1、定積分的應用定積分的應用問題情境復習引入）問題情境復習引入）1、求曲邊梯形的思想方法是什么？、求曲邊梯形的思想方法是什么？2、定積分的幾何意義是什么？、定積分的幾何意義是什么？3、微積分基本定理是什么？、微積分基本定理是什么？ 我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功 例例1、求曲線、求曲線 與直線與直線 x軸所圍成的圖形面積。軸所圍成的圖形面積。 32, 0 sin xxy,32, 0 xx 略解：根據(jù)定積分的幾何意義所求面積為 2332320 oxxdxS|cossin例題研究例題研究 （一利用定積分求平面圖形（一利用定積分求平面圖形的面積的面積 我行我行 我能我能 我要成功

2、我要成功 我能成功我能成功平面圖形的面積平面圖形的面積 badxxfA)(平面圖形的面積平面圖形的面積 badxxfxfA)()(12xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab)(1xfy )(2xfy 平面圖形的面積平面圖形的面積2121( )( )( )( )bbaabaAfx dxf x dxfxf x dxab平面圖形的面積平面圖形的面積 ( )baAf x dx)(xfy ab平面圖形的面積平面圖形的面積21( )( )baAfxf x dx 特別注意圖形面積與定積分不一定相等特別注意圖形面積與定積分不一定相等, 2 ,sin xxy的圖像與的圖像與x軸圍成的圖形的

3、面積為軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為而其定積分為0. 如函數(shù)如函數(shù))(1xfy )(2xfy ab變式引申：變式引申： 1 1、求直線、求直線 與拋物線與拋物線 所圍成的圖形面積。所圍成的圖形面積。32 xy2xy 332| )33)323132231 xxxdxxxS（32 xy 略解：如圖直線略解：如圖直線與拋物線與拋物線2xy 的交點的交點坐標為（坐標為（1 1，1 1）和和3，9），那么），那么我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功變式引申變式引申2、求由拋物線、求由拋物線342 xxy 及其在點及其在點M0，3和和N3，0處的兩條切線所圍成處的兩條切線所圍成的圖

4、形的面積。的圖形的面積。 xyoy=x2+4x-3略解：略解：42 xy/則在則在M M、N N點處的切線方程點處的切線方程分別為分別為、34 xy62 xy3220S4x 3x4x 3 dx() () （3/2，3）323292x6x4x3 dx4()() 變式引申變式引申3、在曲線、在曲線)0(2xxy 上的某點上的某點A處作處作一切線使之與曲線以及一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為軸所圍成的面積為121.試求：切點試求：切點A的坐標以及切線方程的坐標以及切線方程. x yOy=x2ABC略解：略解：設切點坐標為設切點坐標為),200 xx（xy2 /2002xxxy 則切線方程為則切

5、線方程為切線與切線與x x軸的交點坐標為軸的交點坐標為),(020 x),(020 x0 x0(, ) 則由題可知有則由題可知有1211223022002202000 xdxxxxxdxxSxxx)(10 x所以切點坐標與切線方程分別為12),1 , 1 (Axy0 x2200030 x1Sx dxx22x11212(:)另解x yOy=x2ABC （1畫圖畫圖,并將圖形分割為若干個并將圖形分割為若干個曲邊梯形；曲邊梯形； （2對每個曲邊梯形確定其存在對每個曲邊梯形確定其存在的范圍的范圍,從而確定積分的上、下限；從而確定積分的上、下限； （3確定被積函數(shù)；確定被積函數(shù)； （4求出各曲邊梯形的面

6、積和求出各曲邊梯形的面積和,即即各積分的絕對值的和。各積分的絕對值的和。 小結(jié)小結(jié): :求平面圖形面積的方法與步驟：求平面圖形面積的方法與步驟：我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功x型區(qū)域：型區(qū)域： 以及以及x(1)曲線曲線fyf0 xx( )() ）與直線與直線)(,babxax 軸所圍成的曲邊梯形的面積：軸所圍成的曲邊梯形的面積：以及以及(2)曲線曲線fyf0 xx( )() ）與直線與直線)(,babxax x軸所圍成的曲邊梯形的面積：軸所圍成的曲邊梯形的面積： badxxfS)( y)(xfy abxy)(xfy abxb badxxfS)(我行我行 我能我能 我要成

