1、黃金分割專項練習30題(有答案)21定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC =BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點.如圖 2, ABC 中，AB=AC=1，/ A=36 ° BD 平分/ ABC 交 AC 于點 D .(1) 求證：點D是線段AC的黃金分割點;(2) 求出線段AD的長.r40cm(1) 若這個矩形的面積等于(2) 這個矩形的面積可能等于(3) 若這個矩形為黃金矩形(2 .如圖，用長為 40cm的細鐵絲圍成一個矩形 ABCD (AB > AD ).299cm2,求 AB的長度；2(結(jié)果保留根號)101cm嗎？若能，求出 AB的長度，若不能，說明理由;AD

2、與AB之比等于黃金比 晶 -1),求該矩形的面積.223. 定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC =BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點. 如圖 2, ABC 中，AB=AC=2，/ A=36 ° BD 平分/ ABC 交 AC 于點 D.(1) 求證：點D是線段AC的黃金分割點；(2) 求出線段AD的長.4. 作一個等腰三角形，使得腰與底之比為黃金比.(1) 尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡；(2) 寫出你的作法；(3) 證明：腰與底之比為黃金比.5. ( 1)已知線段AB的長為2，P是AB的黃金分割點，求 AP的長;(2)求作線段AB的黃金分割點P,要求尺規(guī)作圖，且使 AP &

3、gt;PB .6如圖，線段AB的長度為1 .2(1)線段AB上的點C滿足系式AC2=BC?AB，求線段AC的長度；2(選做)(2)線段AC上的點D滿足關(guān)系式AD =CD?AC,求線段AD的長度;(選做)(3)線段AD上的點E滿足關(guān)系式AE =DE?AD，求線段AE的長度； 上面各題的結(jié)果反映了什么規(guī)律？(提示：在每一小題中設(shè)x和I)恵1AE DCB7.如圖，在 ABC中，AB=AC，/ A=36 ° / 1 = / 2,請問點D是不是線段 AC的黃金分割點.請說明理由.&在厶ABC中，AB=AC=2 , BC=J - 1，/ A=36 ° BD平分/ ABC，交于

4、AC于D .試說明點 D是線段AC的黃 金分割點.9. 在數(shù)學上稱長與寬之比為黃金分割比的矩形為黃金矩形,如在矩形 ABCD中，當,：匕I .'件時，稱矩形ABCD2為黃金矩形ABCD .請你證明黃金矩形是由一個正方形和一個更小的黃金矩形構(gòu)成.10. 如圖，設(shè) AB是已知線段，在 AB上作正方形 ABCD ;取AD的中點E，連接EB;延長DA至F,使EF=EB ; 以線段AF為邊作正方形 AFGH .則點H是AB的黃金分割點.為什么說上述的方法作出的點H是這條線段的黃金分割點，你能說出其中的道理嗎？請試一試，說一說.11. 如圖，已知 ABC 中，D 是 AC 邊上一點，/ A=36

5、° / C=72 ° / ADB=108 ° 求證:(1) AD=BD=BC ;(2) 點D是線段AC的黃金分割點.2cri12已知AB=2，點C是AB的黃金分割線，點D在AB上，且AD =BD?AB，求的值.13. 如果一個矩形 ABCD (AB v BC)中，* _ '-0.618，那么這個矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感. 在BC 2黃金矩形ABCD內(nèi)作正方形 CDEF，得到一個小矩形 ABFE (如圖)，請問矩形ABFE是否是黃金矩形？請說明你 的結(jié)論的正確性.14. 五角星是我們常見的圖形，如圖所示，其中，點C, D分別是線段AB的黃金分割點

6、，AB=20cm，求EC+CD的長.B15人的肚臍是人的身高的黃金分割點，一般來講，當肚臍到腳底的長度與身高的比為0.618時，是比較好看的黃金身段.一個身高1.70m的人，他的肚臍到腳底的長度為多少時才是黃金身段(保留兩位小數(shù))？16. 如圖所示，以長為 2的定線段AB為邊作正方形 ABCD，取AB的中點P,連接PD，在BA的延長線上取點 F, 使PF=PD，以AF為邊作正方形 AMEF，點M在AD上.(1) 求AM , DM的長；(2) 點M是AD的黃金分割點嗎？為什么？17. 如圖，點P是線段AB的黃金分割點，且 AP > BP,設(shè)以AP為邊長的正方形面積為 S1,以PB為寬和以A

