1、2019-2020 學年湖南省益陽市高二（上）期末數學試卷一、單選擇題：本題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5 分）sin20°cos10°+cos20°sin10°（）ABCD2（5 分）某校數學興趣小組對高二年級學生的期中考試數學成績（滿分100 分）進行數據分析，將全部的分數按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100分成 5 組，得到如

2、圖所示的頻率分布直方圖若成績在 80 分及以上的學生人數為 360，估計該校高二年級學生人數約為（）A1200B1440C7200D120003（5 分）已知等比數列an中，a4a54，則 a1a2a8（）A128B128C256D2564（5 分）某教育局公開招聘了 4 名數學老師，其中 2 名是剛畢業的“新教師”，另 2 名是有了一段教學時間的“老教師”，現隨機分配到 A、B 兩個學校任教，每個學校 2 名，其中分配給學校 

3、;A 恰有 1 名“新教師”和 1 名“老教師”的概率是（）ABCD5（5 分）函數 f（x）Asin（x+）（A0，0，|f（x）的解析式為（）的部分圖象如圖所示，則第1頁（共24頁）ACBD6（5 分）在邊長為 1 的正方形 ABCD 內任取一點 P，使APB 是鈍角的概率等于（）ABCD（MN75 分）ABC 中， 是 AC 邊上的點，AM2MC， 是 BC 邊的中點，設

4、，則可以用       表示為（   ）ACBD8（5 分）“x1，3），x2a0”成立的一個充分不必要條件是（）Aa0Ba1Ca9Da99（5 分）某企業通過前期考察與論證可知，投資每個 A 項目第一年需資金 20 萬元，從中可獲利 5 萬元；投資每個 B 項目第一年需資金 30 萬元，從中可獲利 6 萬元現公司擬投資 A，B 兩個項目

5、共不多于 8 個且投入資金不超過 200 萬元，需合理安排這兩個項目的個數使第一年獲利最多，則獲利最多可達到（）A40 萬元B44 萬元C48 萬元D50 萬元10（5 分）已知離心率為 2 的雙曲線 C：的左右焦點分別為 F1（c，0），F2（c，0），直線與雙曲線 C 在第一象限的交點為 P，PF1F2 的角平分線與 PF2 交于點 Q，若|PF2|PQ|，則  的值是（）

6、ABCD二、多項選擇題：本題共 2 小題，每小題 5 分，共 10 分在每小題給出的選項中，有多項第2頁（共24頁）符合題目要求全部選對的得 5 分，部分選對的得 3 分，有選錯的得 0 分11（5 分）若命題 p：xR，|x|+10命題 q：對每一個無理數 x，x2 也是無理數則下列命題是真命題的是（）ApqBpqCpqDp（q）12（5 分）如圖，在平面四邊形 ABCD 中，等邊ABC

7、0;的邊長為 2，ADC30°，ACCD，點 M 為 AB 邊上一動點，記，則  的取值可以是（）A4BC5D10三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分13（5 分）若14（5 分）若 x0，則，則 cos2      的最小值等于      15（5 分）直線

8、0;l 過拋物線的焦點 F，與拋物線交于 A，B 兩點，若|AB|16，則AB 的中點 D 到 x 軸的距離為16（5 分）已知數列an，bn的前 n 項和分別為 Sn，Tn，且 Sn2n2+3n，2Tn3bn3，若兩個數列的公共項按原順序構成數列cn，若 cn2020，則 n 的最大值為四、解答題：本題共 6 小題，共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10 

9、;分）已知ABC 的內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且（a+2b）cosC+ccosA0（1）求 C；（2）若，求ABC 的面積18（12 分）某消費品企業銷售部對去年各銷售地的居民年收入（即此地所有居民在一年內的收入的總和）及其產品銷售額進行抽樣分析，收集數據整理如下：銷售地年收入 x（億元）A15B20C35D50第3頁（共24頁）銷售額 y（億元）16204048（1）在圖 a 中作出這些數據的散點圖，并指出 y 與 x 成正