7、功我要成功 我能成功我能成功幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法：幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法：(3)兩條曲線兩條曲線）其中其中，)()()()(xgxfxgyxfy 與直線與直線)(,babxax 圍成的曲邊梯形的面積圍成的曲邊梯形的面積:baSf xg x dx ( )( ) badxxgxfS| )()(|y)(xfy )(xgy axby)(xfy )(xgy abxby)(xfy )(xgy abx)(xfy )(xfy aabbyyxxy型區(qū)域：型區(qū)域： 我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功可由可由)(xfy 先求出先求出)(yhx 然后利用然后利用 badyyh

8、S)(求出求出 可由可由)(xfy 先求出先求出)(yhx 然后用然后用 badyyhS)( 求出求出 badyyhyhS| )()(|21用用求求變式引申變式引申4、求曲線、求曲線xy2log 與曲線與曲線)(logxy 42以及以及x軸所圍成的圖形面積。軸所圍成的圖形面積。 略解：如圖由略解：如圖由xy2log 得得yyfx2 )(當當 時時y0 1g yf y( , )( )( )，則所求圖形的面積為則所求圖形的面積為11y00Sg yf y dy42 2 dy( )( )() 【eeyy210224224log| )log （由由)(logxy 42yygx24 )(得得我行我行 我能

9、我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功（二定積分在物理中應用（二定積分在物理中應用(1)求變速直線運動的路程求變速直線運動的路程例題研究例題研究 v/m/st/s10406030OABC 例例4 4、A A、B B兩站相距兩站相距7.2km,7.2km,一輛電車從一輛電車從A A站站開往開往B B站站, ,電車開出電車開出ts ts后到達途中后到達途中C C點點, ,這一段的這一段的速度為速度為1.2t(m/s),1.2t(m/s),到到C C點的速度為點的速度為24m/s,24m/s,從從C C點點到到B B點前的點前的D D點以等速行駛點以等速行駛, ,從從D D點開始剎車點開始剎車,

10、,經(jīng)經(jīng)ts ts后后, ,速度為速度為(24-1.2t)m/s,(24-1.2t)m/s,在在B B點恰好停車點恰好停車, ,試求試求（1 1A A、C C間的距離間的距離; ;（2 2B B、D D間的距離間的距離; ;（3 3電車從電車從A A站到站到B B站所需的時間。站所需的時間。 略解略解: (1)設設A到到C的時間為的時間為t1則則1.2t=24, t1=20(s),則則AC 20020022406021)(|.mttdt(2)設D到B的時間為t2則24-1.2t2=0, t2=20(s),則DB 2002002240602124)(|.mtdtt）（3CD=7200-2 240=

11、6720(m),則從C到D的時間為280(s),則所求時間為20+280+20=320s） 說明：作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a,b上的定積分,即 badttvS)( (2)變力沿直線所做的功變力沿直線所做的功 例例4：如果：如果1N能拉長彈簧能拉長彈簧1cm,為了將彈簧為了將彈簧拉長拉長6cm,需做功（需做功（ ）A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J所以做功就是求定積分所以做功就是求定積分0 060100 xdx0 18.kxF 則由題可得則由題可得k100。 略解：設略解：設A 說明：物體在變力說明

12、：物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并的作用下做直線運動，并且物體沿著與且物體沿著與F(x)相同的方向從相同的方向從x=a點移動到點移動到x= b點，點，則變力則變力F(x) 所做的功為所做的功為: badxxFW)( 解解兩曲線的交點兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(1 12 20 0S S = =( ( x x - -x x ) )d dx x10333223 xx.31 邊邊曲梯形OABC曲梯形OABDS= S-Soxy2yx2yx2xy yxABCDO11200 xdxx dx201yxxxyx及解解兩曲線的交點兩曲線的交點(8,4).24yxyx直線與直線與x軸交點為軸交點

13、為(4,0)2yx4 xy88042(4)xdxxdxS1S24881204422(4)SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282042 2140|(4 )|323xxx解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy8281202222( 24)SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822024 22 21166426|(4 )|18332333xxxx28022 2( 24)xdxxxdx2解解兩曲線的交點兩曲線的交點).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy32012)6(xA

14、dxxx23320(6 )xAxx dx2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式2xy xxy63 1A2A例例2:求由曲線求由曲線142 xxy,所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 例題研究例題研究 (三三)利用定積分求曲邊旋轉(zhuǎn)體的利用定積分求曲邊旋轉(zhuǎn)體的體積體積 2410 dxxVxyox=1xy42 分析：分析：（1分割分割; (2)以直代曲；以直代曲；（3求和；求和； (4)迫近。迫近。變式引申變式引申:某電廠冷卻塔外形如圖所示某電廠冷卻塔外形如圖所示,雙曲線的一部分繞雙曲線的一部分繞其中軸其中軸(雙曲線的虛軸雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A,A是