1、數列、極限和數學歸納法安徽理11如下圖，程序框圖算法流程圖的輸出結果是_【解析】由算法框圖可知，假設t105，那么k14，繼續執行循環體，這時k15，t>105，所以輸出的k值為15.18本小題總分值12分在數1和100之間插入個實數，使得這個數構成遞增的等比數列，將這個數的乘積記作，再令.求數列的通項公式；設求數列的前項和.本小題總分值13分此題考查等比和等差數列，指數和對數的運算，兩角差的正切公式等根本知識，考查靈活運用知識解決問題的能力，綜合運算能力和創新思維能力.解：i設構成等比數列，其中那么 ， ×并利用ii由題意和i中計算結果，知另一方面，利用得所以安徽文7假設數列

2、的通項公式是,那么a 15 (b) 12 (c ) (d) 【解析】法一：分別求出前10項相加即可得出結論；法二：，故.應選a.北京理中，假設，那么公比_；_.【解析】，是以為首項，以2為公比的等比數列，。：，滿足，2，那么稱為e數列。記.1寫出一個滿足，且的e數列；2假設，證明：e數列是遞增數列的充要條件是；3對任意給定的整數，是否存在首項為0的e數列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的e數列；如果不存在，說明理由。解：0，1，2，1，0是一具滿足條件的e數列a5。答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的e的數列a5必要性：因為e數列a5是遞增數列，所以.所以a5=12+1×

3、;1=.充分性，由于aa10001，aa10001a2a11所以aa19999，即aa1+1999.又因為a1=12，a=,所以a=a1+1999.故是遞增數列.綜上，結論得證。令因為所以因為所以為偶數,所以要使為偶數,即4整除.當時，有當的項滿足，當不能被4整除，此時不存在e數列an，使得北京文14設,，。記為平行四邊形內部不含邊界的整點的個數，其中整點是指橫、縱坐標都是整數的點，那么 ；的所有可能取值為 。6；6，7，820本小題共13分假設數列滿足，那么稱為數列，記。i寫出一個數列滿足；ii假設，證明：數列是遞增數列的充要條件是iii在的數列中，求使得=0成立的的最小值解：0，1，0，1

4、，0是一具滿足條件的e數列a5。答案不唯一，0，1，0，-1，0也是一個滿足條件的e的數列a5必要性：因為e數列a5是遞增數列，所以.所以a5=12+1×1=.充分性，由于aa10001，aa10001a2a11所以aa19999，即aa1+1999.又因為a1=12，a=,所以a=a1+1999.故是遞增數列.綜上，結論得證。所以有：，；相加得：，所以在的數列中，使得=0成立的的最小值為9。福建理16(本小題總分值13分) 等比數列的公比，前3項和() 求數列的通項公式； () 假設函數在處取得最大值，且最大值為，求函數的解析式解：()由得，所以；()由()得，因為函數最大值為3，

5、所以，又當時函數取得最大值，所以，因為，故，所以函數的解析式為。福建文17本小題總分值12分數列an中，a11，a33。求數列an的通項公式；假設數列an的前k項和sk35，求k的值。解：由a11，a33得，所以an32n；，解得k7。廣東理，那么 .20.本小題總分值12分設數列滿足,(1)求數列的通項公式；(2)證明：對于一切正整數n,廣東文11是遞增等比數列，那么此數列的公比 220本小題總分值14分 設b>0,數列滿足,（1） 求數列的通項公式；（2） 證明：對于一切正整數,解：1；2，；，。湖北理12.九章算術“竹九節問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面

6、4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，那么第5節的容積為 升.【答案】解析：設該數列的首項為，公差為，依題意，即，解得，那么，所以應該填.19.本小題總分值13分數列的前項和為，且滿足：， n*，.求數列的通項公式； 假設存在 n*，使得，成等差數列，試判斷：對于任意的n*，且，是否成等差數列，并證明你的結論.解：由：得，兩式相減得，又所以當時數列為：，0，0，0，當時，由，所以，于是所以數列成等比數列，即當時綜上數列的通項公式為對于任意的，且，成等差數列，證明如下：當時由知，此時，成等差數列；當時，假設存在 n*，使得，成等差數列，那么2=+，由知數列的公比，于是對于任意的n*，且，；所以

