1、東華理工大學項目內容滿分實 評選題能結合所學課程知識、有一定的能力訓練。符合選題要求（3人一題）5工作量適中，難易度合理10能力水平能熟練應用所學知識，有一定查閱文獻及運用文獻資料能力10理論依據充分，數據準確，公式推導正確10能應用計算機軟件進行編程、資料搜集錄入、加工、排版、制圖等10能體現創造性思維，或有獨特見解15成果質量模型正確、合理，各項技術指標符合要求。15摘要敘述簡練完整，假設合理、問題分析正確、數學用語準確、結論嚴謹合理；問題處理科學、條理分明、語言流暢、結構嚴謹、版面清晰15論文主要部分齊全、合理，符號統一、編號齊全。格式、繪圖、表格、插圖等規范準確，符合論文要求10字數不

2、少于2000字，不超過15000字5總 分100指導教師評語： 指導教師簽名： 年 月 日摘要目前，證券在我國得到了迅速健康的發展，并且為我國的經濟發展作出了很大貢獻。本文針對目前流行的各種不同的證券發行方案，建立線性規劃模型，得出最佳的證券組合投資方案。問題一中假設該經理有1000萬資金可以進行投資支配，在滿足題目給出的各限制范圍內，以最大收益為目標函數，建立三個線性規劃模型，分別為冒險模型、保守模型和一個折中模型，但是前兩個不符合題目給出的約束條件，綜合考慮，應選用折中模型，用Lingo求解得出了最大收益為29.83636萬元，各種證券的投資方案見表二。問題二中假設能以2.75%的利率借到

3、不超過100萬元資金，在相同的約束條件下，仍然建立線性規劃模型，采用Lingo求解，得出最大收益為 32.82000萬元，投資方案見表五。問題三中在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.5%，仍然建立線性規劃模型，通過Lingo解得最大收益相對問題一中增加了，為30.27273萬元，投資方案見表六；若證券C的稅前收益減少為4.8%，用同樣的方法求出最大收益相對問題一中減少了，為29.42400萬元，投資方案見表七。關鍵字：證券投資、線性規劃、Lingo求解軟件、投資風險問題重述證券投資目的:提高企業、個人閑置資金的使用效率,最大限度地實現投資效益,為其謀取更多的投資回報。收益和風

4、險是并存的，通常收益越高，風險越大。投資者只能在收益和風險之間加以權衡，即在風險相同的證券中選擇收益較高的，或在收益相同的證券中選擇風險較小的進行投資。為了實現證券投資的有效組合（降低風險和收益最大化），投資者要有正確的投資決策。某銀行經理計劃用一筆資金進行有價證券的投資，可供購進的證券以及其信用等級、到期年限、到期稅前收益如下表所示。表一證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益（%）A市政294.3B代辦機構2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5投資哪一種證券都是任意的，其中市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。另外還受到三個約束條件的限制：（

5、1）政府及代辦機構的證券總共至少要購進400萬元；（2）所購證券的平均信用等級不超過1.4（信用等級數字越小，信用程度越高）；（3）所購證券的平均到期年限不超過5年。選擇不同的證券組合投資，便會得到不同的收益。所以在投資時根據給出的已知條件進行決策，在不虧損的情況下，又要保證收益最大。問題：1、假如該經理有1000萬元資金，在給出的約束條件下，且各種證券的信用等級、到期年限、收益都不變，應如何選擇購進證券種類，才能使得收益最大？2、如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，在其他條件不變的情況下及問題1的基礎上，又怎樣支配資金投放？3、在有1000萬元資金情況下：（1）若證券A的稅前

6、收益增加為4.5%，其他證券稅前收益不改變的情況下，要使得收益最大，該經理如何投資？（2）若證券C的稅前收益減少為4.8%，其他證券稅前收益不改變的情況下，要使得收益最大，該經理又如何投資？模型假設1. 假設在有價證券到期前，該經理不會中斷投資。2. 假設在投資過程中，可供購買的各種證券的信用等級、到期年限、到期稅前收益固定不變，以及其納稅稅率不變。3. 假設借款利率在證券到期前沒有波動。4. 信用等級可以視為風險的一種情況。符號說明mi: 第i種證券的投資金額（i=15）；si: 第i種證券的到期稅前收益（%）（i=15）；xi: 第i種證券的信用等級（i=15）;yi： 第i種證券的到期年