10、相關還是負相關？（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出 y 關于 x 的線性回歸方程  x+ ；（3）若 B 地今年的居民年收入將增長 20%，預測 B 地今年的銷售額 j 將達到多少萬元？回歸方程系數公式： ，  參考數據：15×16+20×20+35×40+50×484440，152+202+352+502435019（12 分）已知向量 （sin 

11、;， ）， （cos ，cos ），記 f（x）  （1）求 f（x）的最小正周期和單調遞增區間；（2）當 x，求函數 f（x）的取值范圍20（12 分）如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為矩形，O，E 分別為 AD，PB 的中點，平面 PAD平面 ABCD，PAPD（1）求證：OE平面 PCD；（2）求證：AP平面 PCD；（3）求二面角 APDB&#

12、160;的余弦值，AB2AD4第4頁（共24頁）1（2Tn+3bn1）  n2）21（12 分）已知公差不為 0 等差數列an的前 n 項和為 Sn，S10S751，且 a2，a5，a14成等比數列數列bn的各項均為正數，前 n 項和為 Tn，且 b13，bn2+2Tn1bn1bn（1）求數列an，bn的通項公式；（2）設 cnanbn，求數列cn的前 n 項和22（12 分）已知橢圓 C：的離心率，左、右焦點分別為

13、 F1，F2，過右焦點 F2 任作一條不垂直于坐標軸的直線 l 與橢圓 C 交于 A，B 兩點， 1AB 的周長為（1）求橢圓 C 的方程；（2）記點 B 關于 x 軸的對稱點為 B'點，直線 AB'交 x 軸于點 求ABD 的面積的取值范圍第5頁（共24頁）2019-2020 學年湖南省益陽市高二（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、單選

14、擇題：本題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5 分）sin20°cos10°+cos20°sin10°（）ABCD【分析】由條件利用本題主要考查兩角和差的正弦公式，求得所給式子的值【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°sin（20°+10°）sin30° ，故選：A【點評】本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，屬于中檔題

15、2（5 分）某校數學興趣小組對高二年級學生的期中考試數學成績（滿分100 分）進行數據分析，將全部的分數按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100分成 5 組，得到如圖所示的頻率分布直方圖若成績在 80 分及以上的學生人數為 360，估計該校高二年級學生人數約為（）A1200B1440C7200D12000【分析】由頻率分布直方圖得成績在 80 分以上的頻率，再結合成績在 80 分以上的人數即可求出結論【解答】解：由頻率分布直方圖得成績在 80&

16、#160;分以上的頻率為：1（0.01+0.02+0.04）×100.3，根據統計學的知識估計成績在 80 分以上的人數約為：0.3×n360 n1200故選：A第6頁（共24頁）【點評】本題考查頻數的用法，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質的合理運3（5 分）已知等比數列an中，a4a54，則 a1a2a8（）A128B128C256D256【分析】由等比數列的性質可得，a1a2a8（a4a5）4，代入即可求解【解答】解：等比數列an中，a4a54，則由等比數列的性質可得，a1a2a8（a4a5）4256

17、故選：D【點評】本題主要考查了等比數列的性質，屬于基礎試題4（5 分）某教育局公開招聘了 4 名數學老師，其中 2 名是剛畢業的“新教師”，另 2 名是有了一段教學時間的“老教師”，現隨機分配到 A、B 兩個學校任教，每個學校 2 名，其中分配給學校 A 恰有 1 名“新教師”和 1 名“老教師”的概率是（）ABCD【分析】現隨機分配到 A、B 兩個學校任教，每個學校 2 名，基本事件總

18、數 n6，其中分配給學校 A 恰有 1 名“新教師”和 1 名“老教師”包含的基本事件個數m4，由此能求出分配給學校 A 恰有 1 名“新教師”和 1 名“老教師”的概率【解答】解：某教育局公開招聘了 4 名數學老師，其中 2 名是剛畢業的“新教師”，另 2 名是有了一段教學時間的“老教師”，現隨機分配到 A、B 兩個學校任教，每個學校 2 名，基本事件總數 

