1、2009高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則 我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng) 上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的 資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處 和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī) 則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：A我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜汉邶埥艘晦r(nóng)墾大學(xué)參賽隊(duì)員（打印并簽名：1.杜文賀2. 陳鴻3. 蘇敏指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名：日期：2010年8月丄日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2009高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析摘要 本論文主要解決汽車的制動(dòng)問(wèn)題。對(duì)于問(wèn)題一，建立等效慣量模型，求出等效慣量為-對(duì)于問(wèn)題二，建立機(jī)械慣量模型，推導(dǎo)出求飛

3、輪以中心軸為旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式為：，3中飛輪的機(jī)械慣量分二 >：>2Qkg，與基礎(chǔ)慣量組合共有8種：如卜表：組合12345678機(jī)械慣量1030 406070100 120 220用電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償慣量為-或'0對(duì)于問(wèn)題三，從能量守恒的角度出發(fā)，推導(dǎo)出電流的計(jì)算公式，由此計(jì)算出的驅(qū)動(dòng) 電流大小為174.825A。對(duì)于問(wèn)題四，對(duì)離散化的數(shù)據(jù)使用梯形求積公式，求出試驗(yàn)臺(tái)上消耗的總能量為 4924.23J,路試消耗的總能量為5215.02J并計(jì)算出相對(duì)誤差為5.57%,從而說(shuō)明 了此種控制方法不夠完善。對(duì)與問(wèn)題五，結(jié)合由模型三推出的結(jié)論，使觀測(cè)時(shí)間足夠小，并使用向后差分來(lái)代k 2岸-

4、n.f 2陰小=鈦打-替導(dǎo)數(shù)，公式為。使用兩種評(píng)價(jià)方案，一是總體相對(duì)誤差評(píng)價(jià)方案，二是平均相對(duì)誤差評(píng)價(jià)方案。對(duì)于問(wèn)題六，加入風(fēng)阻，與軸輪的摩擦兩大因素，仍然從能量守恒的角度建立模 型。關(guān)鍵字：汽車制動(dòng)器；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；能量守恒；一、問(wèn)題重述汽車的行車制動(dòng)器的作用是在行使時(shí)使車輛減速或停止。制動(dòng)器的設(shè)計(jì)是汽車設(shè)計(jì) 的最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)之一，它直接影響著人身和車輛的安全。本文將對(duì)原有的控制 方法進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，以及改進(jìn)。為了檢驗(yàn)制動(dòng)器設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，必須進(jìn)行相應(yīng)的測(cè)試。測(cè)試方法主要有兩種：臺(tái)試和 路試。在本問(wèn)題中采用在道路上測(cè)試實(shí)際車輛制動(dòng)器，此過(guò)程稱為路試，在路試過(guò) 程中，檢測(cè)制動(dòng)加速度等指標(biāo)。假設(shè)路試時(shí)輪

5、胎與地面的摩擦力無(wú)窮大，即輪胎與地面無(wú)滑動(dòng)，測(cè)試基本方法為：（1）加速到指定的速度；（2）斷開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)的輸 出；（3）讓車輛減速到某一數(shù)值之下或停止。然而，在車輛設(shè)計(jì)階段無(wú)法進(jìn)行路試，只能在專門的制動(dòng)器實(shí)驗(yàn)臺(tái)上對(duì)所設(shè)計(jì)的路 試進(jìn)行模擬檢驗(yàn)，即根據(jù)路試得出的有效數(shù)據(jù)推導(dǎo)出臺(tái)試模型進(jìn)行檢驗(yàn)制動(dòng)器。制 動(dòng)器實(shí)驗(yàn)臺(tái)由安裝了飛輪組的主軸、驅(qū)動(dòng)主軸旋轉(zhuǎn)的電動(dòng)機(jī)、底座、施加制動(dòng)的鋪 助裝置以及測(cè)量和控制系統(tǒng)等組成。試驗(yàn)臺(tái)上的主軸等不可拆卸機(jī)構(gòu)的慣量稱為基 礎(chǔ)慣量，飛輪組由若干個(gè)飛輪組成，這些飛輪的慣量之和再加上基礎(chǔ)慣量稱為機(jī)械 慣量。路試車輛的指定車輪在制動(dòng)時(shí)承受載荷，將這個(gè)載荷在車輛平動(dòng)時(shí)具有的能 量等效地