7、限（i=15）；ti: 第i種證券需交納的稅率（%）（i=15）；Z： 證券到期時獲得的總收益；（證券A、B、C、D、E分別用編號）問題分析仔細考慮問題的要求和條件，這是一類考慮因素較簡單，算法要求較低的問題，具體表現在兩方面：一是考慮因素簡單。在進行證券投資決策時，只需考慮各種證券的信用等級、到期年限、到期稅前收益、納稅稅率，合理組合證券投資，來求出目標函數的最優解。二是算法要求較低。由于考慮因素較多，變量也多，明顯不方便用人工計算，但是可以將模型輸入相關軟件直接求解，算法較簡單。問題一中給出了總資金1000萬元，由于投資受到各種證券不同的信用等級、到期年限、到期稅前收益的影響，投資者需要合

8、理地進行投資。證券交易的最終目標是取得最大收益，但在進行證券交易時，也存在著較大的風險。為了更好地了解其中的風險，我們提供了三種方法，即折中法、冒險法和保守法。采用何種方法取決于決策者對待風險的態度。我們知道，一個投資項目的風險和其投資對象的信用等級有密切關系。首先，考慮所購證券的平均信用等級必須不超過1.4，所購證券的平均到期年限不超過5年，除此之外，還要在滿足其他約束條件的前提下，建立相應的模型解出最大收益，這是折中法。其次，在不考慮信用等級的影響下，其他約束條件不變，得出的最大收益，這是冒險法。最后，針對風險厭惡者，運用保守法建立風險最小的最大收益模型，即當所購證券的平均信用等級最小時，

9、其他約束條件不改變所得的線性模型。問題二中的解決方法與問題一相同，只是在本問題中能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，所以相當于可用資金增加了，這時在問題一的收益基礎上，還要償還投資期間所累積的利息。當增加的收益大于所要償還的利息時，則收益增加。問題三中在有1000萬元資金情況下，證券A的稅前收益變為4.5%，其他數據沒有改變，所用模型和解題思路與問題一相同。同樣的，當證券C的稅前收益減少為4.8%時，解題思路同上。基于以上分析，都是建立線性規劃模型，使用Lingo軟件運行結果。模型的建立與求解1 問題一的求解（1）該經理擁有1000萬資金用來本次投資，在以上的約束條件下求出最大收益

10、。在符合約束條件的情況下，投資方案有很多種，應該從中選出收益最大的方案。在這些證券種類當中，信用等級、到期年限、稅前收益不盡相同：x1x5對應證券AE的信用等級，y1y5對應證券AE的到期年限，s1s5對應證券AE的稅前收益，具體數據見表一。由已知條件可以建立折中模型：目標函數 max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;約束條件m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;(y1*m1

11、+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;用Lingo軟件進行求解可以得到m1=218.1818, m2=0, m3=736.3636, m4=0,m5=45.45455,總收益Z=29.83636。在以上結果中可以確定，在符合約束條件下，投資的最大收益為29.83636萬元，證券B和證券D的投資額都為零，證券C的投資額最大，為736.3636萬元，證券A為218.1818萬元，證券E為45.45455萬元。結果如圖

12、一和表二。圖一表二證券類型M1M2M3M4M5投資數量218.18180.000000736.36360.00000045.45455總收益29.83636由于證券B的到期年限太長，跟約束條件相比相差太遠，經過計算該證券的投資為零，而證券D的稅前收益太低，而且要繳納百分之五十的稅率，稅前的收益率是這幾個證券中較低的，為了獲得最大收益，因此證券D的投資額為零，證券C的信用較好，到期年限也不長，稅前收益也較高，所以投資該證券的金額較高。（2）考慮到部分投資者比較厭惡風險，他們比較看重信用，保守投資。那么，我們就可以建立一個風險最低的模型，即在求出風險最低的方案的前提下才進行投資，這時平均信用等級的

13、約束條件變為求最低平均信用等級。風險模型如下：目標函數Z= s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;約束條件min=(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>=400;在此模型中，使用Lingo軟件可以求出m1=0，m2=0，m3=536.49，m4=463.51，m5=0

14、，總收益Z=23.60947，經理只是投資了C證券和D證券，因為在這么多證券中，這兩個證券的信用程度最高，這樣才符合這個模型的根本目標。該模型結果如圖二和表三：圖二表三證券類型M1M2M3M4M5投資數量（萬元）0.0000000.000000536.4900463.5100 0.000000總收益（萬元）23.60947（3）然而少數投資者敢于冒險，他們投資時不考慮各種證券的信用等級高低而只在乎是否獲得最大收益，因此在忽略平均信用等級1.4的條件下我們可以建立一個收益最大模型：目標函數max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;約束條件m1+m2+m3+m4+m5&l

15、t;=1000;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0使用Lingo軟件可以解得：m1=0，m2=200，m3=200，m4=0，m5=600，總收益Z=37.4，在一定的約束條件下，B、C兩種證券分別都投資了200萬元，由于E證券到期稅前收益率較高且可以免稅，在投資額相同的情況下收益是最高的，則為了獲得最大的收益就把剩下的600萬元都投給了E證券也是合理的。結果見圖三和表四：圖三表四證券類型M1M2M

