abD=S；5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S，這個(gè)S就是高次方程解的奧秘。 在無窮大次方中，你知道了S，

22、那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法沒有任何區(qū)別的簡單的不值一文錢了，也沒有任何解的障礙或稱為難題的必要了。 開立方公式設(shè)A = X3，求X。這稱為開立方。開立方有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的公式： X(n+1)=Xn+(A/X2-Xn)1/3 (n，n+1是下角標(biāo)） 例如，A=5，即求 5介于1的3次方、2的3次方之間（因?yàn)?的3次方=1，2的3次方=8） 初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我們?nèi)0 = 1.9按照公式： 第一步：X1=1.9+（5/1.92;-1.9)1/3=1.7。 即5/1.9×1.9=1.385

23、0416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位數(shù)值，即1.7。 第二步：X2=1.7+（5/1.72;-1.7)1/3=1.71。 即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數(shù)，比前面多取一位數(shù)。 第三步：X3=1.71+（5/1.712;-1.71)1/3=1.709. 第四步：X4=1.709+（5/1.7092;-1.709)1/3=1.7099 這種方法可以

24、自動(dòng)調(diào)節(jié)，第一步與第三步取值偏大，但是計(jì)算出來以后輸出值會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)小；第二步，第四步輸入值 偏小，輸出值自動(dòng)轉(zhuǎn)大。即5=1.70993; 當(dāng)然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，1.8，1.9中的任何一個(gè),都是X1 = 1.7 > 。當(dāng)然，我們在實(shí)際中初始值最好采用中間值，即1.5。 1.5+（5/1.5&sup2;-1.5）1/3=1.7。 如果用這個(gè)公式開平方，只需將3改成2，2改成1。即 X(n + 1) = Xn + (A / Xn Xn)1 / 2. 例如，A=5： 5介于2的平方至3的平方之間。我們?nèi)〕跏贾?.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取中間值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2； 即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25