1、高考數學試題分類匯編高考數學試題分類匯編三角函數三角函數上海文數上海文數19.19.此題總分值此題總分值 1212 分分02x，化簡：2lg(costan1 2sin)lg 2cos()lg(1 sin2 )22xxxxx .解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20湖南文數湖南文數16. 本小題總分值 12 分函數2( )sin22sinf xxxi求函數( )f x的最小正周期。(ii) 求函數( )f x的最大值及( )f x取最大值時 x 的集合。浙江理數浙江理數 18(此題總分值 l4 分)在abc 中,角 a、b、c 所對的邊分別為 a,

2、b,c，1cos24c (i)求 sinc 的值；()當 a=2， 2sina=sinc 時，求 b 及 c 的長解析：此題主要考察三角變換、正弦定理、余弦定理等根底知識，同事考查運算求解能力。解：因為 cos2c=1-2sin2c=14，及 0c所以 sinc=104.解：當 a=2，2sina=sinc 時，由正弦定理acsinasinc，得c=4由 cos2c=2cos2c-1=14，j 及 0c 得cosc=64由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosc，得b26b-12=0解得 b=6或 26所以 b=6 b=6 c=4 或 c=4全國卷全國卷 2 2 理數理數 17 本小題總分值

3、 10 分abc中，d為邊bc上的一點，33bd ，5sin13b ，3cos5adc，求ad【參考答案】由 cosadc=0，知 b.由得 cosb=，sinadc=.從而 sinbad=sinadc-b=sinadccosb-cosadcsinb=.由正弦定理得 ，所以=.【點評】三角函數與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點，在高考試題中頻繁出現.這類題型難度比擬低，一般出現在 17 或 18 題，屬于送分題，估計以后這類題型仍會保存，不會有太大改變.解決此類問題，要根據條件，靈活運用正弦定理或余弦定理，求邊角或將邊角互化.陜西文數陜西文數17.本小題總分值 12 分在abc 中，b

4、=45,d 是 bc 邊上的一點，ad=10,ac=14,dc=6，求 ab 的長.解在adc 中，ad=10,ac=14,dc=6,由余弦定理得cos2222addcacad dc=10036 19612 10 62 ,adc=120, adb=60在abd 中，ad=10, b=45, adb=60，由正弦定理得sinsinabadadbb,ab=310sin10sin6025 6sinsin4522adadbb.遼寧文數遼寧文數 17 本小題總分值 12 分在abc中，abc、分別為內角abc、的對邊，且2 sin(2)sin(2)sinaabcbcbc求a的大小；假設sinsin1bc

5、，試判斷abc的形狀.解：由，根據正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得abccbacos2222故120,21cosaa 由得.sinsinsinsinsin222cbcba又1sinsincb，得21sinsincb因為900 ,900cb，故bc所以abc是等腰的鈍角三角形。遼寧理數遼寧理數 17 本小題總分值 12 分 在abc 中，a, b, c 分別為內角 a, b, c 的對邊，且2 sin(2)sin(2)sin.aaacbcbc 求 a 的大小；求sinsinbc的最大值.解：由，根據正弦定理得22(2)(2)abc bcb c即 222abc

6、bc 由余弦定理得 2222cosabcbca故 1cos2a ，a=120 6 分由得： sinsinsinsin(60)bcbb 31cossin22sin(60)bbb故當 b=30時，sinb+sinc 取得最大值 1。 12 分全國卷全國卷 2 文數文數 17 本小題總分值 10 分abc中，d為邊bc上的一點，33bd ，5sin13b ，3cos5adc，求ad。【解析解析】此題考查了同角三角函數的關系、正弦定理與余弦定理的根底知識。此題考查了同角三角函數的關系、正弦定理與余弦定理的根底知識。由由adc與與b的差求出的差求出bad，根據同角關系及差角公式求出，根據同角關系及差角公