6、轉(zhuǎn)化為試驗(yàn)臺(tái)上飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)具有的能量，與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量稱為等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。并在制動(dòng)過(guò)程中，讓電動(dòng)機(jī)在一定規(guī)律的電流控制下 參與工作，補(bǔ)償由于機(jī)械慣量不足而缺少的能量，從而滿足模擬試驗(yàn)的原則。一般 假設(shè)試驗(yàn)臺(tái)采用的電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比（本文中的比例系數(shù)去 1.5丨，），并且試驗(yàn)臺(tái)工作時(shí)主軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與瞬時(shí)扭矩是可觀的離散量。 又由于制動(dòng)器性能的復(fù)雜性，電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流與時(shí)間之間的精確關(guān)系很難得到。工 程實(shí)際中常用的計(jì)算機(jī)控制方法是：把整個(gè)制動(dòng)過(guò)程離散化為許多小的時(shí)間段，再 根據(jù)前面時(shí)間段觀測(cè)到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與/或瞬時(shí)扭矩，實(shí)際出本時(shí)段的電流值，這個(gè) 過(guò)程逐次進(jìn)行，直到

7、完成制動(dòng)。評(píng)價(jià)控制方法的優(yōu)劣可以根據(jù)所設(shè)計(jì)的路試時(shí)的制 動(dòng)器與相對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)臺(tái)上制動(dòng)器在制動(dòng)過(guò)程中消耗的能量之差來(lái)判斷。在本文中，主要解決以下問(wèn)題：1. 如果車輛單個(gè)前輪的滾動(dòng)半徑為 0.286 m，制動(dòng)時(shí)承受的載荷為6230 N,如 何建立模型求出等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2. 飛輪組由3個(gè)外直徑1 m、內(nèi)直徑0.2 m的環(huán)形鋼制飛輪組成，厚度分別為0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m,鋼材密度為 7810 kg/m3,基礎(chǔ)慣量為 10 kg m2， 建立模型，求出可以組成哪些機(jī)械慣量？設(shè)電動(dòng)機(jī)能補(bǔ)償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量的范圍 為-30, 30 kg m2,對(duì)于問(wèn)題1中得到的等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

8、需要用電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償多大 的慣量？3. 在問(wèn)題1和問(wèn)題2的條件下，假設(shè)制動(dòng)減速度為常數(shù)，初始速度為50 km/h，制動(dòng)5.0秒后車速為零，建立電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流依賴于可觀測(cè)量的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算驅(qū)動(dòng) 電流。4. 對(duì)于與所設(shè)計(jì)的路試等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 48 kg m2機(jī)械慣量為35kg m2主軸初轉(zhuǎn)速為514轉(zhuǎn)/分鐘，末轉(zhuǎn)速為257轉(zhuǎn)/分鐘，時(shí)間步長(zhǎng)為10 ms的 情況，用某種控制方法試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)見(jiàn)附表。請(qǐng)對(duì)該方法執(zhí)行的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。5. 按照第3問(wèn)導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，給出根據(jù)前一個(gè)時(shí)間段觀測(cè)到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與/或瞬時(shí)扭矩，設(shè)計(jì)本時(shí)間段電流值的計(jì)算機(jī)控制方法，并對(duì)該方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。6. 討論第5問(wèn)給出的控制方法是否有

9、不足之處？如果有，請(qǐng)重新設(shè)計(jì)一個(gè)盡量完善 的計(jì)算機(jī)控制方法，并作評(píng)價(jià)。二、模型假設(shè)1 假設(shè)路試時(shí)輪胎與地面的摩擦力為無(wú)窮大，相互之間無(wú)滑動(dòng)；2模擬實(shí)驗(yàn)中主軸的角速度始終與車輪的角速度一致；3 忽略車輪自身轉(zhuǎn)動(dòng)具有的能量；4 .試驗(yàn)臺(tái)采用的電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比；5 不考慮觀測(cè)誤差、隨機(jī)誤差和連續(xù)問(wèn)題離散化所產(chǎn)生的誤差。三、符號(hào)說(shuō)明與定義3.1符號(hào)說(shuō)明1. :輪子制動(dòng)時(shí)承受的載荷；2. :輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；3. :輪子的動(dòng)能；4. :汽車的動(dòng)能；5. :制動(dòng)器開(kāi)始工作時(shí)輪子的初速度；6. ':汽車的質(zhì)量；7. :輪子的角速度；8. :輪子的半徑；9. :重力加速度，取 =9.

