1、初中數學常見輔助線的添加方法中考數學復習專題幾何論證題中輔助線的添加方法D如圖：等腰梯形ADBC中AB#CD,底角乙ABC=45°T、對角線AC、BD交于點O,且NBOC=120。°先一線的值分析：在已知條件中，底角/ABC=45。，有的同學想到延長兩腰，出現一 個等腰直角三角形。而在本題中這樣添輔助線，反而增加解題困難，因為 NBOC=120。的條件不能很好的運用。故本題添輔助線時，應考慮過上底頂點 D （或A）作對角線的平行線，把梯形問題轉化為平行四邊形及頂角為120。的 等腰三角形問題，而解等腰三角形時，常添的輔助線是作底上的高，這樣不難 求要的比值。oC證明：過D點

2、作DFAC交BC的延長線于F,作DE_LBC于EADBCAD=CF ACDF =平彳亍四邊晞bOn AC=DF A 等腰梯形 abcd=> db=ac =>bd=df'AC DF => 乙 B DF=乙 BOC= 120°DE±BF/BDE=60。n |BE=EFZBED=90°DEIBCDE=rCE = a運用線段中垂線性質，但證明此題這樣的添線與其它已知條件的應用沒有多大關系，這種添線不能解答本題，而圖中出現“母子三角形使我們想到能否運 用三角形相似及線段成比例來解本題口而要證CM_LAD,從圖中觀察到如能證得乙1 = 4A,那么CM

3、_LAD即可成立；而乙A除了在RtZAON中，它還在AOD中，若把乙1也放到與AAOD相似的三角形中，結論就可成立。因此構筑 一個與AAOD相似的三角形是本題解答的關鍵,而已知條件M是OD的中點,想到增添中點（或添平行線）的方法，故取OC的中點為G,想法證明AAOD s ACGMO通過基本圖形分析，發現乙2二乙3,故乙AOD=4CGM。因此 證：條嘉是本題又一關鍵。證明：取OC的中點為G,連GM,PQ是AB的中垂線，/. Z.BOC=90°i§ OA=OB=a, OD=b . OD_LBC,/. CDO=Z.ODB=90° 44+乙3=90°,43+乙B

4、=90° .乙 4=乙 B, ACODAOBD.OC OB af. = _ttt = G、M 為。C、OD 的中點.CD OD b OC=2CG, CD=2GM. "? =絲=州=" AOD-'ACGM.2GM OD b OD 乙 1 二乙A. ZA+ZANO=90°/. Zl + rCNH=90°即乙 NHC=90°, CM ± AD.例3 ：如圖：正方形ABCD中，E、F分別AB、BC的中點，AF和DE交于點P求證：CP=CD圖（1）圖分析：要證明CP=CD,因為CP、CD在同一三角形中，一般三種思路可證： 思路

5、（1）:只要證對角相等,即證41 二42。如圖（1）分別尋找乙1、42的 等量，ABCD 是正方形，.ABaCD, A2=ZAEP, Zl=,延長 CP 交 AB 于 G, /.Z1 = ZEPGO要證乙1、42只要證乙AEP二EPG,由已知可知，E、F為 AB、BC的中點可證：ZXAED經ABFA,可得AF_LDE, P為垂足。假設乙 AEP=ZEPG, G可能為AE的中點，因此證PG為AE的中線是本思路證題的美AF 1 PF鍵。本題出現“母子”三角形基本圖形故不難，推得上=± =之，設PE為a, AD 2 PAPA為2a, PD為4a,因為AECD,可推得PE:PD=EG:CD=

6、1:4。由此可證得G為AE的中點，PG是AE的中線，GAEP=4EPG成立。從分析的過程中得到 思路（2） t - = = - = I,： PG = -AE= -ABy:. AB=PC = CD-S-LJ- PD CD PC 424思路（3）:要證CP=CD,只要證：C在線段PD的中垂線上，取AD的中點連CH、PH,證：四邊形AFCH為平行四邊形，由思路（1）可知，AF1DE, 故CH_LDE,再證：CH平分PD,通過RtZk APO易證CH平分PD。證明方法（1）： E、F 為 AB、BC 的中點，ABCD 是正方形，/. AB=AD, ZB=ZDAE, BF=AE ADE妾 BAF, /.

7、 A ADE= Z EAP .乙 EAP+ 乙 DAP=90°,.乙 ADE+ Z DAP=90（ /.乙 APD=乙 APE=90°fAE 而一. ZADE=ZEAP, AAPEADPA,PF生=上設PE為4AP 2, . AP = 2， AP2 = PE PD,：. PD = 4a, ABCDEG PE 1AE t= ,= 1:2,CD PD 4 AB .G為AE的中點,PG=EG vZGEP=ZGPE, v ZGPE=Zlf ZGEP=Z24 1 = Z.2, CP=CD證明方法（2）（如圖2）：取AD的中點為H,連CH、PH.ABCD是正方形，.BCAD, BC=A

8、D, F、H為BC、AD的中點,AFCH為平行四邊形.，CHAF,由證明方法(1)可知 APJ_DE, »CH±P.在RtAPO中l PH為斜邊中線，PH = -AD = DH ,.CH 垂直平分 PD, /.CP=CD. 2例4 ：。0|與OO2相交于點A, P是OQ2的中點(1)如圖(1)如果AC切OCh于點A,交G)Ch于點C, D是AC的中點求證：PA=PD條割線交。Oi于點C,交于點B(2)如圖(2)如果過點A作兩圓的點D是BC的中點，那么PA與PD是否相等如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由。圖(1)圖(2)分析(1):由已知可知，P為OQ2的中 點，D

9、為AC的中點，AC切于。02于點A。想到常用輔助線，連OQ、O2A, 由 OQ_LAC, O2A±AC,得 O|DC)2A,作 PG 02A 可證得 G 為 AD 中點， PG垂直平分AD,可證得PA二PD分析(2):通過觀察發現PA=PD,理由是什么由已知條件，分別作OF，AC, PH1BC, O2F±AB, P為OQ2的中點，所以H為EF中點，要證：PD=PA,只要證：DH二AH,現在只要訐 DE二AF,因為 DE=CDCE, AF=EFAE,因為CE二AE,所以證CD=EF是本題的關鍵，而CO=BC,所以只要2證石尸= J_8C即可。2證明：在圖中連OQ、O2A,作P

10、GO2A. D 為 AC 中點， /.OiDlAC.,AC切于。O2于點A,.O2A±AC.O2A#OiD/7pg.,.p為0Q2的中點， .G為AD的中點，且PG_LAD./. PA=PD.證明(2):作 OiE_LBC 于 E, PHJ_BC 于 H,(hF_LBC 于 F,.-.O1E#PH#O2. p為OQ2的中點， .H為EF的中點，E為AC的中點，F為AB的中點. / EF = AE+AF = -AC + -AB = -(AC+AB) = -BC,2222/ CD = -BC, 2CD=EF, AF=EFAE, DE=CDCE.AF=DE.EH二PH,.DH=AH, PH±AD.PA=PD.從以上四例中，你是否有所收益，拿到幾何題以后，應認真分析已知條件 找出證題中有