1、高等數學基礎作業1第 1章函數第 2 章 極限與連續（一）單項選擇題下列各函數對中，（C）中的兩個函數相等A.f ( x)(x) 2 ， g( x)x B.f (x)x 2， g ( x)xC.f ( x)ln x3 ， g( x) 3ln x D. f (x) x1， g( x)x21x1分析 ：判斷函數相等的兩個條件（1）對應法則相同（2）定義域相同A 、 f (x)( x )2x ，定義域x | x0 ； g (x)x ，定義域為 R定義域不同，所以函數不相等；B 、 f ( x)x2x ， g( x)x 對應法則不同，所以函數不相等；C、 f ( x)ln x33ln x ，定義域為x

2、 | x0 ， g( x)3ln x ，定義域為x | x0所以兩個函數相等D 、 f (x)x211 ，定義域為 x | xR, x1x 1，定義域為 R； g( x)xx1定義域不同，所以兩函數不等。故選 C設函數 f ( x) 的定義域為 (,) ，則函數 f ( x)f (x) 的圖形關于（ C）對稱A. 坐標原點B. x 軸C. y 軸D. yx分析 ：奇函數，f (x)f (x)偶函數，f (x)f (x)，關于原點對稱，關于 y 軸對稱yfx與它的反函數yf 1 x 關于 yx 對稱，奇函數與偶函數的前提是定義域關于原點對稱設 g xf xfx ，則 g xfxf x g x所以

3、 gxf xfx 為偶函數，即圖形關于y 軸對稱故選 C下列函數中為奇函數是（B）A. y ln(1x2 )B. yx cos xa xaxD. yln( 1x)C. y22分析： A 、 yxln(1xln 1 x2yx ，為偶函數)B 、 yxx cos xxcosxyx，為奇函數或者 x 為奇函數， cosx 為偶函數，奇偶函數乘積仍為奇函數C、 yxa xaxyx ，所以為偶函數2D、 yxln(1x) ，非奇非偶函數故選 B1/17下列函數中為基本初等函數是（C）A. yx1 B. yxC. yx 2D. y1 ,x01 ,x0分析：六種基本初等函數（ 1） y c （常值）常值函數

4、（ 2） y x , 為常數冪函數（ 3）ya x a0,a1 指數函數（ 4）ylog a xa0, a1 對數函數（ 5）ysin x, ycos x, ytan x, y cot x 三角函數yarc sin x,1,1 ,（ 6）yarc cos x,1,1 ,反三角函數yarc tan x, yarc cot x分段函數不是基本初等函數，故D 選項不對對照比較選 C下列極限存計算不正確的是（D ）x21B. lim ln(1x)0A. lim 2xx2x0C. lim sin x0D. lim x sin 10xxxx1分析： A 、已知 lim0 n0xnxx2x211limlim

5、x2limx22x2221xxx11 0x2x2x2B 、 limln(1x)ln(10)0x0初等函數在期定義域內是連續的sin x10C、 limlim sin xxxxxx 時， 1 是無窮小量， sin x 是有界函數，x無窮小量×有界函數仍是無窮小量D、 lim xsin 1sin 11，則原式 lim sin tlimx ，令 t0, x1xxx1xt 0tx故選 D當 x0 時，變量（ C）是無窮小量sin x1A. B.x x2/17C. x sin 1D. ln( x2)x分析； limfx0 ，則稱 f x為 xa 時的無窮小量x aA 、 lim sin x1，

6、重要極限x0xB 、 lim 1，無窮大量x0x11 仍為無窮小量C、 lim x sin0，無窮小量 x ×有界函數 sinx0xxD、 limln( x2)=ln 0+2ln 2x0故選 C若函數 f ( x) 在點 x0滿足（ A ），則 f ( x) 在點 x0連續。A. lim f (x)f (x0 )B. f (x) 在點 x0 的某個鄰域內有定義xx0C. lim f ( x)f ( x0 ) D. lim f (x)lim f ( x)xx0x x0x x0分析：連續的定義：極限存在且等于此點的函數值，則在此點連續即lim fxf x0x x0連續的充分必要條件 li

7、m fxf x0limf xlim f xfx0x x0x x0x x0故選 A（二）填空題函數x 29ln(1 ) 的定義域是f ( x)3xx | x 3x分析：求定義域一般遵循的原則（ 1） 偶次根號下的量0（ 2） 分母的值不等于 0（ 3） 對數符號下量（真值）為正（ 4）反三角中反正弦、反余弦符號內的量，絕對值小于等于1（ 5） 正切符號內的量不能取k2k 0,1,2然后求滿足上述條件的集合的交集，即為定義域f ( x)x 29ln(1x) 要求x3x290x3或 x3x30 得x3求交集3131x0x1定義域為x | x 3已知函數f (x1)x 2x ，則 f (x)x2-x分