19、;n6，其中分配給學校 A 恰有 1 名“新教師”和1 名“老教師”包含的基本事件個數 m4，其中分配給學校 A 恰有 1 名“新教師”和 1 名“老教師”的概率是 p 故選：D【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題第7頁（共24頁）5（5 分）函數 f（x）Asin（x+）（A0，0，|f（x）的解析式為（）的部分圖象如圖所示，則ACBD【分析】根據三角函數的圖象確定 A，&

20、#160;和  的值即可【解答】解：由圖象知函數的最大值為 2，即 A2，函數的周期 T2×（  ）2×  ，即   得 2此時 f（x）2in（2x+），由五點對應法得 2×得 ，即 f（x）2sin（2x+  ，），故選：C【點評】本題主要考查三角函數的解析式的求解，結合圖象求出 A， 和  的值是解決本題的關鍵難度不大6（5

21、0;分）在邊長為 1 的正方形 ABCD 內任取一點 P，使APB 是鈍角的概率等于（）ABCD【分析】由題意以 AB 為直徑圓內的區域為滿足APB 為鈍角的區域，分別找出滿足條件的點集對應的圖形面積，及圖形的總面積，作比值即可【解答】解：以 AB 為直徑圓內的區域為滿足APB 為鈍角的區域，第8頁（共24頁）半圓的面積為 ×（ ）2，正方形 ABCD 的面積為 1滿足APB 為鈍角的概率為：故選：C

22、60; 【點評】本題考查幾何概型的概率計算，關鍵是畫出滿足條件的區域，利用面積比值求解（MN75 分）ABC 中， 是 AC 邊上的點，AM2MC， 是 BC 邊的中點，設，則可以用表示為（   ）AC【分析】由【解答】解：由可以表示出，則BD，進而表示出  而，AM2MC，N 是 BC 邊的中點，即故選：A【點評】本題考查向量加法法則的應用，是基礎題8（5 分）“x1，3），x2a0”成立的一個充分不必要條件是（）

23、Aa0Ba1Ca9第9頁（共24頁）Da9【分析】x1，3），x2a0，可得 ax2，即可得出 a 的范圍，進而判斷出結論【解答】解：x1，3），x2a0，則 ax2，a9“x1，3），x2a0”成立的一個充分不必要條件是 a9故選：D【點評】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題9（5 分）某企業通過前期考察與論證可知，投資每個 A 項目第一年需資金 20 萬元，從中可獲利 5 萬元；投資每個 B 項目第一年需資

24、金 30 萬元，從中可獲利 6 萬元現公司擬投資 A，B 兩個項目共不多于 8 個且投入資金不超過 200 萬元，需合理安排這兩個項目的個數使第一年獲利最多，則獲利最多可達到（）A40 萬元B44 萬元C48 萬元D50 萬元【分析】設投資 A 項目 x 個，投資 B 項目 y 個，由題意得，利用線性規劃能求出獲利最多可達到多少萬元【解答】解：設投資 A 項

25、目 x 個，投資 B 項目 y 個，由題意得，作出可行域如下圖：四邊形 OABC 是滿足條件的可行域，O（0，0），A（8，0），C（0，解方程組，得 x4，y4，B（4，4），第10頁（共24頁），fO5×0+6×00，fA5×8+6×040，fB5×4+6×444，fC40，獲利最多可達到 44 萬元故選：B【點評】本題考查獲利最多可達到多少萬元的求法，考查線性規劃有生產生活中的應用等基礎知識，考查運算求解能力和應用意識，

