1、2017高考一輪復習教案-函數的 單調性與最值第二節函數的單調性與最值1 .函數的單調性理解函數的單調性及其幾何意義.2 .函數的最值理解函數的最大值、最小值及其幾何意義.mtZhHMMJinU,知識回歐知識點一函數的單調性1.單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I.如果對 于定義域I內某個區間A上的任意兩個自 變量的值X1, X2當X1<X2時,都有 f(xi)<f(X2),那么 就說函數f(x)在 區間A上是增加 的當X1<X2時,都有自左向右看圖象是逐漸上升的自左向右看圖象是逐漸下降的f(X1)>f(X2),那么就說函 數f(X)在區間A

2、上是減 少的2.單調區間的定義如果函數y=f(x)在區間A上是增加的或是 減少的,那么稱A為單調區間.易誤提醒求函數單調區間的兩個注意(1)單調區間是定義域的子集，故求單調區間應樹立“定義域優先”的原則.(2)單調區間只能用區間表示，不能用集合或 不等式表示；如有多個單調區間應分別寫，不能 用并集符號聯結，也不能用“或”聯結.必記結論1.單調函數的定義有以下若干等價形式：設 xi)x2 qa, b)那么f X1 f X2>0? f(x)在a, b上是增函數；X1 X2f X1 f X2<0? f(X)在a, b上是減函數.X1 X2(Xi X2)f(Xi) f(X2)>0?

3、f(X)在a, b上是增函數;(xi X2)f(xi) f(X2)<0? f(x)在a, b上是減函數.2 .復合函數y=fg(x)的單調性規律是“同 則增，異則減"，即y= f(u)與u = g(x)若具有相 同的單調性，則y=fg(x)為增函數，若具有不 同的單調性，則y=fg(x)必為減函數.自測練習1 .下列函數中，在區間(0, +8)上單調遞 減的是()A. f(x) = ： B. f(x) = (x1)2 xC. f(x) = exD. f(x)=ln(x+1)2.函數f(x)=log5(2x+1)的單調增區間是x2 ax 5,x w 13.已知函數f(x) =xx

4、>1A. (0,1)B. (0,1在R上為增函數，則a的取值范圍是()A. -3,0) B. 3, 2C ( oo, 2 D . (00 , 0)知識點二函數的最值tw設函數y= f(x)的定義域為I,如果存在 實數M滿足條件對于任意x G I ,都有 f(x)WM存在x0G I ,使得3)=M對于任意x G I , 都由f(x)AM 存在xoG I,使 得 f(xo)=M結論M為最大值M為最小值易誤提醒在求函數的值域或最值時，易忽視定義域的限制性.必備方法求函數最值的五個常用方法(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單 調性求最值.(2)圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最 高點、最

5、低點，求出最值.(3)換元法：對比較復雜的函數可通過換元轉 化為熟悉的函數，再用相應的方法求最值.(4)基本不等式法：先對解析式變形，使之具 備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式 求出最值.(5)導數法：先求導，然后求出在給定區間上 的極值，最后結合端點值，求出最值.自測練習一、“，1，4 .函數f(x) = Tl(x W R)的值域是()1十xC. 0,1)D. 0,15 .已知函數 f(x) = x2 + 2x( -2&x&1 且 xW Z),則f(x)的值域是()A.0,3B. -1,3C. 0,1,3 D. 1,0,3”考點研究0強考點一函數單調性的判斷腦卷需題組訓

6、練1 .下列四個函數中，在(0, +8)上為增函 數的是()A. f(x) = 3 x B. f(x) = x23x1C. f(x)= 一不 D. f(x)=|x| x I 1 n*里aair, it h-Biair 一'一 f, t «!) 一a:f m給出解析式函數單調性的兩種判定方法i1.定義法（基本步驟為取值、作差或作商、iI;III變形、判斷）.i ii: :III2.導數法（基本步驟為求定義域、求導、變|形、判斷）.|考點二函數的單調區間的求法網睛累典題格法*«求下列函數的單調區間：（i）y= x2+ 2|x|+1 ；y=log2（x2-3x+2）.函數

7、單調區間的四種求法I (1)利用已知函數的單調性，即轉化為已知函iiiI數的和、差或復合函數，求單調區間.I!： ； !(2)定義法：先求定義域，再利用單調性定義.IJ:1 ! 1 IIi(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，: :ii! !III或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出|ii: :iiI它的單調區間.IIIIIII! :iiI1|(4)導數法：利用導數取值的正負確定函數的|: : II! !I單調區間,I演練沖關函數y=|x|(1x)在區間A上是增函數，那B. 0, 2么區間慶是()A.（一巴 0）1C. 0, +8)D.2, +00考點三函數單調性的應用酎砂函