8、析：法一，令tx1 得 xt 1則 f (t)t2t1t 2t 則 f x x2x1法二， f (x1)x(x1)x1 1x1 所以 f (t)t 1 t3/17 lim (11 ) xx2xx分析：重要極限 lim11e，等價式 lim 1xxxx 0推廣 lim fx則 lim(11) f xexaxaf x1limfx0 則 lim(1fx) f xex axalim(11)xlim(112 x11)2e2x2xx2x11x e若函數 f ( x)(1x) x ,x0 ，在 x0 處連續，則 kexk ,x0分析：分段函數在分段點x0處連續limf xlim f xfx0xx0x x0l

9、im fxlimxk0 kkx 0x 0所以 kelim fxlim1x1exx 0x 0函數 yx 1 , x 00 sin x , x的間斷點是 x0分析：間斷點即定義域不存在的點或不連續的點初等函數在其定義域范圍內都是連續的分段函數主要考慮分段點的連續性（利用連續的充分必要條件）limfxlimx1011x0x 0不等，所以 x0 為其間斷點limfxlim sin x0x0x 0若 limf (x) A ，則當 xx0 時， f ( x)A 稱為 xx0 時的無窮小量x x0分析： lim( f ( x)A)limf (x)limAAA0xx0x x0x x0所以 f ( x)A 為

10、xx0 時的無窮小量（二） 計算題設函數f ( x)ex, x0x ,x0求： f ( 2) ,f (0) , f (1) 解： f 22 ， f 00， f 1 e1e求函數 ylg 2x1的定義域x4/172x10x2x1 或x 01解得 x解： y lg有意義，要求x02xx0則定義域為1x | x 0或 x2在半徑為 R 的半圓內內接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數解：DAROhEBC設梯形 ABCD 即為題中要求的梯形，設高為h，即 OE=h ，下底 CD 2R直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得AEOA2OE 2R

11、2h2則上底 2AE2 R2h2故 Sh 2R 2 R2h2h RR2h22求 lim sin 3x x 0 sin 2xsin3 xsin3 x解： lim sin3 x3x3 133lim3xlim3xx 0 sin 2xx0sin2x2xx0sin2x21222x2xx 2求 lim1x1 sin(x1)解： limx21lim ( x1)(x1)limx1112x1 sin( x1)x 1 sin( x1)x1 sin( x1)1x1求 lim tan 3x x 0x解： lim tan 3xlim sin3 x1lim sin3 x131 133x 0xx0xcos3 xx03xco

12、s3x1求 lim1 x21 x 0sin x解： lim1 x21( 1 x21)( 1 x21)limx2sin xlim(1x21)sin x1x21)sin xx 0x 0x0 (5/17limx002sin x111x 0( 1x1)x求 lim ( x1) x xx311 )x1 )x11(1(1x 11解： lim(xlim(x)xlimxlimxxe3e4)33)x1xx 3x1x(1x3 3e(1x )xxx23求 lim6x8 x 4x 25x4解： lim x26 x8x4x 2lim x2422limx 4 x25x 4x 4 x 4 x 1x 4 x1413設函數(x

13、2)2,x1f ( x)x ,1x1x1,x1討論 f (x) 的連續性，并寫出其連續區間解：分別對分段點x1,x1 處討論連續性（ 1）limfxlimx1x1x1limfxlimx1110x1x1所以 limfxlimf x，即 fx在 x1 處不連續x1x1（ 2）limfxlimx222112x1x1limfxlim x1x1x1f 11所以 limfxlimfxf1 即 fx在 x1 處連續x1x1由（ 1）（ 2）得 fx在除點 x1 外均連續故 fx 的連續區間為,11,高等數學基礎第二次作業第 3 章導數與微分（一）單項選擇題設 f (0) 0 且極限 limf ( x) 存在

14、，則 lim f (x)（ C）x0xx0xA. f (0)f( 0)B.C.f ( x) D. 0 cvx6/17設 f (x) 在 x0 可導，則 limf (x02h) f (x0 )（ D）h 02hA.2 f ( x0 )B. f (x0 )C. 2 f ( x0 ) D.f (x0 )設 f ( x)ex ，則 limf (1x)f (1)（ A）x 0xA. e B. 2eC.1 e D.1 e24設 f ( x)x( x1)( x2)( x99) ，則 f (0)（D）A.99 B.99C.99! D.99!下列結論中正確的是（C ）A. 若 f (x) 在點 x0 有極限，則

15、在點x0 可導B. 若 f ( x) 在點 x0 連續，則在點x0 可導C. 若 f ( x) 在點 x0 可導，則在點x0 有極限D. 若 f ( x) 在點 x0有極限，則在點x0 連續（二）填空題設函數 f ( x)x2 sin 1 ,x0(0)0x，則 f0 ,x0設 f (ex ) e2x5ex ，則 d f (ln x)dx2 ln x5xx曲線f ( x)x1在 (1, 2)處的切線斜率是k12曲線 f ( x)sin x在 ( , 1) 處的切線方程是 y2x2(1)4224設 yx 2x ，則 y2x 2 x (1ln x)設 yx ln x，則 y1x（三）計算題求下列函數