26、是中檔題10（5 分）已知離心率為 2 的雙曲線 C：的左右焦點分別為 F1（c，0），F2（c，0），直線與雙曲線 C 在第一象限的交點為 P，PF1F2 的角平分線與 PF2 交于點 Q，若|PF2|PQ|，則  的值是（）ABCD【分析】先根據角平分線性質以及雙曲線的定義求出三角形 PF1F2 的三邊長，再結合余弦定理即可求解【解答】解：直線；所以其過左焦點，且PF1F230°；如圖：；PF1F2 的角平分線與

27、 PF2 交于點 Q，且|PF2|PQ|，|PF1|×2c；離心率為 2 c2a|PF2|PF1|2a；cosPF1F2；故選：B第11頁（共24頁）【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，考查三角形內角平分線定理的應用，考查計算能力，是中檔題二、多項選擇題：本題共 2 小題，每小題 5 分，共 10 分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得 5 分，部分選對的得 3 分，有選錯的得 0 分11（5 

28、;分）若命題 p：xR，|x|+10命題 q：對每一個無理數 x，x2 也是無理數則下列命題是真命題的是（）ApqBpqCpqDp（q）【分析】由|x|0，說明 p 為真命題，舉例說明命題 q 為假命題，再由復合命題的真假判斷得答案【解答】解：|x|0，故命題 p：xR，|x|+10 為真命題；當 x時，x22 為有理數，故命題 q：對每一個無理數 x，x2 也是無理數為假命題pq 為真命題；pq 為假命題；pq 為

29、假命題；pq 為真命題故選：AD【點評】本題考查復合命題的真假判斷，是基礎題12（5 分）如圖，在平面四邊形 ABCD 中，等邊ABC 的邊長為 2，ADC30°，ACCD，點 M 為 AB 邊上一動點，記，則  的取值可以是（）A4BC5D10【分析】建立坐標系，求出各頂點坐標，設點 M 的坐標，根據參數的范圍結合二次函數第12頁（共24頁）即可求解【解答】解：以 AB 所在直線為 X 軸，AB 

30、;的中垂線為 Y 軸建立如圖所示的坐標系；等邊ABC 的邊長為 2，ADC30°，ACCD，A（1，0），B（1，0），C（0，）；CAB60°，AD4；DAX180°60°60°60°；作 DEX 軸DE2D（3，2，AE2；）；設 M（m，0），則1m1；（m3，2  ），  （m，  ）；m（m3）+6（m ）2+；1m14，10故選：CD【點評】本題考查向量的數量積的應用以及坐標法在向量中

31、的應用，考查計算能力三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分13（5 分）若，則 cos2【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函數公式化為關于 sin 的式子，將 sin 的值代入即可求出值【解答】解：因為 sin ，所以 cos212sin212×故答案為：  第13頁（共24頁）【點評】通常，在高考題中，三角函數多會以解答題的形式出現在第一個解答題的位置，是基礎分值的題目，學生在解答三角函數問題

32、時，往往會出現，會而不對的狀況所以，在平時練習時，既要熟練掌握相關知識點，又要在解答時考慮更為全面這樣才能熟練駕馭三角函數題14（5 分）若 x0，則的最小值等于4【分析】變形利用基本不等式的性質即可得出【解答】解：x0，則x+2+   22           24，當且僅當 x1 時取等號，其最小值等于 4故答案為：4【點評】本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題15（5

33、60;分）直線 l 過拋物線的焦點 F，與拋物線交于 A，B 兩點，若|AB|16，則AB 的中點 D 到 x 軸的距離為7【分析】由題意先求出拋物線的參數 p，由于直線過焦點，利用弦長公式 y1+y2+p，轉化求解求出 y1+y2，求解即可【解答】解：因為拋物線即 x24y，所以 p2，直線 l 過拋物線的焦點 F，與拋物線交于 A，B 兩點，若|AB|16，設 A、B 兩點

