1、第部分橢圓相關知識點講解橢圓的定義及橢圓的標準方程：1.橢圓的定義：平面內一個動點P到兩個定點F,、F2的距離之和等于常數(PFj PF2 | 2a |£F2),這個動點P的軌跡叫橢圓這兩個定點叫橢圓的焦 點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距注意：若(PFj PF2 | Fi F2)，則動點P的軌跡為線段；若(PFi | PF? |卩汀2)，則動點P的軌跡無圖形2.橢圓的標準方程(1 )當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程：2 x2 a2 y b21 (ab 0)，其中2 2 . 2cab(2)當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程：2y2 a2xb21 (ab 0)，其中2 2.2c a b ；注

2、意：1 只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；2在橢圓的兩種標準方程中，都有(a b 0)和c2 a2 b2;3 橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在x軸上時，橢圓的焦點坐標為(c,0)，( c,0);當焦點在y軸上時，橢圓的焦點坐標為(0,c)，(0, c)3圓的參數方程：y bS (其中為參數).4方程Ax2 By2 C表示橢圓的充要條件是什么？( ABC工0,且A，B，C同號,A 工 B)。點與橢圓的位置關系：2 2(1) 點P(xo, yo)在橢圓外算 筠1 ;a b2 2(2) 點P(xo,y。)在橢圓上卑 卑=1;a b2 2(3) 點P(x

3、o,yo)在橢圓內篤欝1a b三橢圓的簡單幾何性質2 2橢圓：篤馬 1 (a b 0)的簡單幾何性質a bx2 y2(1 )對稱性：對于橢圓標準方程2 牙1 (a b 0):說明：把x換a b成 x、或把y換成 y、或把x、y同時換成 x、 y、原方程都不變，2 2所以橢圓 篤 爲 1是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原a b點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。(2)范圍：橢圓上所有的點都位于直線 x a和yb所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足x| a，| y | b。(3)頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。2 2橢圓篤與 1(a b 0)與坐標軸

4、的四個交點即為橢圓的四個頂點, a bA( a,0)，A2(a,0)，B", b)，B2(0,b)坐標分別為2b。a 和線段AA，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，I AA2 I 2a,I B1B I b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。三直線與橢圓的位置關系：(1)相交：0直線與橢圓相交；(2)相切：0直線與橢圓相切；(3)相離：0直線與橢圓相離；2 22 2四.橢圓x y a2 b21與£務1(a b 0)的區別和聯系ab圖形性質標準方程焦占八 '、八、焦距范圍對稱性頂點軸長注意：橢圓2 x 2 a的關系都有不相同。6.弦長公式2 x2 a2y21 (a b 0

5、)by罠stFi( c,0) , F2(c,0)F1F22c關于x軸、y軸和原點對稱(a,0) , (0, b)長軸長=2a，短軸長=2b2 y b2b22 y2 ax21 (a b 0)b&F,0, c) , F2(0,c)2c(0, a) , ( b,0)21y-2ac2 (a b2x2 1 (a b 0)的相同點：形狀、大小都相同；參數間b0);不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標也若直線y kx b與圓錐曲線相交于兩點A、B，且為必分別為A、B的橫坐標，則AB| =J1 k2|x X2I，若如以分別為A、B的縱坐標，則AB =17.圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用

6、“韋達定理”或“點差法”求解。y1k2y2。2 2 2 在橢圓務 每1中，以P(x°,y°)為中點的弦所在直線的斜率k=耳° ;a ba y0第三部分典型例題分析類型一：求橢圓的方程2 21、已知橢圓 mx 3y 6m 0的一個焦點為（0, 2）求m的值.分析：把橢圓的方程化為標準方程，由 c 2，根據關系a2 b2 c2可求出m的值.2 2解：方程變形為 1 因為焦點在y軸上，所以2m 6，解得m 3.6 2m又c 2，所以2m 6 22, m 5適合.故m 5 .2、已知橢圓的中心在原點，且經過點P 3,0 , a 3b，求橢圓的標準方程.分析：因橢圓的中心在