7、B為 長的矩形面積為 S2，試比較Si與S2的大小.SfPJr - 118. 如圖，在平行四邊形 ABCD中，E為邊AD延長線上的一點，且 D為AE的黃金分割點，即.二，BE交DC于點F,已知；二U,求CF的長.Vs-119圖1是一張寬與長之比為'一， 一的矩形紙片，我們稱這樣的矩形為黃金矩形同學們都知道按圖2所示的折疊方法進行折疊，折疊后再展開，可以得到一個正方形ABEF和一個矩形 EFDC，那么EFDC這個矩形還是黃金矩形嗎？若是，請根據(jù)圖 2證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.AP RP20.（如圖1）,點P將線段AB分成一條較小線段 AP和一條較大線段 BP,如果拆說，那么稱點P

8、為線段AB的BP AB黃金分割點，設(shè)聖型=k，則k就是黃金比，并且 k -0.618.BP AB(1) 以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰 APB (如圖2),等腰 APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足-0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義：；腰底+腰(2) 如圖1,設(shè)AB=1，請你說明為什么 k約為0.618;(3) 由線段的黃金分割點聯(lián)想到圖形的黃金分割線”，類似地給出 黃金分割線”的定義：直線I將一個面積為S的s s圖形分成面積為 S1和面積為S2的兩部分(設(shè)S1V S2),如果二，那么稱直線I為該圖形的黃金分割線.(如圖s2 S3),點P是線段

9、AB的黃金分割點，那么直線 CP是厶ABC的黃金分割線嗎？請說明理由;(4) 圖3中的 ABC的黃金分割線有幾條？21 在人體軀干(腳底到肚臍的長度)與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即比例越接近0.618，越給人以美感張女士原來腳底到肚臍的長度與身高的比為0.60，她的身高為1.60m，她應該選擇多高的高跟鞋穿上看起來更美？(精確到十分位)22. 已知線段AB，按照如下的方法作圖：以 AB為邊作正方形 ABCD，取AD的中點E，連接EB，延長DA到F，AFGH，那么點H是線段AB的黃金分割點嗎？請說明理由.23. 如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片 ABCD，先折出BC的中點E

10、，再折出線段AE，然后通過折疊 使EB落到線段EA上，折出點B的新位置B',因而EB'=EB .類似地，在 AB上折出點B使AB =AB 這時B 就是AB的黃金分割點.請你證明這個結(jié)論.24. 如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張邊長為 2的正方形紙片 ABCD，先折出BC的中點E,再折出線段 AE ,然 后通過折疊使 EB落在線段EA上，折出點B的新位置F,因而EF=EB .類似的，在AB上折出點M使AM=AF .則若是請你證明，若不是請說明理由.25. 如圖，在 ABC 中，點 D 在邊 AB 上，且 DB=DC=AC，已知/ ACE=108 ° BC=2 .（1）求

11、/ B的度數(shù)；（2） 我們把有一個內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形.它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金比2 寫出圖中所有的黃金三角形，選一個說明理由; 求AD的長； 在直線AB或BC上是否存在點P （點A、B除外），使 PDC是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點P,簡說明理由.Vs -126寬與長的比是的矩形叫黃金矩形心理測試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感現(xiàn)將小波同學在數(shù)學活動課中，折疊黃金矩形的方法歸納如下（如圖所示）：第一步：作一個正方形 ABCD ;第二步：分別取 AD , BC的中點M , N，連接MN ;第三步：以N為圓心

12、，ND長為半徑畫弧，交 BC的延長線于E;第四步：過E作EF丄AD，交AD的延長線于F.27.在 ABC中，AB=AC，/ A=36 °把像這樣的三角形叫做黃金三角形.(1) 請你設(shè)計三種不同的分法，將黃金三角形ABC分割成三個等腰三角形，使得分割成的三角形中含有兩個黃金三角形(畫圖工具不限，要求畫出分割線段；標出能夠說明不同分法所得三角形的內(nèi)角度數(shù)，不要求寫畫法，不要 求證明.分別畫在圖 1，圖2，圖3中)注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認為是兩種不同的分法.(2) 如圖4中，BF平分/ ABC交AC于F,取AB的中點E,連接 EF并延長交 BC的延長線于 M .試判斷C

13、M 與AB之間的數(shù)量關(guān)系？只需說明結(jié)果，不用證明.答：CM與AB之間的數(shù)量關(guān)系是 .28 折紙與證明 用紙折出黃金分割點：第一步：如圖(1),先將一張正方形紙片 ABCD對折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE的對角線BF . 第二步：如圖(2),將AB邊折到BF上，得到折痕 BG ,試說明點G為線段AD的黃金分割點(AG > GD )29.三角形中，頂角等于 36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在 ABC中，已知：AB=AC，且/ A=36 °(1) 在圖1中，用尺規(guī)作 AB的垂直平分線交 AC于D，并連接BD (保留作圖痕跡，不寫作法);(2) BCD是不