34、縱坐標分別為 y1，y2，y1+y2+p16，所以 y1+y214，因為線段 AB 中點的縱坐標為 7，則 AB 的中點 D 到 x 軸的距離為：7故答案為：7【點評】本題主要考查了拋物線的標準方程及其幾何性質，拋物線的定義及其焦點弦弦長公式，中點坐標公式，利用焦點弦公式求弦長提高解題效率是解決本題的關鍵116（5 分）已知數列an，bn的前 n 項和分別為 Sn，Tn，且 Sn2n2+3n，2Tn3bn3，若兩個數列的公共項按原順序構

35、成數列cn，若 cn2020，則 n 的最大值為3【分析】由數列的遞推式：a1S1，n2 時，anSnSn，化簡可得 an4n+1；運用第14頁（共24頁）數列的遞推式和等比數列的定義、通項公式可得 bn3n；求得兩個數列的公共項，可得cn9n，解不等式可得所求最大值【解答】解：Sn2n2+3n，可得 a1S15，n2 時，anSnSn12n2+3n2（n1）23（n1）4n+1，對 n1 也成立，則 an4n+1，nN*；2Tn3bn3，n1 時，2b12T13b13，解得

36、 b13，n2 時，2Tn13bn13，又 2Tn3bn3，兩式相減可得 2bn3bn3bn1，即 bn3bn1，可得 bn3n；兩個數列的公共項為 9，81，729，則數列cn為首項為 9，公比為 9 的等比數列，可得 cn9n，由 cn2020，即 9n2020，解得 n3，即 n 的最大值為 3，故答案為：3【點評】本題考查數列的遞推式的運用，考查等比數列的通項公式和運用，考查化簡運算能力，屬于中檔題四、解答題：本題共&

37、#160;6 小題，共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10 分）已知ABC 的內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，且（a+2b）cosC+ccosA0（1）求 C；（2）若，求ABC 的面積（【分析】 1）根據正弦定理，即可求出角的值，（2）由 cosA 的值結合余弦定理求出 b，代入三角形面積公式即可求出三角形 ABC 面積【解答】解：（1）根據正弦定理，由已知得：（sinA+2sinB）cosC+si

38、nCcosA0，即 sinAcosC+sinCcosA2sinBcosC，sin（A+C）2sinBcosC，A+CB，sin（A+C）sin（B）sinB0，sinB2sinBcosC，從而 cosC C（0，），第15頁（共24頁）Cab，AB，（2）由（1）以及余弦定理得 cosC b2+4b600b6（10 舍去），則  ABCabsinC ×4×6×6【點評】本題主要考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角函數的恒等變形，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵18

39、（12 分）某消費品企業銷售部對去年各銷售地的居民年收入（即此地所有居民在一年內的收入的總和）及其產品銷售額進行抽樣分析，收集數據整理如下：銷售地年收入 x（億元）銷售額 y（億元）A1516B2020C3540D5048（1）在圖 a 中作出這些數據的散點圖，并指出 y 與 x 成正相關還是負相關？（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出 y 關于 x 的線性回歸方程  x+ ；（3）若 B 地今年的居民年收入

40、將增長 20%，預測 B 地今年的銷售額 j 將達到多少萬元？回歸方程系數公式： ，  參考數據：15×16+20×20+35×40+50×484440，152+202+352+5024350（【分析】 1）由表格中數據直接作出散點圖；（2）求出 與 的值，則線性回歸方程可求；第16頁（共24頁）（3）在（2）中求得的線性回歸方程中，取 x24 求得 y 值即可【解答】解：（1）散點圖如圖：由散點圖可知，y

41、 與 x 成正相關；（2）， 0.96， 310.96×302.2y 關于 x 的線性回歸方程為；（3）由題意，B 地今年居民收入為 20+20×20%24，把 x24 代入，得 0.96×24+2.225.24 萬元預測 B 地今年的銷售額 j 將達到 25.24 萬元【點評】本題考查線性回歸方程的求法，考查計算能力，是基礎題19（12 分）已知向量