10、8''；10. :此制動(dòng)器實(shí)驗(yàn)臺(tái)的基礎(chǔ)慣量；11. ':第：種環(huán)形鋼制飛輪的厚度，=1,2,3；12. :環(huán)形鋼制飛輪的密度;13. :環(huán)形鋼制飛輪的內(nèi)半徑；14. :環(huán)形鋼制飛輪的外半徑；15. :第 種環(huán)形鋼制飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，=1,2,3;16. :第 種組合的機(jī)械慣量，=1,2,8=1,2,817. :第 種組合需要用電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償?shù)哪芰克鶎?duì)應(yīng)的慣量,18. ': 個(gè)環(huán)形鋼制飛輪的體積；19. :飛輪組的初始角速度；20. :飛輪組在t時(shí)刻的角速度，卩二麗21. :機(jī)械慣量；22. :機(jī)械扭矩；23. :電扭矩；24. “ ：制動(dòng)扭矩；22.:機(jī)械扭矩；23.

11、:制動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的能量；24.:飛輪組減少的能量；L亠,、25.:電動(dòng)機(jī)在0時(shí)刻的補(bǔ)償能量；26.:電動(dòng)機(jī)在時(shí)刻的驅(qū)動(dòng)電流，； 1 ；27.:電動(dòng)機(jī)在 時(shí)刻的輸出功率，；28.:路試時(shí)制動(dòng)器所消耗的能量；29:實(shí)驗(yàn)臺(tái)上制動(dòng)器在制動(dòng)過(guò)程中消耗的能量與路試時(shí)制動(dòng)器多消耗的能 量的相對(duì)誤差。3.2符號(hào)定義補(bǔ)償慣量：補(bǔ)償慣量='。補(bǔ)償變量的值可正可負(fù)，也可以為零，當(dāng)其值大于零時(shí)，表示機(jī)械慣量不足，需由電動(dòng)機(jī)來(lái)補(bǔ)償；其值小于零 時(shí)，表示等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 不足”需由電動(dòng)機(jī)來(lái)補(bǔ)償”其值為零時(shí)，表示無(wú)需補(bǔ) 償，補(bǔ)償量的大小即為補(bǔ)償慣量的絕對(duì)值。由問(wèn)題二可知它的范圍為門;廠；。四、模型建立4.1模型一：等效慣

12、量模型對(duì)問(wèn)題一的分析等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在本文中的定義是：載有一定載荷量的車輛平動(dòng)時(shí)所具有的能量等 效地轉(zhuǎn)化為試驗(yàn)臺(tái)上飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)具有的能量，與此能量相對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量即為等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其中，忽略了車論自身轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所具有的能量。因此，要 想求得等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，需知道車輛平動(dòng)時(shí)所具有的能量，由于汽車制動(dòng)的平穩(wěn)性 和此處只需考慮剛制動(dòng)時(shí)輪子的等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以，忽視重力勢(shì)能、熱能等其 他能量，只考慮動(dòng)能的大小來(lái)建立關(guān)系式。下圖為車輛制動(dòng)時(shí)的示意圖。圖1車輛制動(dòng)時(shí)的示意圖模型的建立V當(dāng)汽車的速度達(dá)到 時(shí)，斷開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出，讓車輛依慣性繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí), 汽車制動(dòng)器開(kāi)始制動(dòng)輪子，使車輛減速，假

13、設(shè)此過(guò)程輪子與地面無(wú)滑動(dòng)，依次列出 以下公式。首先，當(dāng)汽車的速度為時(shí)，由動(dòng)能的定義公式可知汽車的動(dòng)能為其/、，而輪子與車輛的關(guān)£ = - mr,L 2次，設(shè)此時(shí)輪子的角速度為，由輪子線速度與角速度的關(guān)系可知的線速度與車輛此時(shí)行駛的速度相等，所以可以得到輪子的角速度 系：嶺=強(qiáng)由于汽車制動(dòng)時(shí)的平穩(wěn)性，可以將車輛看做是一個(gè)剛體，而剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能計(jì)算E = Y A/W = V A/W) = (V 3拘廠)ft/公式為 i11，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義可知y = y 一入叩. 2'，所以輪子的動(dòng)能為：(3)'2第四,由本文所定義的等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可知，剛制動(dòng)時(shí)車輛的動(dòng)能和輪子的動(dòng)能相