7、式求出bad的正弦，在三角形的正弦，在三角形abdabd 中，由正弦定理可求得中，由正弦定理可求得 adad。江西理數江西理數17.本小題總分值 12 分函數 21 cotsinsinsin44f xxxmxx。(1) 當 m=0 時，求 f x在區間384，上的取值范圍；(2) 當tan2a 時， 35f a ，求 m 的值。【解析】考查三角函數的化簡、三角函數的圖像和性質、三角函數值求值問題。依托三角函數化簡，考查函數值域，作為根本的知識交匯問題，考查根本三角函數變換，屬于中等題.解：1當 m=0 時，22cos1 cos2sin2( )(1)sinsinsin cossin2xxxf x

8、xxxxx 1 2sin(2) 124x，由3,84x，得22,142x 從而得：( )f x的值域為120,222cos( )(1)sinsin()sin()sin44xf xxmxxx化簡得：11( )sin2(1)cos2 22f xxmx當tan2，得：2222sincos2tan4sin2sincos1tan5aaaaaaa，3cos25a ，代入上式，m=-2.安徽文數安徽文數16、 本小題總分值 12 分 abc的面積是 30，內角, ,a b c所對邊長分別為, ,a b c，12cos13a 。 ()求ab ac ；()假設1cb，求a的值。【解題指導】 1根據同角三角函數關

9、系，由12cos13a 得sin a的值，再根據abc面積公式得156bc ；直接求數量積ab ac .由余弦定理2222cosabcbca，代入條件1cb，及156bc 求 a 的值.解：由12cos13a ，得2125sin1 ()1313a .又1sin302bca ，156bc .12cos15614413ab acbca .2222cosabcbca212()2(1 cos)12 156 (1)2513cbbca ，5a .【規律總結】根據此題所給的條件及所要求的結論可知，需求bc的值，考慮abc的面積是 30，12cos13a ，所以先求sin a的值，然后根據三角形面積公式得bc

10、a 的值，根據第一問中的結論可知，直接利用余弦定理即可.重慶文數(18).(本小題總分值 13 分), ()小問 5 分，()小問 8 分.)設abc的內角 a、b、c 的對邊長分別為 a、b、c,且 32b+32c-32a=42bc .() 求 sina 的值；()求2sin()sin()441 cos2abca的值.浙江文數浙江文數 18 此題總分值在abc 中，角 a，b，c 所對的邊分別為 a,b,c,設 s 為abc 的面積，滿足2223()4sabc。求角 c 的大小；求sinsinab的最大值。重慶理數重慶理數 16 本小題總分值 13 分， i小問 7 分， ii小問 6 分設

11、函數 22cos2cos,32xf xxxr。（i）求 f x的值域；（ii）記abc的內角 a、b、c 的對邊長分別為 a，b，c，假設 f b=1，b=1,c=3，求 a 的值。山東文數山東文數(17)本小題總分值 12 分 函數2( )sin()coscosf xxxx0的最小正周期為， 求的值； 將函數( )yf x的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得到函數( )yg x的圖像，求函數( )yg x在區間0,16上的最小值.北京文數北京文數 15 本小題共 13 分函數2( )2cos2sinf xxx求()3f的值；求( )f x的最大值和最小值解：22()2coss

12、in333f=31144 22( )2(2cos1)(1 cos)f xxx 23cos1,xxr因為cos1,1x ,所以，當cos1x 時( )f x取最大值 2；當cos0 x 時，( )f x去最小值-1。北京理數北京理數 15 本小題共 13 分 函數(x)f22cos2sin4cosxxx。求()3f的值；求(x)f的最大值和最小值。解：i2239()2cossin4cos1333344f ii22( )2(2cos1)(1 cos)4cosf xxxx =23cos4cos1xx =2273(cos)33x,xr 因為cosx 1,1， 所以，當cos1x 時，( )f x取最大

13、值 6；當2cos3x 時，( )f x取最小值73四川理數四川理數 19 本小題總分值 12 分證明兩角和的余弦公式c:cos()coscossinsin；1 由c推導兩角和的正弦公式s:sin()sincoscossin.2abc 的面積1,32sabac ，且35cosb ，求 cosc.本小題主要考察兩角和的正、余弦公式、誘導公式、同角三角函數間的關系等根底知識及運算能力。解：(1)如圖，在執教坐標系 xoy 內做圓 o，并作出角 、 與，使角 的始邊為 ox，交o 于點 p1，終邊交o 于 p2；角 的始邊為 op2，終邊交o 于 p3；角 的始邊為op1，終邊交o 于 p4. 那么

