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文檔簡介
1、第部分橢圓相關知識點講解橢圓的定義及橢圓的標準方程:1.橢圓的定義:平面內一個動點P到兩個定點F,、F2的距離之和等于常數(PFj PF2 | 2a |£F2),這個動點P的軌跡叫橢圓這兩個定點叫橢圓的焦 點,兩焦點的距離叫作橢圓的焦距注意:若(PFj PF2 | Fi F2),則動點P的軌跡為線段;若(PFi | PF? |卩汀2),則動點P的軌跡無圖形2.橢圓的標準方程(1 )當焦點在x軸上時,橢圓的標準方程:2 x2 a2 y b21 (ab 0),其中2 2 . 2cab(2)當焦點在y軸上時,橢圓的標準方程:2y2 a2xb21 (ab 0),其中2 2.2c a b ;注
2、意:1 只有當橢圓的中心為坐標原點,對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時,才能得到橢圓的標準方程;2在橢圓的兩種標準方程中,都有(a b 0)和c2 a2 b2;3 橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在x軸上時,橢圓的焦點坐標為(c,0),( c,0);當焦點在y軸上時,橢圓的焦點坐標為(0,c),(0, c)3圓的參數方程:y bS (其中為參數).4方程Ax2 By2 C表示橢圓的充要條件是什么?( ABC工0,且A,B,C同號,A 工 B)。點與橢圓的位置關系:2 2(1) 點P(xo, yo)在橢圓外算 筠1 ;a b2 2(2) 點P(xo,y。)在橢圓上卑 卑=1;a b2 2(3) 點P(x
3、o,yo)在橢圓內篤欝1a b三橢圓的簡單幾何性質2 2橢圓:篤馬 1 (a b 0)的簡單幾何性質a bx2 y2(1 )對稱性:對于橢圓標準方程2 牙1 (a b 0):說明:把x換a b成 x、或把y換成 y、或把x、y同時換成 x、 y、原方程都不變,2 2所以橢圓 篤 爲 1是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形,并且是以原a b點為對稱中心的中心對稱圖形,這個對稱中心稱為橢圓的中心。(2)范圍:橢圓上所有的點都位于直線 x a和yb所圍成的矩形內,所以橢圓上點的坐標滿足x| a,| y | b。(3)頂點:橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。2 2橢圓篤與 1(a b 0)與坐標軸
4、的四個交點即為橢圓的四個頂點, a bA( a,0),A2(a,0),B", b),B2(0,b)坐標分別為2b。a 和線段AA,B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸,I AA2 I 2a,I B1B I b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。三直線與橢圓的位置關系:(1)相交:0直線與橢圓相交;(2)相切:0直線與橢圓相切;(3)相離:0直線與橢圓相離;2 22 2四.橢圓x y a2 b21與£務1(a b 0)的區別和聯系ab圖形性質標準方程焦占八 '、八、焦距范圍對稱性頂點軸長注意:橢圓2 x 2 a的關系都有不相同。6.弦長公式2 x2 a2y21 (a b 0
5、)by罠stFi( c,0) , F2(c,0)F1F22c關于x軸、y軸和原點對稱(a,0) , (0, b)長軸長=2a,短軸長=2b2 y b2b22 y2 ax21 (a b 0)b&F,0, c) , F2(0,c)2c(0, a) , ( b,0)21y-2ac2 (a b2x2 1 (a b 0)的相同點:形狀、大小都相同;參數間b0);不同點:兩種橢圓的位置不同;它們的焦點坐標也若直線y kx b與圓錐曲線相交于兩點A、B,且為必分別為A、B的橫坐標,則AB| =J1 k2|x X2I,若如以分別為A、B的縱坐標,則AB =17.圓錐曲線的中點弦問題:遇到中點弦問題常用
6、“韋達定理”或“點差法”求解。y1k2y2。2 2 2 在橢圓務 每1中,以P(x°,y°)為中點的弦所在直線的斜率k=耳° ;a ba y0第三部分典型例題分析類型一:求橢圓的方程2 21、已知橢圓 mx 3y 6m 0的一個焦點為(0, 2)求m的值.分析:把橢圓的方程化為標準方程,由 c 2,根據關系a2 b2 c2可求出m的值.2 2解:方程變形為 1 因為焦點在y軸上,所以2m 6,解得m 3.6 2m又c 2,所以2m 6 22, m 5適合.故m 5 .2、已知橢圓的中心在原點,且經過點P 3,0 , a 3b,求橢圓的標準方程.分析:因橢圓的中心在