14、等， 即：(4)第五,由重力的定義很容易知道重力與質(zhì)量的關(guān)系：G = mg綜合上面五個(gè)公式，最終可以得到此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式為:丁 G !J -f,4.2模型二：機(jī)械慣量模型對(duì)問(wèn)題二的分析本問(wèn)題給出了三種環(huán)形鋼制飛輪的厚度，又給出了它們的外直徑、內(nèi)直徑、密度， 還給出了試驗(yàn)臺(tái)的基礎(chǔ)慣量，所以要想求出它們組成的機(jī)械慣量，就得先分別求出 它們的機(jī)械慣量，而機(jī)械慣量是由飛輪的慣量加上基礎(chǔ)慣量，所以就得求出飛輪的 慣量，此環(huán)形鋼制飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量屬于圓筒繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，最終，根據(jù)計(jì) 算圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相關(guān)知識(shí)，計(jì)算出環(huán)形鋼制飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，進(jìn)而，一步一步往 回推算，就能得出此三種環(huán)形鋼制飛論可能的組合

15、。為了討論的方便，對(duì)這種飛輪 進(jìn)行編號(hào)，依次為第一種飛輪、第二種飛輪、第三種飛輪，它們對(duì)應(yīng)的厚度分別為=0.0392 ； '，=0.0784 ； ' ,=0.1568'。422模型的建立根據(jù)問(wèn)題二的分析，分以下步驟完成此問(wèn)：首先，根據(jù)微分思想，首先在圓筒上取質(zhì)量為'-，其值為：dm=pdV其次,由圓柱體的體積為 賞三，丞套可以得到體積的微分表示：三了二羥；第三，因?yàn)榄h(huán)形鋼制飛輪可以看做是質(zhì)量均勻的剛體，且質(zhì)量呈體分布，所以環(huán)形鋼制飛' 輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式為：n”根據(jù)上面三個(gè)公式可以推導(dǎo)出環(huán)形鋼制飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式，為：z;1)j 二 1,2,3(

16、10)£根據(jù)公式可以算出三個(gè)飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，關(guān)于它們的機(jī)械慣量組合及其補(bǔ)償慣量將在模型二的求解中給出。4.3模型三：由能量守恒計(jì)算驅(qū)動(dòng)電流模型對(duì)問(wèn)題三的分析根據(jù)文中第三段描述，畫出制動(dòng)器、轉(zhuǎn)軸、電動(dòng)機(jī)和小飛輪如何連接的簡(jiǎn)易示意 圖，如下圖所示：圖2制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)工作示意圖 若機(jī)械慣量小于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，制動(dòng)時(shí)飛輪組會(huì)迅速停下，而不能真實(shí)的模擬實(shí)際情 況。但又若機(jī)械慣量太大，制動(dòng)時(shí)飛輪組久久不會(huì)停下，也不能真實(shí)的模擬實(shí)際情 況。因此如何使用電動(dòng)機(jī)適時(shí)的加以補(bǔ)償電流，增大飛輪組的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是需要解決 的問(wèn)題。由于實(shí)際問(wèn)題要復(fù)雜的多，不考慮摩擦與風(fēng)速等其它因素對(duì)能量的損失。那么，在 制動(dòng)開(kāi)始到制動(dòng)結(jié)

17、束，任意時(shí)刻的能量都是守恒的，則根據(jù)能量守恒定律可知，制 動(dòng)器產(chǎn)生的能量=飛輪組的減少的能量+電動(dòng)機(jī)對(duì)飛輪組的補(bǔ)償能量，據(jù)此建立了 模型三。模型的建立根據(jù)對(duì)問(wèn)題三的分析，利用物理即工程上常用的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的知識(shí)進(jìn)行本模型的建 立，根據(jù)大學(xué)物理書所給的定理知，影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的主要因素有質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位 置和半徑。根據(jù)已學(xué)的物理知識(shí)，結(jié)合在本系統(tǒng)中，在問(wèn)題一和問(wèn)題二的基礎(chǔ)上， 主要考慮機(jī)械慣量和電動(dòng)機(jī)的補(bǔ)償慣量，可以建立如下的模型： 首先，根據(jù)文中第三段提示，不妨假設(shè)機(jī)械慣量小于等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由此，根據(jù) 能量守恒定律，可以得到：制動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的能量 =飛輪組減少的能量+電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償能t川川量，設(shè)飛輪組在初始