8、數單調性的應用比較廣泛，是每年高考的 重點和熱點內容.歸納起來，常見的命題探究角 度有：1 .求函數的值域或最值.2 .比較兩個函數值或兩個自變量的大小.3 .解函數不等式.4 .求參數的取值范圍或值.探究一求函數的值域或最值1 . (2015高考浙江卷)已知函數f(x) =2 -x+ 3, x>1,x貝U f(f(-3) =, f(x)lg x2 + 1 , x<1,的最小值是.探究二比較兩個函數值或兩自變量的大2. 已知函數 f(x)= log2x + 1-x)若 Xi G (1,2)X2G(2, +3,則()A. f(xi)<0, f(X2)<0 B. f(xi)

9、<0, f(X2)>0C. f(xi)>0, f(X2)<0 D. f(xi)>0, f(X2)>0探究三解函數不等式3. （20i5西安一模）已知函數f（x） =x3)xW0)In x+ i)x>0)若f(2 x2)>f(x),則實數x的取值范圍是（）A.(一巴一i)U(25 +00)B.(一巴2)U(i5 +00)C(T,2)D(一2,i)探究四利用單調性求參數的取值范圍4. (2015江西新余期末質檢)已知f(x) =2 a x+ 1 x<1 ) ax x> 1滿足對任意Xi # X2)都有,那么a的取值范圍是(f X1 f X

10、2 I、X1 X2 >0 成立3cc 3A. 2)2B. 1 , 2C. (1,2)D(1, +oo)函數單調性應用問題的四種類型及解題策i !略I:I(1)比較大小.比較函數值的大小，應將自變Ii I 量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數的單I調性解決.IIII(2)解不等式.在求解與抽象函數有關的不等|I式時，往往是利用函數的單調性將 f”符號脫掉，I iiI使其轉化為具體的不等式求解.此時應特別注意I! I函數的定義域.I: :IIIIIIj(3)利用單調性求參數.|!B視參數為已知數，依據函數的圖象或單調!II!I： ； iiI性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間IIII

11、II比較求參數；Iii! ： |需注意若函數在區間a,b上是單調的，|!Ii:I則該函數在此區間的任意子集上也是單調的. I: :!j： ： |(4)利用單調性求最值.應先確定函數的單調|iii性，然后再由單調性求出最值.III|_ ID品楞得I1.確定抽象函數的單調性以及解含f”的不等式【典例】(12分)函數f(x)對任意a, bG R, 都有 f(a+b)=f(a) + f(b)1,且當 x>0 時，有 f(x)>1.(1)求證：f(x)是R上的增函數；(2)若 f(4) = 5)解不等式 f(2t-1)-f(1+1)<2.思路點撥(1)用單調性的定義證明抽象函數的單調性

12、；(2)結合題意，將含f”的不等式 f(2t-1)-f(1 + t)<2 轉化為 f(m)<f(n)的形式,再 依據單調性轉化為常規不等式求解.模板形成利用函及單調性0-?定義與斯抽1兩盤的單調性I根鶴條件叫一南致不等式變形或/7加八用叫.隹|T根標而叫嗝條后布面奉汨昶珞百麗道天/（演h 一川轉化為常不等指二或"】”I好不等式m , H輯所求結果HapMGUMZOHG，2C1Ed畫一跟蹤檢費？A組考點能力演練1. （2015吉林二模）下列函數中，定義域是R且為增函數的是（）A. y= e x x< 0 ) y=x2+2x10;丫:1 x>0 .B. y=xC.

13、 y= ln xD . y= |x|2. （2015河南信陽期末調研）下列四個函數：_1y=3x;y=x21 ；其中值域為R的函數有()A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 3,若函數 f(x)= x2+2ax 與函數 g(x) =2在區間1,2上都是減函數，則實數a的取值范圍為()A. (0,1)U(0,1) B. (0,1)U(0,1C.(0,1) D.(0,14 ,已知函數f(x) =x2 4x+3,xW0x22x+3)x>0)不等式f(a24)>f(3a)的解集為()A. (2,6)B. (-1,4)C. (1,4)D. (-3,5)15. (2016浦東一模)如

14、果函數y=f(x)在區間I上是增函數，且函數y=曜在區間I上 x是減函數，那么稱函數y=f(x)是區間I上的“緩增函數”，區間I叫作“緩增區間”.若函數f(x) = 1x2- x + 3是區間I上的“緩增函數”，則“緩 增區間” I為()A. 1, +oo) B. 0, V3C. 0,1 6.已知f(x)是定義在R上的偶函數，若對x2xi任意的 xi, x2G0, +oo)(xi#x2),有 <0,則f(3), f( 2), f(1)的大小關系為 .1, x>0,7.設函數 f(x)= 0)x=0)g(x) = x2f(x1, x<0,-1),則函數g(x)的遞減區間是.8