14、 p1(1,0),p2(cos,sin)p3(cos(),sin(),p4(cos(),sin() w_w w. k#s5_u.c o*m由 p1p3p2p4及兩點間的距離公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2展開并整理得：22cos()22(coscossinsin)cos()coscossinsin.4 分由易得 cos(2)sin,sin(2)cossin()cos2()cos(2)() cos(2)cos()sin(2)sin() sincoscossin6 分(2)由題意，設abc 的角 b、c 的對邊分別為 b、c那么 s12bcsina12abac

15、 bccosa30w_ a(0, 2),cosa3sina又 sin2acos2a1，sina1010,cosa3 1010由題意，cosb35,得 sinb45cos(ab)cosacosbsinasinb1010w_ 故 cosccos(ab)cos(ab)101012 分天津文數天津文數 17 本小題總分值 12 分在abc 中，coscosacbabc。證明 b=c：假設cos a=-13，求 sin4b3的值。【解析】本小題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數的根本關系、二倍角的正弦與余弦等根底知識，考查根本運算能力.總分值 12 分. 證明：在abc 中，由正弦定理及得

16、sinbsinc=cosbcoscbc，從而 b-c=0. 所以 b=c. 解：由 a+b+c=和得 a=-2b,故 cos2b=-cos-2b=-cosa=13.又 02b,acococ acac故且對于線段上任意點p有o po c，而小艇的最高航行速度只能到達 30 海里/小時，故輪船與小艇不可能在 a、c包含 c的任意位置相遇，設cod= (0 90 ),10 3tanrt codcd則在中，od=10 3cos，由于從出發到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為10 10 3tan30t和10 3costv，所以10 10 3tan3010 3cosv，解得15 33,30,sin( +3

17、0 )sin( +30 )2vv又故，從而3090 ,30tan由于時，取得最小值，且最小值為33，于是當30時，10 10 3tan30t取得最小值，且最小值為23。此時，在oab中，20oaobab，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30，航行速度為 30 海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇。安徽理數16、 本小題總分值 12 分 設abc是銳角三角形，, ,a b c分別是內角, ,a b c所對邊長，并且22sinsin() sin() sin33abbb。 ()求角a的值；()假設12,2 7ab aca ，求, b c其中bc 。江蘇卷江蘇卷17、 本小題總分值 14 分某

18、興趣小組測量電視塔 ae 的高度 h(：m ，如示意圖，垂直放置的標桿 bc 的高度 h=4m，仰角abe=，ade=。(1)該小組已經測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據此算出 h 的值；(2)該小組分析假設干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離 d：m ，使與之差較大，可以提高測量精確度。假設電視塔的實際高度為 125m，試問 d 為多少時，-最大？解析 此題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用。1tantanhhadad，同理：tanhab，tanhbd。 adab=db，故得tantantanhhh，解得：tan4 1.24124tantan1

19、.24 1.20hh。因此，算出的電視塔的高度 h 是 124m。2由題設知dab，得tan,tanhhhhhdaddbd，2tantantan()()1tantan()1hhhhdhddhhhh hhdh hhdddd()2()h hhdh hhd， 當且僅當()125 12155 5dh hh時，取等號故當55 5d 時，tan()最大。因為02，那么02，所以當55 5d 時，-最大。故所求的d是55 5m。江蘇卷23.本小題總分值 10 分abc 的三邊長都是有理數。（1）求證 cosa 是有理數；2求證：對任意正整數 n，cosna 是有理數。解析 此題主要考查余弦定理、數學歸納法等根底知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。總分值 10 分。方法一 1證明：設三邊長分別為, ,a b c，222cos2bcaabc，, ,a b c是有理數，222bca是有理數，分母2bc為正有理數，又有理數集對于除法的具有封閉性，2222bcabc必為有理數，cosa 是有理數。2當1n 時，顯然 cosa 是有理數；當2n