14、是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；(3) 設(shè)二-.-，試求k的值；（4）如圖2,在厶AiBiCi中，已知AiBi=AiCi,/ Ai=108°且AiBi=AB，請直接寫出BC的值.30 .如圖1,點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點c為線段ab的黃金分割點某研究小組在進行黃金分割線”類似地給出 黃金分割線”的定義：直線I將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為g sS1,S2如果龍打那么稱直線1為該圖形的黃金分割線.課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到（1）研究小組猜想：在 ABC中，若點D為ab邊上的黃金分割點（如圖 2），則直線CD是厶ABC的黃金

15、分割 線.你認為對嗎？為什么？（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3） 研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交 AB于點E,再過點D作直線DF / CE，交AC于點F, 連接EF （如圖3）,則直線EF也是 ABC的黃金分割線.請你說明理由.（4） 如圖4,點E是平行四邊形 ABCD的邊AB的黃金分割點，過點 E作EF / AD，交DC于點F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線請你畫一條平行四邊形abcd的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形abcd黃金分割專項練習30題參考答案：1. (1)證明：T AB=AC=1 ,/ ABC= / C=1 (180

16、°-/ A ) =1 (180 °- 36 ° =72 °2 2 BD平分/ ABC交AC于點D,/ ABD= / CBD= _ / ABC=36 ° °2/ BDC=180。- 36°- 72°72 ° DA=DB , BD=BC, AD=BD=BC ,易得 BDCABC ,2 BC : AC=CD : BC，即 BC2=CD?AC ,2- AD =CD ?AC ,點D是線段AC的黃金分割點；(2)設(shè) AD=x，貝U CD=AC - AD=1 - x,2T AD =CD ?AC, X2=1 - x，解得

17、 X1=- , X2=r即AD的長為丄丄二22. 解：(1)設(shè) AB=xcm，貝U AD= (20 - x) cm,根據(jù)題意得x (20 - x) =99 ,2整理得 x - 20x+99=0 ,解得 X1=9, x2=11,當 x=9 時，20 - x=11 ;當 x=11 時，20- 1仁9,而 AB > AD,所以x=11，即AB的長為11cm;(2) 不能.理由如下：設(shè) AB=xcm，貝V AD= (20 - x) cm,根據(jù)題意得x (20 - x) =101 ,2整理得 x - 20x+101=0 ,因為 =202 - 4X101=- 4V 0,所以方程沒有實數(shù)解，2所以這個

18、矩形的面積可能等于101cm2;(3) 設(shè) AB=xcm，則 AD= (20 - x) cm,根據(jù)題意得 20 - x=-x,2解得 x=10 (吋. - 1),則 20 - x=10 ( 3 -_),cm2.所以矩形的面積=10 (匸-1) ?10 (3-二)=(400匸-800)3. 解：(1)t/ A=36 ° AB=AC ,/ ABC= / ACB=72 °/ BD 平分/ ABC ,/ CBD= / ABD=36 ° / BDC=72 ° AD=BD , BC=BD, ABC BDC , BD= CD 即 AD = CD二：，.，廠訂i，2-

19、AD =AC?CD .點D是線段AC的黃金分割點.(2)v點D是線段AC的黃金分割點, AD=AC , / AC=2 , - AD= -廠 14. 解：(1)腰與底之比為黃金比為黃金比如圖，(2) 作法：畫線段AB作為三角形底邊； 取AB的一半作 AB的垂線 AC ,連接BC ,在BC上取CD=CA . 分別以A點和B點為圓心、以BD為半徑劃弧，交點為 E; 分別連接EA、EB ,則厶ABE即是所求的三角形._(3) 證明：設(shè) AB=2，貝U AC=1 , BC= AE=BE=BD=BC - CD= 1, =.C節(jié)5 .解：(1)由于P為線段AB=2的黃金分割點,則 AP=2 X=、： =-

20、1 ,2 _或 AP=2 (事5- 1) =3 -;(2)如圖，點P是線段AB的一個黃金分割點.6 .解：(1)設(shè) AC=x，貝U BC=AB - AC=1 - x,2T AC =BC?AB,- x =1 X ( 1- x), 整理得x2+x -仁0,解得 x1=£ , x2= (舍去)，所以線段AC的長度為丄(2) 設(shè)線段AD的長度為x, AC=I ,2T AD =CD ?AC,x2=| x (l - x), xj 化,X2=(舍去)，2 2線段AD的長度'' 'AC ;2(3) 同理得到線段 AE的長度廠_ I AD ;2上面各題的結(jié)果反映：若線段AB分成