7、2=+即，成等差數列；綜上：對于任意的，且，成等差數列。湖北文17.本小題總分值12分成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列中的、。(i) 求數列的通項公式；(ii) 數列的前n項和為，求證：數列是等比數列。解：(i)設成等差數列的三個正數分別為；那么；數列中的、依次為，那么；得或舍，于是(ii) 數列的前n項和，即因此數列是公比為2的等比數列。湖南文20此題總分值13分某企業在第1年初購置一臺價值為120萬元的設備m，m的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初m的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初m的價值為上年初的75%i求第

8、n年初m的價值的表達式；ii設假設大于80萬元，那么m繼續使用，否那么須在第n年初對m更新，證明：須在第9年初對m更新解析：i當時，數列是首項為120，公差為的等差數列 當時，數列是以為首項，公比為為等比數列，又，所以 因此，第年初，m的價值的表達式為(ii)設表示數列的前項和，由等差及等比數列的求和公式得當時，當時，因為是遞減數列，所以是遞減數列，又所以須在第9年初對m更新湖南理12、設是等差數列的前項和，且，那么答案：25解析：由可得，所以。江蘇，其中成公比為q的等比數列，成公差為1的等差數列，那么q的最小值是_.答案：.解析：由題意：，而的最小值分別為1，2，3；.此題主要考查綜合運用等

9、差、等比的概念及通項公式，不等式的性質解決問題的能力,考查抽象概括能力和推理能力，此題屬難題.20.本小題總分值16分設m為局部正整數組成的集合，數列的首項，前n項和為，對任意整數k屬于m，當n>k時，都成立.1設m=1，求的值；2設m=3，4，求數列的通項公式.答案:1即：所以，n>1時，成等差，而，2由題意：，當時，由12得：由34得： 由13得：由24得：由78知：成等差，成等差；設公差分別為：由56得：由910得：成等差，設公差為d,在12中分別取n=4,n=5得：解析：此題主要考查數列的概念,通項與前n項和的關系,等差數列概念及根本性質、和與通項關系、集合概念、全稱量詞,

10、轉化與化歸、考查分析探究及邏輯推理解決問題的能力，其中1是中等題，2是難題.江西理5. 數列的前項和滿足：，且，那么a.1 b.9 c【答案】a【解析】，可得，可得，同理可得，應選a18. 本小題總分值12分兩個等比數列，滿足，.1假設，求數列的通項公式；2假設數列唯一，求的值.【解析】1設的公比為，那么，由，成等比數列得，即，解得，所以的通項公式或.2 設的公比為，那么由，得由得，故方程*有兩個不同的實根.由唯一，知方程*必有一根為0，代入*得.江西文5.設為等差數列，公差d = -2，那么= a.18 b.20 c.22 d.24答案：b 解析： 21.(本小題總分值14分 1兩個等比數列

11、，滿足， 假設數列唯一，求的值； 2是否存在兩個等比數列，使得成公差為的等差數列？假設存在，求 的通項公式；假設存在，說明理由解：1要唯一，當公比時，由且， ，最少有一個根有兩個根時，保證僅有一個正根，此時滿足條件的a有無數多個，不符合。當公比時，等比數列首項為a，其余各項均為常數0，唯一，此時由，可推得符合綜上：。2假設存在這樣的等比數列，那么由等差數列的性質可得：，整理得：要使該式成立，那么=或此時數列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數列。遼寧理17本小題總分值12分等差數列an滿足a2=0，a6+a8=-10 i求數列an的通項公式； ii求數列的前n項和i設等差數列的公差為d

12、，由條件可得解得故數列的通項公式為 5分 ii設數列，即，所以，當時，所以綜上，數列 12分遼寧文5假設等比數列an滿足anan+1=16n，那么公比為 ba2 b4 c8 d1615sn為等差數列an的前n項和，s2=s6，a4=1，那么a5=_1全國理17本小題總分值12分等比數列的各項均為正數，且)求數列的通項公式；設 求數列的前n項和.17解：設數列an的公比為q，由得所以。由條件可知a>0,故。由得，所以。故數列an的通項式為an=。 =故所以數列的前n項和為全國文17本小題總分值12分設等差數列滿足，。求的通項公式； 求的前項和及使得最大的序號的值。解：由及，得；所

