1、上海海事大學 2011-2012 學年第_2_學期研究生 數(shù)值分析 課程考試試卷 A(答案)學生姓名： 學號： 專業(yè)： 填空題(每小格2分共30 分)1. 利用Jacobi迭代法求解Ax=b時，其迭代矩陣是Bj D 1(L U );當系數(shù)矩陣A滿足嚴格對角占優(yōu)時，Jacobi迭代法收斂x01242. 已知函數(shù)f(x)有數(shù)據(jù)f19233則:其 3 次Lagra nge 插值多式的基函數(shù)l°(x)137 2xx-x 1插值余項為-宀)x(x1)(x 2)(x 4)8 844!3. 求解常微分方程初值問題Iy f(x,y), a x by(a)的Euler公式為yi 1%hf(Xj,yJ

2、,它是1階方法。4. 設 f (x)7x8 5x44x3 1,則差商 f50,511.,587019f 2 ,2 ,.2 0_5.對于求解Ax=b，如果右端有b的擾動存在而引起解的誤差為x，則6.相對誤差xINIGauss型數(shù)值求積公式Con d(A)卑 lbllbnf (x)dxAf(xJai 0b的代數(shù)精度具有2n+1 次，求積系數(shù)的表達式為li2(x)dx,且ab- a7.8.幕法是求矩陣*模最_特征值和特征向量的計算方法.Jacobi法是計算實對稱矩陣的所有特征值和特征向量的計算方法對于給定的正數(shù) k, Newt on 法解二次方程x2 k 0的迭代公式為Xn 1 Xn設函數(shù)f(x)

3、2x4，已知T4(x) 8x4 8x2 1,試利用切比雪夫多項式最小零偏差的性質(zhì)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間-1，1上的次數(shù)低于4的最佳一致逼近。(5 分)解：由切比雪夫多項式最小零偏差的性質(zhì)得:2f (x)P2(x)T8(x)8故：P2(x) f(x) 8T4(x)2x-4(7 分)三用代數(shù)精度確定求積公式的求積系數(shù)，并指出其具有的代數(shù)精度。2o f (x)dxw0 f (0) w1 f (1) w2 f (2)解:四當21410 f (x)dx 3f(o)3f(1) £f(2)具有三次代數(shù)精度。解:f (Xo) 丄f(Xo h) 2f(Xo) f(Xo h) h的截斷誤差R(h) of

4、 (Xo h)f (Xo) hf(Xo)h2!2f (Xo)h3!3f (Xo)4!(4)1押 f(xo h) 2f(Xo)f (Xoh) f (xo)£12(4)()故：R(h)(h2)五設li(X)是關于互異節(jié)點Xi0,1,2，n的Lagrange插值基函數(shù),(6分)1,2 )試證明:nli(0)Xiki 010(1)nXoX1Xnk 01,2, nn 1(7 分)f(x)具有四階連續(xù)導數(shù)時，試求出二階三點數(shù)值微分公式解：設f (x)的n+1階導數(shù)存在，則有:nf (x)f (Xi)li(x)i 0(n 1)(n 1)!(xXo)(x Xn)當 f(X) 1 時，1f(x)li(

5、x)i 1n0,所以有l(wèi)i(0)i 1nkf (x)Xi li (x) 0i 0又 f(x) xn 1 時，kk當 f (x) X 時(k 1,2, n ), Xn所以x'li(0) 0i 0nn 1n 1x f (x)Xi li(x) (X Xo) (x Xn)i 0n取 X 0 時，有Xin1|i(0) ( 1)n XoX1 Xn oi 0六. 設有方程組Ax=b，其中A為對稱正定矩陣，迭代公式x(k 1) x(k) - (Ax(k)-b)x(x)為使迭代序列收斂到Ax=b的解，試討論參數(shù)的取值范圍。(7分)證明:可以得x(k °(I-A)x(k)b迭代矩陣B IA，特征

6、值為(B)1(A)，又A對稱正定，所以特征值非負，設01.n如(B)| 1(A)1，則02(A)，故0時，0n2 2n(A)，成立(B)1，所以迭代收斂。七. f(x)在0, 2上具有四階連續(xù)導數(shù)，已知f(°)0，f(1)1，f(2)1和f (1) 3試用Newton-Hermite插值法求滿足上列條件的一個次數(shù)不超過3的插值多項式H(X)，并估計誤差。(7分)1 235解：H(x) N2(x) Ax(x 1)( x 2) ,N2(x)-x - x,由 f (1) 3 得 A -5 327H (x)x 7xx2 21又 R(x) f(x) H(x) = ；f ()x(x 1)2(x

7、2) ,(0,2)4!八. 對于迭代函數(shù)(x)x C(x 2)，試討論：1) 當C取何值時，產(chǎn)生的序列 Xk局部收斂于2。2) C取何值時迭代至少具有二階收斂速度。(7分)2解:(x) x C(x 2)，(x)1 2Cx，且連續(xù)。由定理得又：當 1(-2) 1 2C 2 0，即C= 時，迭代至少是二階收斂的。22C 0時迭代局部收斂。(J2)1 2C 1，也即九.設f c1a,b，證明：右矩形求積公式a f (X)dX(b a)f(b)(b a)2 32當f (x)0，試從幾何上說明右矩形求積公式與實際積分數(shù)值大小關系；試以此構造復合求積公式，并說明該復合求積公式是收斂的。(9分) 解：因為：

8、f(x) f (b) f ( )(x b)；b故：a f (X)dxbba f (b)dx a f ( )(x b)dx=(b a)f(b)匕址f()b當 f (x) 0時，f (x)dx (b a) f (b)a又：分劃a,b得：Xki,Xk, k=1,2,n得復合公式:f(x)dxXkXk 1f (x)dx(Xkk 1Xk 1)f (Xk)(XkXk 1)22k)nh2 f (Xk)n 2yf (k 1 2k)所以：Rk)=hf ()其中：h (Xk Xk 1),匚 hn有:h叫R 0y f (x,y)十.求系數(shù)a，b，使求解常微 分方程初值問題yx a s的數(shù)值解公式y(tǒng)n 1ynh(ay

9、nbyn 1)的局部誤差為y(Xn1) yn1 °(h)(7 分)2因 yn 1 yn hyn O(h )，又 y(Xn 1)y(Xn) hy(Xn)1h2y (Xn) O(h3)，比較得 a |, b對于初值問題y f(x,y)yx a s若函數(shù)f (x, y)在區(qū)域a x b ,滿足f (x,y)f (x,y*) L y y* 條件，試說明二階 Runge-Kuttayn 1 ynk2方法k2k hf(Xn,yn) hf (xn 號,yn在0 h h0條件下是收斂的。 并用該方法求解初值問題 y 2ay, (a 0)， y(0) s討論絕對穩(wěn)定性對步長的限制(8分)h k解：因為：(x,y,h) f (x , y 亍)所以： (x, y, h) (x, z, h) L(1 號丫 z ， 其中 o h h°由收斂定理得：二階 Run ge-