7、原點， 故其標準方程有兩種情況.根據題設條件，運用待定系數法，求出參數a和b （或a2和b2）的值，即可求得橢圓的標準方程.2 2解：當焦點在x軸上時，設其方程為 令 每 1 a b 0 .a b由橢圓過點P 3,0，知弓 0 1 又a 3b，代入得b2 1 , a2 9，故橢圓的方 a b2程為 y21 .92 2當焦點在y軸上時，設其方程為告令a b90由橢圓過點P 3,0，知一2021 .又aa2b23b，聯立解得a281 , b29，故橢圓2 2的方程為 1.8193、 ABC的底邊BC 16, AC和AB兩邊上中線長之和為 30,求此三角形重心 G的軌 跡和頂點A的軌跡.分析：（1）

8、由已知可得 GC GB 20,再利用橢圓定義求解.(2)由G的軌跡方程G、A坐標的關系，利用代入法求 A的軌跡方程.解：(1 )以BC所在的直線為x軸，BC中點為原點建立直角坐標系. 設G點坐標為x,由GC GB 20，知G點的軌跡是以B、C為焦點的橢圓,且除去軸上兩點.因a10，(2)設 A x, y , G2y36x由題意有x3代入，得A的軌跡方程為y32x9002y3241y 0 ，其軌跡是橢圓(除c 8，有 b 6，2 2故其方程為上 L100362，則100去x軸上兩點).4、已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為過P點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點

9、，求橢圓方程.設兩焦點為F1、 F2，且PF14-53，從橢圓定義知2aPF1從PF1sinPF1F2可求出PF2245 即 a <5 .PF2PF2PF1PF1F2所求橢圓方程為知PF2垂直焦點所在的對稱軸，所以在Rt PF2F1 中,2c PF| cos2 5，從而b2a2c21033y2101或102x 21已知橢圓 y類型二：過中點弦直線方程1 11 , (1)求過點P -，丄且被P平分的弦所在直線的方程;2 2（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過A 2,1引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4） 橢圓上有兩點P、Q , O為原點，且有直線 OP、OQ斜率滿足

10、kOP kOQ一，2求線段PQ中點M的軌跡方程.分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法.解：設弦兩端點分別為 M x1, y1 i N x2, y2，線段MN的中點R x, y，則2 為22,一得x-ix2 x-ix22 % y2y1y20 .2 屜2y；2,y2 y1X1y2 (X2x2x,由題意知x1X2，則上式兩端冋除以 捲 X2，有洛 X2 2 y1y1y22y,將代入得x 2y里上 0 XiX2（1）將x i, y 代入，得出22x x21丄,故所求直線方程為:22x 4y 3 0.將代入橢圓方程2 2 2 1x 2y 2 得6y 6y 40，136 4 60符合

11、題意,42x 4y 30為所求.（2）將丫丄 2代入得所求軌跡方程為:x1 X2x 4y 0 .（橢圓內部分）(3)將 y1y2yXiX2X1代入得所求軌跡方程為：2X2 2y2 2x 2y 0 .（橢圓內部分）(4)由+得：2 2X1X22y； y；2,，將平方并整理得2 2,2X1 X2 4x2X1X2 ,，22,2小y1 y2 4y 2%y2,將代入得:4x22論 x24y22y21再將y1 y2x1x2代入式得：2c22x X1X2A 214y 2X1X2 2 ,2即22y彳x11.2此即為所求軌跡方程.當然，此題除了設弦端坐標的方法,還可用其它方法解決.2 22已知一直線與橢圓 4x

12、 9y 36相交于A、B兩點，弦A、B的中點坐標 M 1,1 ,求直 線AB的方程。4x2 x m 21 ,類型三：弦長公式2 21已知橢圓4x y 1及直線y x m.(1 )當m為何值時，直線與橢圓有公共點？(2)若直線被橢圓截得的弦長為 乙10，求直線的方程.5解：(1)把直線方程y x m代入橢圓方程4x2 y2 1得即 5x2 2mx m2102 22m 4 5 m2 1216m2200,解得(2)設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為x1 , x2，由(1)得x1 x22mX1X25m2根據弦長公式得：.1 122mm212.10解得m0 方程為2、已知長軸為12，短軸長為6，焦點在x軸

