1、數學與統計學院2015屆畢業論文數列極限的幾種計算方法數學的應用，在我們的生活中隨處可見，而數學分析中的數列極限是高等數學的重要內容，是貫穿于整個微積分教學的主線,它描述了變量在運動過程中的變化趨勢，是從有限認識無限,從近似認識精確，從量變認識質變的必備推理工具.同時，數列極限又是極限的基礎，它的計算是微積分教學中的重點和難點，所以本文通過典型實例，對數列極限的計算方法做了一些規律性的分析和總結.二 計算方法1 定義法設為數列，為任一常數，若對任給的,總存在,使得當時,有,則稱數列收斂于,或稱數列以為極限. 注1 一般來說，用定義求數列極限局限性很大，它更多地被應用于有關極限值的相關證明，對于

2、如何用數列極限定義證明數列極限問題，常用的基本方法有:適當放大法，條件放大法.例題1 用定義法證明數列極限分析 由于 （1）因此，對任給的只要便有即當左邊的式子成立.又由于（1）式是在的條件下成立的，故應取 證明 任給取根據分析，當時有 成立.于是此題得證.2 利用數列極限的四則運算法則計算數列極限設極限與均存在，則 注2 數列極限的四則運算只能推廣到有限個數列的情況，而不能推廣到無限個數列或不定個數的數列上去.例題2 求極限 分析 由于，所以有，.于是給分子分母同時除以，再利用數列極限四則運算法計算即可.解 .3 利用數列的一些特征計算數列極限注3 此種方法也就是直接將數列進行化簡，從而計算

3、出數列極限.方法只適用于一些特殊的數列，不具有一般性.例題3 計算極限分析 觀察數列，可以看出數列極限為，通項，由，所以括號中的式子可用裂項相消法計算，以此可以解出數列極限.解 4 利用夾逼準則計算數列極限設均存在，且，若數列滿足，則有注4 利用夾逼準則求極限的關鍵是:將原數列適當地放大和縮小， 使得放大后和縮小后的兩個新數列的極限值相等，則原數列的極限值存在且等于新數列的極限值.例題4 計算數列極限分析 括號里的數列極限不能用上面的方法，但是，數列可以放大和縮小，所以關鍵是找到極限值相等的數列與，進而可以用夾逼準則來計算數列極限.解 5 利用“單調有界數列必有極限”準則求解數列極限(a)如果

4、數列單調增加且有上界，即存在數M,使得那么存在且不大于M.(b)如果數列單調遞減且下界，即存在數m,使得那么存在且不小于m.注5 遞推數列極限的計算是數列極限計算中的一大類問題.而“單調有界準則”是判別遞推數列極限是否存在最常用的一種方法，它不用借助其它數列而是直接利用所給數列自身的單調性和有界性來判別極限的存在性.例題5 計算數列極限分析 (1)通過觀察可以看出即數列單調增加；（2）即數列有上界.所以，由單調有界準則知，數列極限存在，設，然后計算出常數即為數列極限.解 由單調有界準則知，數列極限存在，設所以給等式兩邊取極限得 例題6 設，證明數列，收斂，且有相同的極限.分析 因數列與數列之間

5、有大小關系，所以只要明確兩者之間的關系，利用夾逼準則，就可證明兩個數列極限均存在，進而證明兩個極限相等.解 且有，.所以 數列單調遞減有下界，數列單調增加有上界；由單調有界準則知 兩個數列的極限均存在.設于是有 求出即兩個數列有相等的極限.6 利用多項式型極限性質求得數列極限多項式型極限：例題7 求極限解 由上面的性質可知此題的極限屬于型所以7 利用數列與子列的關系計算數列極限定理 若數列收斂于，則它的任何子列也收斂于,即 注6 此定理經常被用來判斷一個數列的發散,即若數列有兩個子列極限 不相等,則數列必定發散. 例題8 證明數列發散.證明 取則子列收斂于0，而子列收斂于1，所以 由上面定理及

6、注意的可知數列發散.8 利用柯西收斂原理計算數列極限定義 數列,若對任意給的,存在,使得當時,成立,則稱數列是一個基本數列.柯西收斂原理 數列收斂的充分必要條件是：數列是基本數列.例題9 證明數列收斂 .證明 對,當時,有所以,取，則由數列收斂的柯西準則知，數列是收斂的.9 利用壓縮性條件計算數列極限定理 數列滿足條件：則數列收斂.例題10 已知數列，證明數列極限存在,并求此極限.解 由假設知且易證,于是即數列滿足壓縮性條件，所以數列極限存在.假設極限為，即，則由遞推公式得 ，解之，得到或(舍去)，所以.10 利用兩個重要極限計算數列極限(a) (b) 注7 使用此種方法，關鍵是將數列經過變形

7、化成必要的形式,而且此種方法使用的很普遍,特別是第二個極限要著重掌握并靈活運用.例題11 求極限分析 由于原式中出現，立刻想到用重要極限，但是首先要對原式進行變形，得到我們需要的形式，再進行求解.解 因為 利用重要極限得原式=0.例題8 求極限分析 利用重要極限，關鍵是要極限符合型.解 =11 應用函數極限與數列極限關系求極限 函數極限與數列極限關系是:若，則.例題9 求數列極限分析 這是數列極限，利用函數極限與數列極限的關系，要先得找到數列所對應的函數，再求函數極限，進而得到數列極限.解 數列極限對應的函數極限為,對,用公式得 而 于是12 利用等價無窮小替換法求極限注8 應用這個關系可以用

