1、一元二次方程的公共根與整數根內容基本要求略高要求較高要求一元二次方程r解一元二次方程的概 念，會將一元二次方程化 為一般形式，并指出各項 系數：r解一元二次方程 的根的意義能由一元二次方程的概念確定二次項系數中所 含字母的取值范圍：會由方程的根求方程中待 定系數的值一元二次方程的解法理解配方法，會用直接開 平方法、配方法、公式法、 因式分解法解簡玳的數字 系數的一元二次方程，理 解各種解法的依據能選擇恰當的方法解一元二次方程：會用方程 的根的判別式判別方程根的情況能利用根的判別式說明含有字母系 數的一元二次方程根的情況及由方 程根的情況確定方程中待定系數的 取值范圍：會用配方法對代數式做 簡單

2、的變形：會應用一元二次方程 解決簡單的實際問題公共根問題：二次方程的公共根問題的一般解法：設公共根，代入原方程(兩個或以上)，然后通過恒等變形求出參數的值 和公共根.整數根問題：對于一元二次方程冷，+法+ c = 0 3工0)的實根情況，可以用判別式=從-4比來判別，但是對于一個含參 數的一元二次方程來說，要判斷它是否有整數根或有理根，那么就沒有統一的方法了，只能具體問題具體分 析求解，當然，經常要用到一些整除性的性質.方程有整數根的條件：如果一元二次方程小？+云+ c = 0 (=0)有整數根，那么必然同時滿足以下條件：(1) -4改為完全平方數;(2) -b + J/ - 4ac = 2a

3、k 或-b- Jb? -= 2ak ,其中太為整數.以上兩個條件必須同時滿足，缺一不可.另外，如果只滿足判別式為完全平方數，則只能保證方程有有理根(其中、c均為有理數)方程的根的取值范圍問題：先使用因式分解法或求根公式法求出兩根，然后根據題中根的取值范圍來確定參數的范圍.【例1】求女的值，使得一元二次方程/+京-1=0，/+工+伏一2) = 0有相同的根，并求兩個方程的根.【例2】1.設，。為A48C的三邊，且二次三項式/+加二+ 2與丁+2cl/-有一次公因式，證明:AA8C一定是直角三角形.（北京數學競賽試題）2.三個二次方程 cix1 +bx + c = O bx1 + ex + a =

4、 0， cv? + or + = 0 有公共根.（1）求證：a+b + c = O；（2）求+'的值.abc【例3】試求滿足方程月-h-7 = 0與/-6工-伏+ 1） = 0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相異 根.例4三個二次方程+ c = 0，bx2 +cx + a = O ex2 + ov + = 0有公共根. 3 . >3 , 3(1)求證：a + h + c = O, (2)>R-一-一匚的值.abc【例5】【例6】二次項系數不相等的兩個二次方程（。-1）/一（1 +2» + （2 +2） = 0和（-1）/-（從+2口 + （從+2） = 0（

5、其中% 為正整數）有一個公共根，求+"的值.crb + ir為什么實數時，關于x的方程（6- k）（9-幻V -（117-15k）x + 54 = 0的解都是整數?【鞏固】若關于人的方程（6-）（9-燈/-。17-154卜+ 54 = 0的解都是整數，則符合條件的整數k的值有 個.【例7】（2007年全國初中數學聯合競賽）1 .已知。是正整數，如果關于工的方程X3 + （a + 17）x2 + （38 -心-56 = 0的根都是整數，求。的值及方程的整數根.2 .若一為正整數,且關于一的方程也2-1*-6（32-1求+ 72 = 0有兩個相異正整數根,求女的值. （2000年全國聯賽

6、試題）3 .關于，的二次方程（公-64+ 8）1 +（。-61）%+美=4的兩根都是整數.求滿足條件的所有實數k的值.4 .當m為何整數時，方程2x2 5mx + 2m2 = 5有整數解.5 .已知關于x的方程4%28心一3 = 2和/一5 + 3）% 2/+2 = 0,是否存在這樣的值,使第一 個方程的兩個實數根的差的平方等于第二個方程的一整數根？若存在，請求出這樣的值：若不存 在，請說明理由.【例8】求所有有理數廠，使得方程療2+。+ 1口 +。-1） = 0的所有根是整數.【例9】1 .已知關于x的方程+（“-6口 +。=0的兩根都是整數，求。的值.2,已知女為常數，關于工的一元二次方程

7、（公一2口/+（4-6V+ 8 = 0的解都是整數，求A的值.【例11己知為質數，二次方程-2川+2-5-1 = 0的兩根都是整數，請求出的所有可能的值.【例12】（20072008清華附中初三第一次月考試題）1.已知12<,<40,且關于人的二次方程 x2 - 2（m + 1）A- + m2 =0有兩個整數根，求整數？.2.若一直角三角形兩直角邊的長，。、力（“工）均為整數，且滿足a + = ？ + 2ah = 4m *試求這個直角三角形的三邊長.【例13】關于x的方程.2+2（-3口 + （-2） = 0至少有一個整數解，且。是整數，求。的值.【鞏固】已知方程 -（獷一8卜+