21、兩條線段 AC和BC (AC > BC),且使AC是AB和BC的比例中項(即AB :AC=AC : BC),則C點為AB的黃金分割點7.解：D是AC的黃金分割點.理由如下：在 ABC 中，AB=AC，/ A=36 ° °1 Qpi* 一 PR*/ ABC= / ACB=:=72 °2/ 1 = / 2,/ 1 = / 2=-/ ABC=36 °2在厶 BDC 中，/ BDC=180 °-Z 2 -/ C=72 °/ C=Z BDC , BC=BD ./ A= / 1 , AD=BC ./ ABC 和 BDC 中，/ 2= / A

22、，/ C= / C, ABC BDC ,:'J，又 AB=AC , AD=BC=BD ,I，2- AD =AC ?CD ,即D是AC的黃金分割點& 證明： AB=AC , / A=36 ° / ABC=2 (180°- 36° =72°2/ BD平分/ ABC，交于 AC于D,/ DBC= XZ ABC= X72°=36 °2 2 Z A= Z DBC ,又/ C=Z C, BCDABC , BC CD/ AB=AC ,二 |-|:-:,/ AB=AC=2 , BC= .X - 1,(，- 1) 2=2 X (2- A

23、D ),解得AD= ',AD : AC=(品 - 1) : 2 .點D是線段AC的黃金分割點.9. 證明：在 AB上截取 AE=BC , DF=BC，連接EF./ AE=BC , DF=BC , AE=DF=BC=AD ,又/ ADF=90 °四邊形AEFD是正方形.i+Vb Vs -1BE=圧一壬 弐E匚|'.:2 2 ” 1 -: .矩形BCFE的寬與長的比是黃金分割比，矩形BCFE是黃金矩形.黃金矩形是由一個正方形和一個更小的黃金矩形構(gòu)成.DF CIVh1>I1<IAEB10. 解：設(shè)正方形 ABCD的邊長為2 ,在Rt AEB中，依題意，得 AE=

24、1 , AB=2 ,由勾股定理知EB= _ 一葉=.丨I =, AH=AF=EF - AE=EB - AE= _- 1 ,HB=AB - AH=3 - AH2= (HI) j=6 2 ",AB?HB=2 X ( 3 -") =6 - 2",2 AH =AB ?HB ,所以點H是線段AB的黃金分割點.11. 證明：(1)vZ A=36 ° / C=72 ° / ABC=180 ° - 36°- 72 °=72 °/ ADB=108 ° / ABD=180 ° - 36°- 10

25、8°=36° ADB是等腰三角形，/ BDC=180 °-Z ADC=180 °- 108°72° BDC是等腰三角形， AD=BD=BC .(2) vZ DBC= / A=36 ° / C= / C, ABC BDC , BC : AC=CD : BC ,2- BC =AC ?DC ,/ BC=AD ,2- AD =AC ?DC ,點D是線段AC的黃金分割點.212 .解：T D 在 AB 上，且 AD =BD ?AB ,點D是AB的黃金分割點而點C是AB的黃金分割點， AC=一AB= 二-1, AD=AB -一AB=J

26、AB=3 - =或 AD=：療-1 , AC=3 - 二,2 2 2 CD= :- 1-( 3 - 7) =2 ： - 4, 乙:或 1= _ ”'13.解：矩形 ABFE是黃金矩形./ AD=BC , DE=AB ,.胚_M-DE 二BC-AB 二EC _ .2_衛(wèi)十 1 -出+ _ 2屈、打：'-' h '-:. 矩形ABFE是黃金矩形.14 .解：T D為AB的黃金分割點(AD > BD ), AD=AB=10 ，- 10,2/ EC+CD=AC+CD=AD , EC+CD= (10血-10) cm .15. 解：設(shè)他的肚臍到腳底的長度為xm時才是黃

27、金身段,根據(jù)題意得x: 1.70=0.618 ,即 x=1.70 X0.618羽.1 (m).答：他的肚臍到腳底的長度為1.1m時才是黃金身段.16. 解：(1)在 Rt APD 中，AP=1 , AD=2，由勾股定理知 PD=-一一“二二=.丨丨丄 ", AM=AF=PF - AP=PD - AP= _- 1 , DM=AD - AM=3 護.故AM的長為 - 1 , DM的長為3-"(2)點M是AD的黃金分割點.由于=,AD 2點M是AD的黃金分割點.17 .解：點P是線段AB的黃金分割點，且 AP > BP,2 AP =BP 很B ,2又 T ®=AP