18、時(shí)刻 的角速度為，經(jīng)過(guò)時(shí)間 后的角速度為，那么，制動(dòng)機(jī)產(chǎn)生阻礙飛輪組轉(zhuǎn)動(dòng)的能量為：應(yīng)-心（I】）jL其中，為制動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的能量，'為等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。飛輪組減少的能量為：巧込打曲-叫爲(wèi)）（12）其中，為飛輪組減少的能量，為機(jī)械慣量。對(duì)于電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的補(bǔ)償能量，為其功率對(duì)時(shí)間的積分，又其瞬時(shí)功率為：時(shí)旳卩（13）其中，表示電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流產(chǎn)生的扭矩，即電扭矩，表示電動(dòng)機(jī)在 時(shí)刻的輸出功率，那么，從零時(shí)刻到任意時(shí)刻，電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的補(bǔ)償能量為：(14)由能量守恒定律，即；可得:T丿曲-啼二；打曲-啲+ L如上05)1J 0第步，為解出驅(qū)動(dòng)電流，可以根據(jù)文中第四段所給的信息：一般情況下，電動(dòng)機(jī)的驅(qū) 動(dòng)

19、電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比，由此可設(shè)：呂=帆其中，表示在05秒之間的驅(qū)動(dòng)電流，為比例系數(shù)且：=1. o第三步，根據(jù)以上兩個(gè)步驟可知，要想求出電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流，必須先求出電扭矩 的表達(dá)式，由此根據(jù)公式 的關(guān)系求出電扭矩，即對(duì) 式兩邊同時(shí)求導(dǎo), 得：(17)進(jìn)一步進(jìn)行演算可以得到電扭矩'的表達(dá)式:dl%dtdtt)7宀IlKl由此，結(jié)合 式可以得到驅(qū)動(dòng)電流可以表示成:根據(jù)以上三個(gè)步驟，結(jié)合針對(duì)問(wèn)題一和問(wèn)題二所求得的解，可以求出本模型的驅(qū)動(dòng) 電流，具體求解見(jiàn)模型的求解5.3。4.4模型四：評(píng)價(jià)模型對(duì)問(wèn)題四的分析附表給出了某種控制方法試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，要對(duì)該控制方法的優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)價(jià)，而評(píng) 價(jià)控制方法

20、優(yōu)劣的一個(gè)重要指標(biāo)是能量誤差的大小，在物理學(xué)中，評(píng)價(jià)能量損失的大小有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，為了更準(zhǔn)確地說(shuō)明問(wèn)題，選取相對(duì)誤差來(lái)評(píng)價(jià)該控制 方法的優(yōu)劣。本題中不考慮觀測(cè)誤差、隨機(jī)誤差和連續(xù)問(wèn)題離散化所差生的誤差。從表中可以看出，數(shù)據(jù)是以0.01s為分割，共有476段。那么每一小段的功率（）為其轉(zhuǎn)速（*、）與扭矩（）的乘積，為顯示功率隨時(shí)間的變化, 使用 -畫出其變化趨勢(shì)如下圖所示：160001400012000jw irx 功率隨時(shí)間的變化趨勢(shì)wrewo100008000600020004000£00.511.522.533.544.55time:ms圖3功率隨時(shí)間的變化圖由于數(shù)據(jù)比較密

21、集，因此進(jìn)一步使用 的放大工具，可以看出數(shù)據(jù)波動(dòng)是比較大的。放大后的圖像如下（局部放大）：wre wo2圖4發(fā)大后的功率隨時(shí)間變化圖 對(duì)于每一小段，都是一個(gè)梯形，為了計(jì)算的準(zhǔn)確性，每一小段都使用梯形求積公 式，計(jì)算每一時(shí)間段的試驗(yàn)臺(tái)上制動(dòng)器在制動(dòng)過(guò)程中消耗的能量，然后求和。即為 實(shí)驗(yàn)臺(tái)上制動(dòng)器在制動(dòng)過(guò)程中所消耗的能量。路試時(shí)，已知初轉(zhuǎn)速與末轉(zhuǎn)速，那么由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理可以很容易的求出，這一階段 所消耗的能量，具體建模方法如下。模型的建立由問(wèn)題的分析可知，路試所消耗的能量由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求得:（20） ,其中，為路試時(shí)制動(dòng)器所消耗的能量，'為等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。實(shí)驗(yàn)臺(tái)上，制動(dòng)器在制動(dòng)過(guò)程中所消耗的