13、上的橢圓，過它對的左焦點 F!作傾斜解為的3 直線交橢圓于 A，B兩點，求弦 AB的長.分析：可以利用弦長公式 AB <1 k2x1 x2 '(1 k2)(x! x2)2 4x1x2求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求.解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解.AB V1 k2X1 X2.(1k2)(X1x2)2 4x1x23，所以c 3、3 因為焦點在x軸上,2所以橢圓方程為36左焦點F( 3,3,0),從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯立得:13x272 .3x 3680 .設 X1 ,X2為方程兩根，所以X1 X272 313X1X2空,k 3,

14、13AB V1 k2X1X2,(1 k2)(X1 X2)2 4x1X21813(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解2由題意可知橢圓方程為36設AF1BF1則AF212BF212 n .AF1F2AF22AF12F1F22 AF| F| F2 cos3(12m)236 3所以.同理在BF1F2中，用余弦定理得n481323過橢圓 y2 1的左焦點作直線與橢圓交于 A、B兩點，若弦AB的長恰等于短軸長,9求直線方程。2 2x y4若PQ是橢圓 2 1 a b 0不平行于對稱軸的弦， M是PQ中點，0為橢圓中心,a b求證：直線PQ、0M的斜率之積為定值。2x5、設A、B是橢圓y2 1上的兩點，0為

15、坐標原點，4（1） 若直線AB的斜率為-1,且經過橢圓左焦點，求 AB ；（2） 若直線AB在y軸上的焦距為4，且0A，0B的斜率之積等于2，求直線AB的斜率2x6、橢圓2521上的點M到焦點9Fi的距離為2，N為MFi的中點，貝U ON （ 0為坐C. 821恒有公共點，則m的取值范圍是m標原點）的值為（27、直線ykx 仁0與橢圓5(答: 1 ,8、知圓x25)U( 5, + %);y2 1，從這個圓上任意一點 P向y軸作垂線段，求線段中點 M的軌跡.分析：本題是已知一些軌跡，求動點軌跡問題.這種題目一般利用中間變量（相關點）求軌跡方程或軌跡.解:設點M的坐標為（x , y）,點P的坐標為

16、（x0 , y0），則x $ , y y0.22 2 2 2因為P（x° , y°）在圓x2 y2 1上，所以x°y°1 .將X。2x , y0 y代入方程X。y0 1得4x2 y2 1 .所以點M的軌跡是一個橢圓4x2y2 1.229、已知方程xy1表示橢圓，求k的取值范圍.k 53 kk5 0,解：由3k 0,得 3 k 5，且 k 4.k5 3k,滿足條件的k的取值范圍是3 k 5，且k 4 .說明：本題易出現如下錯解：由k 5 0,得3 k 5，故k的取值范圍是3 k 5 3 k 0,出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中 橢圓.a b 0這個條件

17、，當a b時，并不表示2 210、已知 x sin y cos 1 (0）表示焦點在y軸上的橢圓，求的取值范圍.分析：依據已知條件確定的三角函數的大小關系再根據三角函數的單調性，求出取值范圍.2解：方程可化為一一1sin2y1cos1因為焦點在y軸上，所以1cos1sin因止匕sin0 且 tan1從而(,3 )2 42x11、已知橢圓C:41，試確定m的取值范圍,使得對于直線丨：y4x m ,橢圓C說明：（1）由橢圓的標準方程知10, 10 ,這是容易忽視的地方.sincos2由焦點在y軸上，知a1-,b.（3）求 的取值范圍時，應注意題目cossin中的條件0上有不同的兩點關于該直線對稱.

18、分析：若設橢圓上 A , B兩點關于直線I對稱，則已知條件等價于：（1）直線AB l ; （2） 弦AB的中點M在I上.利用上述條件建立 m的不等式即可求得 m的取值范圍.解：法1）設橢圓上A（xi , yj ,B（X2,y2）兩點關于直線l對稱，直線AB與I交于M （x。，y。）占八、 I的斜率kl4 , 設直線AB的方程為y1x42y_Tn,消去y得1,13x28nx16n248112nyoXo4n13，即點M的坐標為13（魯n7m 0將式代入式得13x212n竺）點M在直線13XiX28n13XoXi4n13 ，26mx169m2 48 04x m上，4n13解得A , B是橢圓上的兩點，(26m)2 4 13(169m2 48)0 .解得2.132.13m -131313413（法2）同解法1得出nm ,xo(m)m,41341131 “13YoXom(m)m3m，即M點坐標為（