7、原點, 故其標準方程有兩種情況.根據題設條件,運用待定系數法,求出參數a和b (或a2和b2)的值,即可求得橢圓的標準方程.2 2解:當焦點在x軸上時,設其方程為 令 每 1 a b 0 .a b由橢圓過點P 3,0,知弓 0 1 又a 3b,代入得b2 1 , a2 9,故橢圓的方 a b2程為 y21 .92 2當焦點在y軸上時,設其方程為告令a b90由橢圓過點P 3,0,知一2021 .又aa2b23b,聯立解得a281 , b29,故橢圓2 2的方程為 1.8193、 ABC的底邊BC 16, AC和AB兩邊上中線長之和為 30,求此三角形重心 G的軌 跡和頂點A的軌跡.分析:(1)
8、由已知可得 GC GB 20,再利用橢圓定義求解.(2)由G的軌跡方程G、A坐標的關系,利用代入法求 A的軌跡方程.解:(1 )以BC所在的直線為x軸,BC中點為原點建立直角坐標系. 設G點坐標為x,由GC GB 20,知G點的軌跡是以B、C為焦點的橢圓,且除去軸上兩點.因a10,(2)設 A x, y , G2y36x由題意有x3代入,得A的軌跡方程為y32x9002y3241y 0 ,其軌跡是橢圓(除c 8,有 b 6,2 2故其方程為上 L100362,則100去x軸上兩點).4、已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上,點P到兩焦點的距離分別為過P點作焦點所在軸的垂線,它恰好過橢圓的一個焦點
9、,求橢圓方程.設兩焦點為F1、 F2,且PF14-53,從橢圓定義知2aPF1從PF1sinPF1F2可求出PF2245 即 a <5 .PF2PF2PF1PF1F2所求橢圓方程為知PF2垂直焦點所在的對稱軸,所以在Rt PF2F1 中,2c PF| cos2 5,從而b2a2c21033y2101或102x 21已知橢圓 y類型二:過中點弦直線方程1 11 , (1)求過點P -,丄且被P平分的弦所在直線的方程;2 2(2)求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程;(3)過A 2,1引橢圓的割線,求截得的弦的中點的軌跡方程;(4) 橢圓上有兩點P、Q , O為原點,且有直線 OP、OQ斜率滿足
10、kOP kOQ一,2求線段PQ中點M的軌跡方程.分析:此題中四問都跟弦中點有關,因此可考慮設弦端坐標的方法.解:設弦兩端點分別為 M x1, y1 i N x2, y2,線段MN的中點R x, y,則2 為22,一得x-ix2 x-ix22 % y2y1y20 .2 屜2y;2,y2 y1X1y2 (X2x2x,由題意知x1X2,則上式兩端冋除以 捲 X2,有洛 X2 2 y1y1y22y,將代入得x 2y里上 0 XiX2(1)將x i, y 代入,得出22x x21丄,故所求直線方程為:22x 4y 3 0.將代入橢圓方程2 2 2 1x 2y 2 得6y 6y 40,136 4 60符合
11、題意,42x 4y 30為所求.(2)將丫丄 2代入得所求軌跡方程為:x1 X2x 4y 0 .(橢圓內部分)(3)將 y1y2yXiX2X1代入得所求軌跡方程為:2X2 2y2 2x 2y 0 .(橢圓內部分)(4)由+得:2 2X1X22y; y;2,,將平方并整理得2 2,2X1 X2 4x2X1X2 ,,22,2小y1 y2 4y 2%y2,將代入得:4x22論 x24y22y21再將y1 y2x1x2代入式得:2c22x X1X2A 214y 2X1X2 2 ,2即22y彳x11.2此即為所求軌跡方程.當然,此題除了設弦端坐標的方法,還可用其它方法解決.2 22已知一直線與橢圓 4x
12、 9y 36相交于A、B兩點,弦A、B的中點坐標 M 1,1 ,求直 線AB的方程。4x2 x m 21 ,類型三:弦長公式2 21已知橢圓4x y 1及直線y x m.(1 )當m為何值時,直線與橢圓有公共點?(2)若直線被橢圓截得的弦長為 乙10,求直線的方程.5解:(1)把直線方程y x m代入橢圓方程4x2 y2 1得即 5x2 2mx m2102 22m 4 5 m2 1216m2200,解得(2)設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為x1 , x2,由(1)得x1 x22mX1X25m2根據弦長公式得:.1 122mm212.10解得m0 方程為2、已知長軸為12,短軸長為6,焦點在x軸