22、能量，由梯形求積公式計(jì)算得:其中，單位：M2 If Pj幾皿hl z(瓦)。那么，實(shí)驗(yàn)臺(tái)上制動(dòng)器在制動(dòng)過(guò)程中消耗的能量.與路試時(shí)制動(dòng)器多消耗的能量的相對(duì)誤差為：E = 一" x 100%(22E解為5.57%,具體求解過(guò)程，請(qǐng)看模型的求解5.4。4.5模型五：模型三的評(píng)價(jià)對(duì)問(wèn)題五的分析7 .上討=k( J -根據(jù)模型三得出電流與角速度的關(guān)系式：，自然會(huì)想到利用上一時(shí)間段飛輪的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速來(lái)設(shè)計(jì)本時(shí)間段電流的值，由于時(shí)間是動(dòng)態(tài) 的，采用向后差分的思想來(lái)聯(lián)系前后兩個(gè)時(shí)間段，從而計(jì)算出下一個(gè)時(shí)間段電流的 大小，達(dá)到了一個(gè)動(dòng)態(tài)的循環(huán)計(jì)算，可以用計(jì)算機(jī)控制實(shí)現(xiàn)。題中說(shuō)明，評(píng)價(jià)控制方法優(yōu)劣的一個(gè)重要

23、數(shù)量指標(biāo)是能量誤差的大小，因此利用模 型四的思想建立了一個(gè)總能量誤差評(píng)價(jià)方案，但考慮到總體優(yōu)劣并不能代表局部的 優(yōu)劣，因此，進(jìn)一步建立了一個(gè)分段能量誤差評(píng)價(jià)方案，這樣兩個(gè)方案的評(píng)價(jià)，可 以很好的從局部和整體說(shuō)明該控制方法的優(yōu)劣。模型的建立根據(jù)問(wèn)題的分析，依下列步驟建立模型五：首先，計(jì)算驅(qū)動(dòng)電流.。在問(wèn)題三中由能量守恒定律，求出驅(qū)動(dòng)電流的表達(dá)式 :如下：dtAi =設(shè)從制動(dòng)開(kāi)始，到完成制動(dòng)總時(shí)間為，對(duì)其.等分，則每一份為，當(dāng)足夠大時(shí)，那么，驅(qū)動(dòng)電流公式 1可改寫為:=(23)Jr其次，計(jì)算 ，根據(jù)測(cè)量前一個(gè)時(shí)間的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速，使用向后差分方法取出導(dǎo)數(shù)值，即：孑叫巴叫匕_叫)蟄/ 2打二耳口汁2打24

24、dtM60山 第三，將公式Q引代入公式 ' 即可得到電流，川|隨瞬時(shí)轉(zhuǎn)速變化的表達(dá)式：60 * AZ由上式求得本時(shí)刻的電流，在此驅(qū)動(dòng)電流的作用下，測(cè)量出本時(shí)刻的轉(zhuǎn)速，并 帶入， 即可求出下一時(shí)段的驅(qū)動(dòng)電流，如此重復(fù)，直至制動(dòng)結(jié)束。模型五的評(píng)價(jià)方案方案一：總能量誤差評(píng)價(jià)方案從制動(dòng)開(kāi)始，到制動(dòng)結(jié)束，轉(zhuǎn)速由至，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，求得理論上總消耗的能量為：0. x2jr<a,(-ri60x實(shí)際上，消耗的能量為每一段的能量之和，同問(wèn)題三的分析，使用梯形求積公式, 計(jì)算，實(shí)際消耗的能量為："IE遼丁(叫7叫川隅叭(2"那么，相對(duì)誤差為:£_ f*E = Jxio

25、o%(28)當(dāng)相對(duì)誤差小于標(biāo)準(zhǔn)誤差時(shí)，認(rèn)為此種控制方案是合理的。 方案二：分段能量誤差評(píng)價(jià)方案選取時(shí)間段.，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，求出在這一時(shí)間段，理論上消耗的能量 為：. I) j I 17 ° # 2 JT >0' *2打Ej = 一丿叫-J(廣一( 廠(30)“2”'2 60xAf 60xAf實(shí)際消耗的能量為：E)氣時(shí)7叫5 +嘰M(31)那么，在這一時(shí)間段的能量相對(duì)誤差為：E* - EEf =x 100%(32)1 £總的平均能量相對(duì)誤差為：Ef 丄£ Eq(33)那么平均能量相對(duì)誤差越小，控制方法越好。4.6模型六：模型三的改進(jìn)對(duì)問(wèn)題六

26、的分析題中已經(jīng)假設(shè)不考慮隨機(jī)誤差，觀測(cè)誤差與離散化時(shí)的誤差。對(duì)與模型三的建立, 沒(méi)有考慮軸輪之間的摩擦與空氣對(duì)飛輪的阻礙等能量的消耗。因此，在模型六中, 我組加入影響較大的兩個(gè)因素，軸輪摩擦生熱與空氣摩擦生熱。從日常生活中，我們有這樣的體會(huì)，摩擦越久(及時(shí)間越長(zhǎng))，產(chǎn)生的熱量越多, 那么，摩擦產(chǎn)熱是時(shí)間的函數(shù)。對(duì)與此問(wèn)題，我組依然從能量守恒的角度，去建立電流隨時(shí)間的模型模型的建立由能量守恒定律得:V）+<?酬1（1）廿0, -心可得出點(diǎn)扭矩做的功為：嗣"上（八"叮-十Q訓(xùn)+漏/o（35等式兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)，得：Afr- -（；-+ Q啊"山叫"（3