42、60;（sin ， ）， （cos ，cos ），記 f（x）  （1）求 f（x）的最小正周期和單調遞增區間；（2）當 x，求函數 f（x）的取值范圍【分析】由三角函數中的恒等變換應用可得函數解析式為 f（x）sin（ x+），（1）直接根據周期的定義求 T，由+2k x+  2k+  ，kZ ，可解得單調遞區間；（2）當 x，時，根據正弦函數的定義域和值域求得 f（x）的最

43、值第17頁（共24頁）【解答】解： （sin ， ）， （cos ，cos ），f（x）  sin cos + cos sin + cos sin（ +  ）（1）T4；令+2k x+2k+4kx4k+；kZ；單調遞增區間為4k（2）x，4k+，kZx+，；ysinx 在，上單調遞增，在  ，   上單調遞減；x+x 時，f（x）取最小值

44、；x+x時，f（x）取最大值 1；f（x），1【點評】本題主要考查了平面向量數量積的運算，三角函數中的恒等變換應用，正弦函數的圖象和性質，屬于中檔題20（12 分）如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 為矩形，O，E 分別為 AD，PB 的中點，平面 PAD平面 ABCD，PAPD（1）求證：OE平面 PCD；（2）求證：AP平面 PCD；（3）求二面角 APDB 的余弦值，AB2AD4（【分析】 1）關鍵是證明四邊形

45、0;ODGE 為平行四邊形，進而得到 OEDG，由此得證；（2）由面面垂直的性質可得 CDAP，由勾股定理可得 APPD，由此得證；第18頁（共24頁）（3）建立空間直角坐標，求出兩個平面的法向量，進而利用向量公式得解【解答】解：（1）證明：取 PC 的中點 G，連接 EG，DG，E，G 分別為 PB，PC 的中點，四邊形 ABCD 為矩形，且 O 為 AD 的中點，四邊形 ODGE 為平行四邊形，OEDG

46、，又OE 不在平面 PCD 內，DG 在平面 PCD 內，OE平面 PCD；（2）證明：底面 ABCD 為矩形，CDAD，又平面 PAD平面 ABCD，CD平面 PAD，CDAP，AP2+PD2AD2，APPD，又 CDPDD，AP平面 PCD；（3）取 BC 的中點 F，連接 OF，OP，則 OPAD，OFAD，OFOP，以 O 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則 

47、P（0，0，1），D（1，0，0），B（1，4，0），平面 PAD 的一個法向量為，設 平 面 PBD 的 一 個 法 向 量 為，則，可取，第19頁（共24頁），二面角 APDB 的余弦值為 1（2Tn+3bn1）  n2）數列的通項公式可求，再由 bn2+2Tn1bn1bn1（2Tn+3bn1） n2），得 bn3bn1 （n【點評】本題考查線面平行及線面垂直的判定，考查利用空間向量

48、求解空間角，考查邏輯推理能力及計算能力，屬于常規題目21（12 分）已知公差不為 0 等差數列an的前 n 項和為 Sn，S10S751，且 a2，a5，a14成等比數列數列bn的各項均為正數，前 n 項和為 Tn，且 b13，bn2+2Tn1bn1bn（1）求數列an，bn的通項公式；（2）設 cnanbn，求數列cn的前 n 項和（【分析】 1）設等差數列an的公差為 d（d0），由已知列式求得首項與公差，則等差（2），又 

49、;b13，得bn是以 3 為首項，以 3 為公比的等比數列，可得等比數列的通項公式；（2）把數列an，bn的通項公式代入 cnanbn（2n1）3n，由錯位相減法求數列cn的前 n 項和【解答】解：（1）設等差數列an的公差為 d（d0），由 S10S751，且 a2，a5，a14 成等比數列，得，解得，an1+2（n1）2n1；由 bn2+2Tn1bn1bn1（2Tn+3bn1）（n2），第20頁（共24頁）得，即（bn+bn1）（bn3bn1）0，得 bnbn1（舍），或 bn3bn10，bn3bn1 （n2），又 b13，bn是以 3 為首項，以 3 為公比的等比數列，則；（2）cnanbn（2n1）3n，設數列cn