16、的導數y ：331 y ( x x 3)ex y ( x 23)exx 2 ex ycot xx2 ln x ycsc2 x2x2 x ln x yx2y2x ln xxln xln 2 x ycos x2 xx(sin x 2 x ln 2)3(cos x2 x )x3yx 47/17ln x x2sin x( 12x)(ln x x 2 ) cos xyx ysin2 xsin x y x4sin x ln x y 4x3 sin xcos x ln xxsin x x 23x (cos x 2x) (sin x x 2 )3x ln 3 yy3x32 x y ex tan x ln x

17、y ex tan xex1cos2 xx求下列函數的導數y ： y e 1 x2ye 1 x2x1 x 2 y ln cos x33sin x223y3 3x3xtan x yxxx77yx 8 y x 818 y3 xx121y1( x x2 ) 3 (1 1 x 2 )32 ycos2 ex8/17yex sin(2ex ) ycosex2yx 2sin ex22xe ysin n x cosnxyn sin n 1 x cos x cosnx n sin n x sin(nx) y5sin x22y2xln 5 cosx2 5sin x yesin2 xysin2xsin 2xe22 y

18、xxexy xx2x2( x 2xln x)2xe yx e xe e xyx e x( e xe x ln x ) e e xe xx在下列方程中，yy(x) 是由方程確定的函數，求y ： y cos xe2 yy cosxy sin x 2e2 y yy sin xy2e2 ycos x9/17 y cos y ln x1ysin y.y ln xcos y.cos yyx(1sin y ln x)x 2 2xsin yy2x cos y.y2 yxx2 yx22 yx2sin y2sin yy2y (2x cos yy2 )y22xy2 ysin yy2xy 2 cos y x 2 yx

19、ln yyy1yyyy1 ln xeyy21e y y2yyx1yx(2 ye y )y 21exsin y2yyex cos y. y sin y.exyex sin y2 yex cos y eyexy 3ey yex3y2 yy ex 3y2 e y y5x2 yy5x ln 5y 2 y ln 210/17y5 x ln 51 2 y ln 2求下列函數的微分d y ： ycot xcsc xdy(1cos x2 xsin 2)dxcosx yln xsin x1sin x ln x cosxdyx2dxsinx1x y arcsinx11(1 x)(1x)1 x21dyx ) 2(1

20、x)2dxx(1x) 2 dx1 (11x y3 1x1x兩邊對數得：ln y1ln(1x)ln(1 )3xy111y(x1)3 1xy1 31x11)31(x1x 1x ysin 2 exdyxex3 xsin(2exxdx2 sin ee dx) e y tan ex32x33x2dx3x2ex32dy sec esec xdx11/17求下列函數的二階導數： y x ln xy1 ln xy1x y x sin xyx cos xsin xyx sin x2cos x y arctan x1y21 xy2xx2 ) 2(1 y3 x2y2x3x2ln 3 y 4x2 3x2ln 2 3

21、2ln 3 3x2（四）證明題設 f ( x) 是可導的奇函數，試證f ( x) 是偶函數證：因為f(x) 是奇函數所以 f (x)f ( x)兩邊導數得：f (x)( 1)f ( x)f ( x)f (x)所以 f (x) 是偶函數。高等數學基礎第三次作業第 4 章導數的應用（一）單項選擇題若函數 f ( x) 滿足條件（ D），則存在f (b)f ( a)(a , b) ，使得 f ( )A. 在 (a , b) 內連續B. 在 (a , b) 內可導baC. 在 (a , b) 內連續且可導D. 在 a , b 內連續，在 (a , b) 內可導函數 f ( x)x 24x1 的單調增加

22、區間是（ D）A. (, 2)B. (1, 1)C. (2,)D. (2 ,)函數yx24x5 在區間( 6,6)內滿足（ A）12/17A. 先單調下降再單調上升B. 單調下降C. 先單調上升再單調下降D. 單調上升函數 f ( x) 滿足 f ( x)0 的點，一定是f ( x) 的（ C）A. 間斷點B. 極值點C. 駐點D. 拐點設 f (x) 在 (a , b) 內有連續的二階導數，x0(a , b) ，若 f ( x) 滿足（ C ），則 f (x)在 x0 取到極小值A. f (x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 B. f (x0 ) 0 , f (x0 ) 0C. f (x

23、0 )0, f ( x0 ) 0 D. f (x0 ) 0, f (x0 ) 0設 f (x) 在 (a , b) 內有連續的二階導數，且f(x) 0 , f ( x)0 ，則 f (x) 在此區間內是（ A）A. 單調減少且是凸的B. 單調減少且是凹的C. 單調增加且是凸的D. 單調增加且是凹的（二）填空題 設 f ( x) 在 (a , b) 內 可 導 ， x0(a , b) ， 且 當 xx0 時 f (x)0 ， 當 xx0 時f ( x)0 ，則 x0 是 f ( x) 的 極小值點若函數 f ( x) 在點 x0 可導，且 x0 是 f ( x) 的極值點，則f ( x0 )0函數 y ln(1x 2 ) 的單調減少區間是(,0) 函數 f ( x)ex2的單調增加區間是 (0,)若函數 f ( x) 在 a, b 內恒有 f( x)0 ，則 f ( x) 在 a , b 上的最大值是 f