27、6由|問(wèn)題的關(guān)鍵是如何確定軸輪摩擦生熱與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，空氣由于阻礙飛輪產(chǎn)生的摩擦 與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，而轉(zhuǎn)速是時(shí)間的函數(shù)，進(jìn)而確定與 。參考相關(guān)文 獻(xiàn)，一般是通過(guò)實(shí)驗(yàn)，得出生熱與時(shí)間的一些離散的點(diǎn)，結(jié)合熱力學(xué)的知識(shí)看出它 們近似滿足什么樣的函數(shù)關(guān)系，然后在驗(yàn)證這種函數(shù)關(guān)系是否成立。從而帶入公 式。即可求出'。，但是，轉(zhuǎn)速與時(shí)間的關(guān)系也很難確定，因此也無(wú)法求出。因此需對(duì)數(shù)據(jù)經(jīng)行離散化，對(duì)制動(dòng)時(shí)間，分割成段，每一段，足夠大。因此可用向后差分來(lái)代替導(dǎo)數(shù)值，即。由此推出，在時(shí)間段，的驅(qū)動(dòng)電流為：n - n Ifif（0八川八打）©J（f）+ Q啊五、模型求解5.1模型一的求解根據(jù)題目所給的數(shù)

28、據(jù)，前輪的滾動(dòng)半徑=0.286，制動(dòng)時(shí)承受的載荷,G a%J M !斤=623，重力加速度 =9.8 "，代入上文的公式：，即可得制動(dòng)時(shí)輪子的等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量'=52''。5.2模型二的求解已知三種飛輪的厚度：=0.0392'， ' =0.0784， =0.1568，飛輪的外半徑=，內(nèi)半徑，鋼材的密度P = 7：豹山鬼/皿，根據(jù)公式W):丿丁曲"：1，通過(guò)恥旳I)編程可以得到三種環(huán)形鋼制飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：=30 '=60 '=1200 J 23根據(jù)它們的任意組合有 +- =8種：只安裝第一種飛輪，安裝第一、二中飛輪，

29、安裝第一、三種飛輪，只安裝第二種飛輪，安裝第二、三種飛輪，只安裝第 三種飛輪，安裝第一、二、三種飛輪，不安裝飛輪，將它們依次編號(hào)為18，下面列出所有組合所組成的機(jī)械慣量：=40''，=100 ''，=160'，=70''，=190'，=130'，=220'，=10'根據(jù)上面的八個(gè)值可以列出下面表：表1機(jī)械慣量飛輪種類第一種第二種第三種第一種40100160第二種70190130第三種附：1、對(duì)角線上的值為安裝一個(gè)飛輪時(shí)所對(duì)應(yīng)的機(jī)械慣量的值；2、非對(duì)角線上的值為安裝兩個(gè)飛輪時(shí)所對(duì)應(yīng)的機(jī)械慣量的值；3、 三種都

30、安裝時(shí)對(duì)應(yīng)的機(jī)械慣量=220；4、 三種都不安裝時(shí)對(duì)應(yīng)的機(jī)械慣量=10'；5、單位為：；'。根據(jù)補(bǔ)償慣量的定義，且由模型一求出的等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;=52，可以求出這八種組合所組成的機(jī)械慣量對(duì)應(yīng)的補(bǔ)償慣量分別為：丿；=12屈 J； = _48如卅 J；=08如卅 丿;=8如卅=： = = ：=42由于補(bǔ)償慣量的范圍為'"'，所以只有第一個(gè)、第四個(gè)組合是合理的，即只安裝第一種飛輪和只安裝第二種飛輪的情況，它們的補(bǔ)償慣量分別為 12; 、； 。5.3模型三的求解根據(jù)模型的建立，結(jié)合問(wèn)題三中的條件：制動(dòng)減速度為常數(shù)說(shuō)明加速度'是一個(gè)恒定的負(fù)值，由此可知_