8、2“2 -1% + 15 = 0 （。是非負整數）至少有一個整數根，那么【例14】（2008年西城區初三抽樣試題）當，是什么整數時，關于x的一元二次方程加/-4x + 4 = 0與 x2 -4nix + 4/?r -4?一5 = 0的根都是整數.【例15（20072008清華附中初三第一次月考試題）己知12cm40 ,且關于x的二次方程 x2-2（m + l）x + m2 =0有兩個整數根,求整數？.【鞏固】設機為整數，且4帆40,方程2（27-3» + 4-14/ + 8 = 0有兩個整數根，求7的值及方 程的根.【例16】當初為何整數時，方程2/一5n+ 2病=5有整數解.【例1

9、7已知方程* -（獷-8“卜+ 2/ 一1% + 15 = 0 （。是非負整數）至少有一個整數根，那么【例18若關于%的方程（6-4）（9Y-（u7T5A）x + 54 = 0的解都是整數，則符合條件的整數2的值有個.【例19】設方程以2-(?-2口 + (m-3) = 0有整數解，試確定整數7的值，并求出這時方程所有的整數解.【例20】設機為整數，且4v?<40,方程2(2，-3» + 4/-147 + 8 = 0有兩個整數根，求7的值及方 程的根.【例21】已知。是正整數，且使得關于五的一元二次方程。/+2(-1» + 4(“-3) = 0至少有一個整數根, 求。

10、的值.已知關于X的方程a2T-(3,J-8a)x + 2/-13a + 15 = O (其中。是非負整數)至少有一個整數根, 求。的值.【例22】(1999年全國聯賽試題)已知人c為整數,方程5/+以+。= 0的兩根都大于-1且小于0,求和c 的值.【例23(2007年“數學周報”杯全國數學競賽試題)1.已知。，都是正整數，試問關于x的方程V-求+ ,(“ +與=0是否有兩個整數解？如果有，請求出來：如果沒有，請給出證明. 2(1993年全國數學聯賽試題)2.已知方程胃+隊+。= 0及/+u + 0 = 0分別各有兩個整數根引，及 X，尺，且 xxx2 > 0 ,小；> 0 .(1

11、)求證：為<0,占<°，X <0，a,2 < 0 ；(2)求證:-KcW + l：求乩c所有可能的值.3 .設、夕是兩個奇整數，試證方程/+2/»+29 = 0不可能有有理根.(北京市數學競賽)4.試證不論是什么整數，方程丁-16必+ 7=0沒有整數解，方程中的s是任何 正的奇數.【例24】求方程+2/ +k+4 = 0的所有整數解.【例25】1.已知。為整數，關于乂)，的方程組+二"+ 2)*的所有解均為整數解，求。的值.用? = (a- +1口-2/ +24 .求方程,“一、=的所有正整數解.r-aj +尸 75 .求所有的整數對(x,

12、 y),使/一丁)，+沖2 -),=4x2 - Axy + 4y2 + 47 .【例26設相是不為零的整數，關于克的二次方程以/-(,-1卜+ 1 = 0有有理根，求加的值.【例27】(2008年西城區初三抽樣試題)當加是什么整數時，關于x的一元二次方程加-4% + 4 = 0與 x2 -4ntx + 4m2 -4?一5 = 0的根都是整數.【例28(2007年全國聯賽試題)是正整數，關于x的方程/+( + 17)/+(38-4-56 = 0的根都是整數, 求。的值及方程的整數根.【例29】（2004年“信利杯”全國初中數學競賽）已知a, 是實數，關于的方程組）, = ./ 一"-

13、一心有整數解（工）,），求心滿足的關系式. y = ax+ b【例30（2002年上海市初中數學競賽）已知為質數，使二次方程丁-2/* + 2-5-1 = 0的兩根都是整數, 求出所有可能的的值.【例31】（2000年全國聯賽）設關于x的二次方程（公-6女+ 8）丁 +（2代-6k-4）x +=4的兩根都是整數，求 滿足條件的所有實數k的值.【例32為何值時，方程x2-6-2 = 0和= 0有相同的整數根？并且求出它們的整數根?【例33】（2000年全國競賽題汜知關于x的方程（-1）/+2.。-1=0的根都是整數，那么符合條件的整數。有 個.【例34】（1998年全國競賽題）求所有正實數a,使

14、得方程/-,戊+ 4“=0僅有整數根.【例35】（1996年全國聯賽）方程（x-aXx_8）7 = 0有兩個整數根,求a的值.【例36（2000年全國聯賽C卷）求所有的正整數“，,使得關于克的方程x2 -+ 2Z? = 0,x2 - 3bx + 2c = 0,x2 -3cx + 2n = 0 的所有的根都是正整數.【例37】（1993年安徽競賽題）n為正整數，方程/ -（6 + 1）尤+ 6-6 = 0有一個整數根，則 =【例38（第三屆祖沖之杯競賽題）求出所有正整數，使方程點+2（2-1» + 4（。-3） = 0至少有一個整 數根.【例39（第三屆祖沖之杯競賽題）已知方程（”2-l*-2（5a + l）x + 24 = 0有兩個不等的負整數根,則整 數4的值是.【例40】不解方程，證明方程丁-1997工+1997=0無整數根【例41】（1999年江蘇第14屆競賽題）已知方程丁-19998+ = 0有兩個質數根，則常數 =【例42】（1996年四川競賽題）已知方程必-7 + 1 = 0有兩個不相等的正整數根，求m的值.【例43（1994年福州競賽題）當m是什么整數時，關于x的方程/-（,-1» +m+ 1 = 0的兩根都是整數?【例44】設方程，心2-（?-2口 + -3） = 0有整數解，試確定整數7的值，并求出這時