8、求函數極限的方法求某些函數的極限， 其關鍵是找相應的函數. 常見的一些等價無窮小量：當時，定理 設函數在上有定義，且有 (1) 若則(2) 若則例題10 求極限 分析 先將數列極限轉換成函數極限，然后再利用上面的等價變換求解.解 令原極限中的，則數列極限所對應的函數極限為于是=,進而特別的 在利用等價無窮小量代換求極限時，只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代.例題11 求極限 分析 對這道題，如果用當時，則會得到錯誤的結果0.解 事實上當時，所以 13 利用定積分定義求數列極限應用定積分定義求數列的極限就是把數列的通項看作是某個

9、連續函數在某個區間上的積分和， 然后通過計算定積分的值來求解數列的極限.關鍵是利用例題12 設求極限分析 可將數列化為，于是利用定積分定義，在區間中加入個分點，將區間分割成等分，令且，其中區間長度；然后數列求極限就是黎曼和求極限，而黎曼和求極限就是用到定積分定義，所以可將極限轉換成定積分進行計算.解 令，由分析可得14 利用泰勒展式求解數列極限下面是一些常用函數的泰勒展式：其中，上面的是泰勒余項,且例題13 求分析 這是的極限，可以用洛必達法則計算，但是計算量非常大；用泰勒展式可以大大減小計算量，不易出錯，計算方便.解 利用泰勒公式 15 利用級數理論和級數收斂的必要條件求數列極限級數收斂的必

10、要條件: 若級數收斂，則應用這個結論求某些數列的極限方法是把給定的數列通項看作是某個級數的通項， 然后用級數的斂散性判別法， 判定該級數收斂， 此時數列的極限必為零.級數是一個無窮序列和的形式，其部分和就是一個數列，有時為求方便可將數列極限看做某個級數的部分和，這樣可以使得計算更加簡捷，更高效的得出結果.例題14 求分析 我們知道形如的數列極限值是歐拉常數,有（c是歐拉常數）.所以此題可以利用這一結論進行計算. 解 =由分析可知上式=16 用Stolz定理求解數列極限Stolz定理：設數列與數列，數列是單調增加的正無窮大量，且（可以是有限量，與），則 證明 首先考慮=0的情況.由,可知：由于數

11、列是正無窮大量，顯然 可以要求,于是,因為 固定,又可以取到從而 當是非零有限數時,令于是從而由得到 對于的情況，首先于是也單調增加，且從可知是正無窮大量.將前面的結論應用到,得到因而 對于的情況，證明方法和上面的類同.例題15 設求極限解 令，由于是得到 例題16 求極限 （為自然數）.解 令,由 =得到 例題17 利用Stolz定理，證明證明 令,由 = =.特別地，（1）在Stolz 定理中,若,不能得出的結論.如取,但是，即極限不存在.（2）在Stolz定理中,若不存在，不能得出不存在的結論.如取,不存在，但是,即17 利用Stiring公式求極限Stiring公式：.例題18 計算解

12、 于是其中為歐拉常數.18 利用無窮小量與無窮大量的關系求解極限（1）若，則（2）若且，則例題19 求下列極限（1） （2）解 （1）由，故.（2）由，故.19 變量替換法求解極限例題20 求極限 分析 當時，分子分母都趨于，不能直接用法則，但是可注意到，所以作變量替換可以求解.解 令，則 原式=.20 利用拉格朗日中值定理求解極限定理 若函數滿足下面條件：（1）函數在閉區間上連續；（2）函數在開區間內可導；則 在內至少存在一點，使得.上式可變形為： 例題21 求解極限解 令，應用拉格朗日中值定理即 因為連續，所以.從而有21 利用公式法求解數列極限已知極限：(1); (2); (3);(4)

13、; (5); (6);(7) ; (8) (歐拉常數)；(9) 若,則；(10) 若,則；(11) 若,則.三 結束語本文討論了幾種求數列極限的方法 , 注意發現和利用數列的特性 ,選擇適當的方法,有時還要運用一些技巧 ，進行數列極限的求解。同時，在學習數列極限的理論時 ,只有不斷總結 , 不斷完善知識理論和結構 , 才能在解題思路中有所發現 , 有所創新 . 本文列舉的十二種求數列極限的方法是有限的 , 還有更多更好的解題方法和思路 , 需要我們進一步去總結 .參考文獻1 數學分析（上冊）,第四版 . 北京： 高等教育出版社，2010.72 數學分析（下冊），第四版 . 北京： 高等教育出版社，2010.73陳紀修 於崇華 金路.數學分析（上冊）. 北京 ：高等教育出版社，1999.4陳紀修 於崇華 金路.數學分析（下冊）. 北京 ：高等教育出版社，1999.5張天德 孫書榮 數學分析輔導及習題精解（華東師大第四版 上冊）.延吉：延邊大學出版社