16、3M4M5投資數量（萬元）0.000000200.0000200.00000.000000600.0000總收益（萬元）37.40000在本問題當中需要考慮題目中所給的約束條件：（1）政府及代辦機構的證券總共至少要購進400萬元；（2）所購證券的平均信用等級不超過1.4；（3）所購證券的平均到期年限不超過5年。在以上三個模型當中，只有第一個模型符合題目的約束條件，這個模型相對來說比較合理，所以折中模型比較適合本問題的求解，綜合考慮，第一個模型的結果就是本問題的最優解。 2 問題二的求解 這個問題的解題方法與問題一的解題方法相似，使用折中法進行求解。該問題中，經理可以以2.75%的利率接到不超過

17、100萬元的資金，極限地假設經理借了一百萬元，則經理的可用資金就是1100萬元，用這些資金在符合約束條件下進行投資，我們可以建立一個最優解的數學模型：目標函數Max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;約束條件m1+m2+m3+m4+m5<=1100;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>

18、=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;使用Lingo軟件進行求解得到：m1=240，m2=0，m3=810，m4=0，m5=50，總收益Z=32.82，可以看出在增加100萬元的前提下，投資后的總收益比問題一增加了2.98364萬元，而借貸需要償還的利息為2.75萬元，即借貸后所獲得的最后收益有所增加，所以可以確定該經理應該借這100萬元。結果如圖四和表五所示：圖四表五證券類型M1M2M3M4M5投資數量2400.0000008100.00000050總收益32.820003 問題三的求解這個問題的求解方法與問題一得求解方法相同，第

19、一小問只是證券A的稅前收益增加到4.5%，其他的約束條件不變，現只需要建立一個折中模型：目標函數max= s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;約束條件m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=

20、0;m4>=0;m5>=0;用Lingo軟件求解可以得到：m1=218.1818，m2=0，m3=736.3636，m4=0，m5=45.45455，總收益Z=30.27273，用這個結果跟問題一的結果進行比較可以知道，這個小問中對各個證券的投資跟問題一的方案一樣，而且收益有所增加。結果見圖五和表六：圖五表六證券類型M1M2M3M4M5投資數量（萬元）218.18180.000000736.36360.00000045.45456總收益（萬元）30.27273第二小問中的C證券的稅前收益減少了4.8%，其解法與第一小問的解法也相同，建立一個折中模型：目標函數max= s1*m1*（

21、1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;約束條件m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;使用Lingo求解得到：m1=336，m2=0，m3=0，m4=648，m5=1

22、6，總收益Z=29.424。分析這個結果和問題一的結果可以看出，由于C證券的稅前收益減少了0.2%，該證券的投資金額從問題一的最多變為零，對D證券的投資金額變為最多，對其他證券的投資金額都各有所改變，總的收益也減少了0.41236萬元。結果見圖六和表七：圖六表七證券類型M1M2M3M4M5投資數量（萬元）0.0000000.000000536.4900463.5100 0.000000總收益（萬元）23.60947模型的評價1、模型的優點（1） 本文解決問題的模型都是比較簡單的，但是這并不影響得到結果的準確性，因為這些簡單的模型都有很強的理論依據；（2）通過利用數學工具和Lingo編程的方法，

23、嚴格的對模型求解，具有科學性。（3）建立的模型能與實際較緊密聯系，結合實際情況對所提出的問題進行求解，是模型更貼近實際，通用性較強。（4）模型給出了快速計算投資分配的方法，計算方便、靈活。2、模型的缺點（1）、一些數據中，我們對數據進行必要的處理時，如取整數據、舍去數據等，這些方法都會帶來一定的誤差。（2）在解決各問題時，都是假設在各種證券的信用等級、到期年限、稅前收益不變的基礎上建立數學模型的，但是實際的市場變化無常，納稅稅率也會有所波動。參考文獻【1】 吳建國等，數學建模案例精編，北京，中國水利水電出版社，2005【2】 姜啟源等，數學模型（第三版），北京，高等教育出版社，2003【3】

24、葉其孝等，數學建模（原書第三版），北京，機械工業出版社，2005【4】 束金龍等，線性規劃理論與模型應用，北京，科學出版社，2003附錄Lingo代碼mode1.max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;s1=0.043;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.022;s5=0.045;m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m

25、1+m2+m3+m4+m5)<=5;y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;mode2.max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;s1=0.043;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.022;s5=0.045;m1+m2+m3+m4+m5<=1100;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;

26、(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;m2+m3+m4>=400;m1>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;mode3.1max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;s1=0.045;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.022;s5=0.045;m1+m2+m3+m4+m5<=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=1.4;x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)<=5;y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;m2+m3+m4>=400;m1&