15、. (2015長春二模)已知函數f(x)=|x + a|在 (巴1)上是單調函數，則 a的取值范圍是 x9 .已知 f(x) =(x#a). x a(1)若 a= 2,試證 f(x)在(一8, 2)上單調遞增；(2)若a>0且f(x)在(1, +8)上單調遞減，求 a的取值范圍.110 .已知函數 g(x) = Vx+ 1 5 h(x)= x I 3G( 3)a,其中a為常數且a>0)令函數f(x)= g(x) h(x)(1)求函數f(x)的表達式，并求其定義域;1-(2)當a= 1時，求函數f(x)的值域.B組高考題型專練1. (2014高考北京卷)下列函數中，在區間 (0, +

16、8)上為增函數的是()A. y= <x+ 1 B. y=(x-1)2C. y= 2 x D. y= logo.5(x+1)2.(2013高考安徽卷)“aw0”是“函數f(x) = |(ax1)x|在區間(0, +8)內單調遞增”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3. (2015高考福建卷)若函數f(x) =x + 6x w 23+logax)x>2(a>0)且a#1)的值域是4)+ 8),則實數a的取值范圍是.4. (2015高考湖北卷)a為實數，函數f(x) =|x2 ax|在區間0,1上的最大值記為g(a).當a =時)g

17、(a)的值最小.1 ,1 .解析：根據函數的圖象知，函數f(x) = 7在 x(0, +oo)上單調遞減，故選A.答案：A2 .解析:要使y=log5(2x+1)有意義，則2x一 1+ 1>0）即 x> 5）而 y= log5u 為（0）+ 0°）上的 1 t增函數，當x> 2時，u = 2x+1也為R上的增函數，故原函數的單調增區間是1 g2 + OO .答案._1 +OO23 .解析：要使函數在R上是增函數,六1，貝第a<0,-1 - a1 50a,解得一3WaW2,即a的取值范圍是 3,-2.答案：B14 .解析：因為1+x2A1,0<+ 尸1)所

18、以函數值域是(0,1,選B.答案：B5 .解析：依題意，f(-2) = f(0) = 0, f(-1)= -1, f(1)=3,因此 f(x)的值域是1,0,3,選 D.答案：D1.解析：當x>0時，f(x)=3 x為減函數;3 .當xG0)2時)f(x) = x23x為減函數)3當x7,十°°時)f(x) = x23x為增函數；-1 、當xG(0, +oo)時，f(x)= 為增函數；x+1當xq0, +-)時，f(x)= |x|為減函數.故選C.答案：C2x ,、，2.判斷函數g(x) =一；在(1, +8)上的單 x 1調性.2.解：法一：定義法任取 xi, x2

19、qi, +°°),且 xi<x2,- 2xi- 2x2則 g(xi) g(x2)="；=xi 1x2i2 xi x2xi i x2 i '因為 i<xi<x2)所以 xi x2<0)(xi i)(x2i)>0)因此 g(xi) g(X2)<0,即 g(X1)<g(X2).故g(x)在(1)+ 00 )上是增函數.法二：導數法2 x 1 + 2x 2(X)= X-12= j>0'g(x)在(1, +8)上是增函數.1.解(1)由于y二片a錯誤!-y-2-l 0 1 2V? X即y =/ '錯誤!

20、畫出函數圖象如圖所示，單調遞增區間為( 8, 1和0,1,單調遞減區間為1,0和1+°°).2.(2)令u = x23x + 2,則原函數可以看作y1=log2u與u = x2 3x+ 2的復合函數.令 u = x23x + 2>0)貝U x<1 或 x>2.一 1 。，函數y=log2(x23x+2)的定乂域為( 8) 1)U2, +oo).一 c一 一. 3 一一，又u = x2 3x + 2的對稱軸x=2,且開口向 上.l = x2 3x+2在(8,1)上是單調減函數， 在(2, +8)上是單調增函數._1，而y= log2"在(0)+ 0

21、°)上是單調減函數)1 .y=log2(x2 3x + 2)的單調遞減區間為(2,+ °°）,單調遞增區間為（一°°, 1）.演練沖關口解析：y=|x|(1 v x).0 ：；1、x 1x x>0 ,12_CIx 1x x<0x2 + x x>0 )x2x x<01 o 1x 2 + 4 x>0 ,=12 1x 2 4 x<0 .畫出函數的草圖，如圖.I，一 一 ,1由圖易知原函數在0, 2上單調遞增.答案：B1.解析：由題知，f(3)=1,f(1)=0,即 f(f(3)=0.又吃)在(00, 0)上單調遞減