13、上的橢圓,過它對的左焦點 F!作傾斜解為的3 直線交橢圓于 A,B兩點,求弦 AB的長.分析:可以利用弦長公式 AB <1 k2x1 x2 '(1 k2)(x! x2)2 4x1x2求得,也可以利用橢圓定義及余弦定理,還可以利用焦點半徑來求.解:(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解.AB V1 k2X1 X2.(1k2)(X1x2)2 4x1x23,所以c 3、3 因為焦點在x軸上,2所以橢圓方程為36左焦點F( 3,3,0),從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯立得:13x272 .3x 3680 .設 X1 ,X2為方程兩根,所以X1 X272 313X1X2空,k 3,
14、13AB V1 k2X1X2,(1 k2)(X1 X2)2 4x1X21813(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解2由題意可知橢圓方程為36設AF1BF1則AF212BF212 n .AF1F2AF22AF12F1F22 AF| F| F2 cos3(12m)236 3所以.同理在BF1F2中,用余弦定理得n481323過橢圓 y2 1的左焦點作直線與橢圓交于 A、B兩點,若弦AB的長恰等于短軸長,9求直線方程。2 2x y4若PQ是橢圓 2 1 a b 0不平行于對稱軸的弦, M是PQ中點,0為橢圓中心,a b求證:直線PQ、0M的斜率之積為定值。2x5、設A、B是橢圓y2 1上的兩點,0為
15、坐標原點,4(1) 若直線AB的斜率為-1,且經過橢圓左焦點,求 AB ;(2) 若直線AB在y軸上的焦距為4,且0A,0B的斜率之積等于2,求直線AB的斜率2x6、橢圓2521上的點M到焦點9Fi的距離為2,N為MFi的中點,貝U ON ( 0為坐C. 821恒有公共點,則m的取值范圍是m標原點)的值為(27、直線ykx 仁0與橢圓5(答: 1 ,8、知圓x25)U( 5, + %);y2 1,從這個圓上任意一點 P向y軸作垂線段,求線段中點 M的軌跡.分析:本題是已知一些軌跡,求動點軌跡問題.這種題目一般利用中間變量(相關點)求軌跡方程或軌跡.解:設點M的坐標為(x , y),點P的坐標為
16、(x0 , y0),則x $ , y y0.22 2 2 2因為P(x° , y°)在圓x2 y2 1上,所以x°y°1 .將X。2x , y0 y代入方程X。y0 1得4x2 y2 1 .所以點M的軌跡是一個橢圓4x2y2 1.229、已知方程xy1表示橢圓,求k的取值范圍.k 53 kk5 0,解:由3k 0,得 3 k 5,且 k 4.k5 3k,滿足條件的k的取值范圍是3 k 5,且k 4 .說明:本題易出現如下錯解:由k 5 0,得3 k 5,故k的取值范圍是3 k 5 3 k 0,出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中 橢圓.a b 0這個條件
17、,當a b時,并不表示2 210、已知 x sin y cos 1 (0)表示焦點在y軸上的橢圓,求的取值范圍.分析:依據已知條件確定的三角函數的大小關系再根據三角函數的單調性,求出取值范圍.2解:方程可化為一一1sin2y1cos1因為焦點在y軸上,所以1cos1sin因止匕sin0 且 tan1從而(,3 )2 42x11、已知橢圓C:41,試確定m的取值范圍,使得對于直線丨:y4x m ,橢圓C說明:(1)由橢圓的標準方程知10, 10 ,這是容易忽視的地方.sincos2由焦點在y軸上,知a1-,b.(3)求 的取值范圍時,應注意題目cossin中的條件0上有不同的兩點關于該直線對稱.
18、分析:若設橢圓上 A , B兩點關于直線I對稱,則已知條件等價于:(1)直線AB l ; (2) 弦AB的中點M在I上.利用上述條件建立 m的不等式即可求得 m的取值范圍.解:法1)設橢圓上A(xi , yj ,B(X2,y2)兩點關于直線l對稱,直線AB與I交于M (x。,y。)占八、 I的斜率kl4 , 設直線AB的方程為y1x42y_Tn,消去y得1,13x28nx16n248112nyoXo4n13,即點M的坐標為13(魯n7m 0將式代入式得13x212n竺)點M在直線13XiX28n13XoXi4n13 ,26mx169m2 48 04x m上,4n13解得A , B是橢圓上的兩點,(26m)2 4 13(169m2 48)0 .解得2.132.13m -131313413(法2)同解法1得出nm ,xo(m)m,41341131 “13YoXom(m)m3m,即M點坐標為(
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