28、 , S2=PB 很B , Si=S2.18解：四邊形 ABCD為平行四邊形,/ CBF= / AEB，/ BCF= / BAE , BCFs EAB , 即口匾 _CF亍芯， AE = AB，把 AD= AB=匸+1 代入得，2 2解得：CF=2.故答案為：2.19 .解：矩形EFDC是黃金矩形， 證明：四邊形 ABEF是正方形， AB=DC=AF ,又| 一 1 - ,AD 2即點F是線段AD的黃金分割點. 7D 丁 衛(wèi)- 1 -DC 2矩形CDFE是黃金矩形.CF-，20.解：(1)滿足的矩形是黃金矩形;(2)由二=k 得,BP=1 *=k,從而 AP=1 - k, AB由. 得，bp2

29、=ap >ab ,BP AB2即 k =( 1 - k) X1,-1 ± a/5解得k=,2/ k>0, k=(3)因為點P是線段AB的黃金分割點，所以設(shè)厶ABC的AB上的高為h,貝UAP BPBPABWc 制Xh 肛 Sabpc 刼P*h BP £bpc lBPXh BP' SAABC 號ABXh 曲.:_, ；r. _ 一L'EPC AAEC直線CP是厶ABC的黃金分割線.(4) 由(2)知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點 Q,則AQ也是黃金分割線，設(shè) AQ與CP交于點W，則過 點W的直線均是 ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無數(shù)條.21

30、解：根據(jù)已知條件得下半身長是160>0.6=96cm ,設(shè)選擇的高跟鞋的高度是 xcm，則根據(jù)黃金分割的定義得:96+x16Q+葢=0.618,解得：x£.5cm.故她應該選擇7.5cm左右的高跟鞋穿上看起來更美.22. 解：設(shè)正方形 ABCD的邊長為2a, 在 Rt AEB 中，依題意，得 AE=a , AB=2a , 由勾股定理知 EB= _ .（'=匸a, AH=AF=EF - AE=EB - AE=（匸-1） a,HB=AB - AH= （3 - J a； ah2=（ 6 -2 _）_a2,_AB?HB=2a x（ 3- J a= （6 - 2 J a2,2 A

31、H =AB ?HB ,所以點H是線段AB的黃金分割點.23. 證明：設(shè)正方形 ABCD的邊長為2, E為BC的中點， BE=1 AE= -：;= ",又 B'E=BE=1 , AB =AE - B'E= ；=- 1, AB ； I |點B 是線段AB的黃金分割點.DCAB'r B24. 證明：正方形 ABCD的邊長為2, E為BC的中點, BE=1二人£=匚二廿二=，/ EF=BE=1 , AF=AE - EF= 匸-1 , AM=AF= :- 1 , AM : AB=(為-1) : 2,點M是線段AB的黃金分割點.25. 解：(1)v BD=DC=

32、AC . 則/ B= / DCB，/ CDA= / A .設(shè)/ B=x，則/ DCB=x，/ CDA= / A=2x .又/ BOC=108 ° / B+ / A=108 ° x+2x=108 , x=36 ° / B=36 °(2)有三個： BDC , ADC , BAC ./ DB=DC，/ B=36 ° DBC是黃金三角形，(或 CD=CA，/ ACD=180 °-Z CDA -/ A=36 CDA是黃金三角形.或/ ACE=108 ° / ACB=72 ° 又/ A=2x=72 °, / A= /

33、 ACB . BA=BC . BAC是黃金三角形. BAC是黃金三角形，上:：憑:，- .，/ BC=2 , AC=匸-1. _/ BA=BC=2 , BD=AC= ，- 1 , AD=BA - BD=2 -( U- 1) =3- 匸，存在，有三個符合條件的點 P1、i）以CD為底邊的黃金三角形：作P2、P3.CD的垂直平分線分別交直線C為圓心，CD為半徑作弧與AB、BC 得到點 PP2.BC的交點為點 P3.ii）以CD為腰的黃金三角形：以點26 .證明：在正方形 ABCD中，取 AB=2a , N為BC的中點， NC= BC=a.2在 Rt DNC 中，：'二-二：_.又 NE=ND , CE=NE - NC= ( = - 1) a. .【-J lE -CD， 2a _2'故矩形DCEF為黃金矩形.27解:(1)(2) CM=AB (4 分)28. 證明：如圖，連接GF，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則DF=.在 Rt BCF2即點G是AD的黃金分割點(AG >GD).則 AHF - BA'= .- 1 .設(shè) AG=A 'G=x，貝U GD