22、，在(0,1)上單調遞增，在(1,也)上單調遞減，在(血，+00) 上單調遞增，所以 f(x)min = minf(0),f(，2) = 2V2 3.答案：0 2也3一 一1 ，2 .解析：.函數f(x)=log2x+1一在(1,+8)上為增函數，且f(2)=0,當xiqi,2)時，f(xi)<f(2) = 0,當 X242, +8)時,f(X2)>f(2)=0,即 f(X1)<0, f(X2)>0.答案：B3 .解析：,當x=0時，兩個表達式對應的函數值都為零，函數的圖象是一條連續的曲線., 當XW0時，函數f(x)=x3為增函數，當x>0時， f(x)= ln

23、(x+1)也是增函數)且當xi<0)X2>0時) f(xi)<f(X2),.函數f(x)是定義在R上的增函數.因 此，不等式f(2 x2)>f(x)等價于2 x2>x,即x2 + x 2<0,解得2<x<1,故選 D.答案：D4 .解析：依題意，f(x)是在R上的增函數，2 a>0,.3于是有a>1,解得3wa<2,故選2 a x 1 + Ka1.A.答案：ADSSSSSJe I 規范解答(i)證明:設xi)X2G R 且 X1<X2)則 X2 xi>0)，f(X2 Xi)>1.(2 分)根據條件等式有f(X2

24、) f(X1) = f(X2 Xi + Xi) f(X1) = f(X2 Xi) + f(Xl) 1 f(X1)=f(X2Xi) 1>0)，f(Xi)<f(X2),，f(X)是R上的增函數,(6分)(2)由 f(a+b)=f(a) + f(b)1,得 f(a+b) f(a)= f(b)T,/.f(2t-1)-f(1+t) = f(t-2)-15 (8 分) f(2t1)f(1+t)<2,即 f(t 2)1<2, f(t 2)<3.又 f(2 + 2) = f(2)+f(2)1 = 5,，f(2)=3, ，f(t 2)<3=f(2). (10 分) f（x）是

25、R上的增函數，：t2<2,，t<4,故不等式的解集為（一8,4）. （12 分）1 .解析：因為定義域是R,排除C,又是增 函數，排除A、D,所以選B.答案：B2 .解析：依題意，注意到y=3x與函數yx x< 0 ）=1的值域均是 R,函數y =xx2+ 1的值域是(0,1,函數 y=x2 + 2x-10=(x +1)2 11的值域是11, +8),因此選B.答案：B3 .解析：注意到f(x)= (xa)2+a2;依題aW 1 )意得即0<aw 1,故選D.a>0)答案：D4 .解析：作出函數f(x)的圖象，如圖所示， 則函數f(x)在R上是單調遞減的.由f(a

26、2 4)>f(3a),可得 a2 4<3a,整理得 a2-3a-4<0, 即(a+1)(a4)<0,解得一1<a<4,所以不等式的 解集為(一1,4).答案：B1c 3一一5 .解析：因為函數f(x)=2x2 x + 2的對稱軸為x=1,所以函數y=f(x)在區間1, +oo)上是增函數，又當xR1時，*=1x1+：3,令g(x) x 2 2x 13-，13x23=2x1+北1)，則 g (x)=2友=2，L f x 1由 g (x)W0 得 1WxW43,即函數二="1 x 2+自在區間1,血上單調遞減，故“緩增區間” I2x 、.為1, 同答案

27、：Df x2 x16.解析：由 乂1»240)+°°)時)<0)x2x1f(x)在(0, +8)上為減函數.又 f( 2) = f(2), 1<2<3, .f(1)>f( 2)>f(3).即 f(1)>f(2)>f(3).答案：f(1)>f( 2)>f(3)7.解析x2,x>1)g(x)0, x=1,如圖所示，其遞減區間x2,x<1.是0,1).答案：0,1)8 .解析：因為函數f(x)在(一8, a)上是單 調函數，所以一a>-1,解得a<1.答案：( 8) 19 .解：(1)證明：任設 x<x2< 2)則 f(xi)f(X2)=X1X2一xi + 2X2+22 xi X2一.xi+ 2 X2+2.(Xl +2)(X2+2)>0)X1 X2<0)f(X1)<f(X2)f(x)在(一8, 2)上單調遞增.(2)f(x)=»=xa+a = 1+-a-, xa xa xa當 a>0 時)f(x)在(一a), (a, +°°)上是減函數，又f(x)在(1)+°°)上