31、 叫廠叫)F而根據(jù)物理知識(shí)知，注咲'。所以，可以得到，即'%= J d叫嶺一嶺因此可以得出 。又由問(wèn)題一和問(wèn)題二可以得出：(1) 機(jī)械慣量：由問(wèn)題二可知，有兩種組合滿足補(bǔ)償慣量的要求，即只安裝第一種飛輪，機(jī)械慣量為''，補(bǔ)償慣量為-和只安裝第二種飛輪，機(jī)械慣量為 ，補(bǔ)償慣量為；。考慮到補(bǔ)償慣量(取決定值)越小越好， 選取只裝第一種飛輪的情況，貝U：'；(2) 制動(dòng)時(shí)輪子的等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：;(3) 前輪的滾動(dòng)半徑：=0.286 。結(jié)合以上所給出的數(shù)據(jù)和問(wèn)題三中的假設(shè)條件：初始速度50000y . t mis.=50'，v ''，車速

32、經(jīng)過(guò)制動(dòng)時(shí)間匸；(秒)后停止，即末速度=0 -，可以得出：甘叫 “0 - 50000dt 3600x0286x5 =-9.7125 (肋)再根據(jù)問(wèn)題三建立的模型可以得出驅(qū)動(dòng)電流值&嘰、Itli = J) = IJ x (40 - 52) k (-9.7125) - 17 W5( A)dt5.4模型四的求解已知等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：，機(jī)械慣量。路試時(shí)，初角速度514x2“257x 2x.,60試時(shí)，消耗的能量為:60叫=53.826rrf / sw = 26.913rad I s，末角速度60。那么，路E -丿叫'-叫“ - * 48x (53+8262- 26.913')22

33、=5215.02 (焦耳)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上，使用 編程，對(duì)數(shù)據(jù)經(jīng)行處理，求出總的消耗能量是:=4924.23（焦耳）那么，相對(duì)誤差為:(4924.23-52132|5215.02x 100%=5.57%六、模型的評(píng)價(jià) 在本論文中針對(duì)六個(gè)問(wèn)題建立了六個(gè)模型，一個(gè)問(wèn)題，一個(gè)模型，思路清晰，一目 了然，在物理知識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際設(shè)計(jì)了各個(gè)模型，很好的解決了問(wèn)題。加 之，運(yùn)用了數(shù)學(xué)軟件使結(jié)果更加精確。當(dāng)然，由于時(shí)間的緊迫，有一些方面并沒(méi)有 考慮在內(nèi)，有待日后完善。6.1模型的優(yōu)點(diǎn)（1） 運(yùn)用常用軟件- 和Excel等工具準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，嚴(yán)格地對(duì)模型 進(jìn)行求解，具有科學(xué)性；（2）算法的復(fù)雜性低，可行性較

34、強(qiáng)，計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間短；（3）繪制了多個(gè)圖形和表格，使得問(wèn)題更直觀、明了；（4）。6.2模型的缺點(diǎn)（1）數(shù)據(jù)均由題中所提供，與實(shí)際可能會(huì)有所出入；（2）忽視了熱能等能量的損失，會(huì)使結(jié)果有偏差。七、模型的改進(jìn)與推廣7.1模型的改進(jìn)在本論文中，雖然考慮了很多方面，但還是有一些因素未考慮在內(nèi)，例如沒(méi)有考慮 除動(dòng)能之外的能量的轉(zhuǎn)換，比如因摩擦損失的熱能、車輪自身轉(zhuǎn)動(dòng)具有的能量等 等，這樣勢(shì)必會(huì)造成結(jié)果的偏差，可以設(shè)計(jì)其他實(shí)驗(yàn)，測(cè)出同等條件下因摩擦而損 失的熱能、車輪自身轉(zhuǎn)動(dòng)具有的能量的具體數(shù)值，這樣會(huì)使結(jié)果更加真實(shí)、準(zhǔn)確。7.2模型的推廣本論文中模型的建立可以推廣到其它類似的問(wèn)題，特別是其它物理實(shí)驗(yàn)臺(tái)，例如， 如今火車事故發(fā)生頻繁，要想研發(fā)出更好的火車剎車制動(dòng)，可以用此模型對(duì)其進(jìn)行 設(shè)計(jì)。參考文獻(xiàn)1白其崢，數(shù)學(xué)建模案例分析M，北京：海洋出版社.，19992韓建民，大學(xué)物理學(xué)，上冊(cè)M，上海：上海交通大學(xué)出版社，20063王樹(shù)禾，數(shù)學(xué)模型選講J，北京：科學(xué)出版社，20084Recktenwald,G,數(shù)值方法和