13、以數列的通項公式為，所以時取得最大值。全國理4設為等差數列的前項和，假設，公差，那么 (a) 8 (b) 7 (c) 6 (d) 5【答案】：d項和公式等有關知識?！窘馕觥浚?，解得。另外：此題也可用等差數列的前項和公式進行計算。20本小題總分值12分注意：在試題卷上作答無效設數列滿足且.求的通項公式；設，記，證明：.同時考查分析、歸納、探究和推理論證問題的能力。在解題過程中也滲透了化歸與轉化思想方法.難度較小，學生易得分。【解析】：由知數列是首項為，公差為1的等差數列。由知全國文(17)(本小題總分值l0分)(注意：在試題卷上作答無效)設等比數列的前項和為,求和【解析】設等比數列的公比為，由題

14、解得所以如果那么如果那么山東理15. 設函數,觀察:根據以上事實，由歸納推理可得：當且時， .【答案】【解析】觀察知:四個等式等號右邊的分母為,即,所以歸納出分母為的分母為,故當且時，.20.本小題總分值12分等比數列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818求數列的通項公式；假設數列滿足：，求數列的前項和.【解析】由題意知,因為是等比數列,所以公比為3,所以數列的通項公式.因為=, 所以=-=-=-,所以=-=-.20本小題總分值12分等比數列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且中的任何兩個

15、數不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818求數列的通項公式；假設數列滿足：，求數列的前項和.山東文沒有新題陜西理13觀察以下等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規律，第個等式為 .【分析】歸納總結時，看等號左邊是子的變化規律，右邊結果的特點，然后歸納出一般結論行數、項數及其變化規律是解答此題的關鍵【解】把等式與行數對應起來，那么每一個等式的左邊的式子的第一個數是行數，加數的個數是；等式右邊都是完全平方數， 行數 等號左邊的項數1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7

16、+8+9+10=49 4 7 所以，即【答案】14植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 米【分析】把實際問題轉化為數學模型,然后列式轉化為函數的最值問題【解】方法一設樹苗放在第個樹坑旁邊如圖， 1 2 19 20那么各個樹坑到第i個樹坑距離的和是，所以當或時，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.方法二根據圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所得路程總和的變化

17、相同，最后移到第10個和第11個樹坑旁時，所得的路程總和到達另一個最值，所以計算兩個路程和即可。樹苗放在第一個樹坑旁，那么有路程總和是；樹苗放在第10個或第11個樹坑旁邊時，路程總和是，所以路程總和最小為2000米.【答案】19本小題總分值12分如圖，從點p10，0作軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點再從做軸的垂線交曲線于點，依次重復上述過程得到一系列點：；，記點的坐標為1試求與的關系；2求【分析】1根據函數的導數求切線方程，然后再求切線與軸的交點坐標；2嘗試求出通項的表達式，然后再求和【解】1設點的坐標是，在點處的切線方程是，令，那么2，于是有，即陜西文10植樹節某班20名同學在

18、一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現將樹坑從1到20依次編號，為使各位同學從各自樹坑前來領取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個最正確坑位的編號為 a和 b和 (c) 和 (d) 和【分析】根據選項分別計算四種情形的路程和；或根據路程和的變化規律直接得出結論【解】選d 方法一選項具體分析結論a和：比擬各個路程和可知d符合題意b：=c：=d和：路程和都是方法二根據圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個和第11個樹坑旁時，所得的路程

19、總和到達另一個最值，所以計算兩個路程和進行比擬即可。樹苗放在第一個樹坑旁，那么有路程總和是；樹苗放在第10個或第11個樹坑旁邊時，路程總和是，所以路程總和最小為2000米.上海理o(0,0)、q0(0,1)和點r0(3,1)，記q0r0的中點為p1，取q0p1和p1r0中的一條，記其端點為q1、r1，使之滿足，記q1r1的中點為p2，取q1p2和p2r1中的一條，記其端點為q2、r2，使之滿足.依次下去，得到，那么 . 是各項為正數的無窮數列，是邊長為的矩形的面積，那么為等比數列的充要條件是 a是等比數列.b或是等比數列.c和均是等比數列.d和均是等比數列，且公比相同.22.本大題總分值18分

20、，第1小題總分值4分，第二小題總分值6分，第3小題總分值8分數列和的通項公式分別為，.將集合中的元素從小到大依次排列，構成數列1寫出；2求證：在數列中，但不在數列中的項恰為；3求數列的通項公式.22、 ； 任意，設，那么，即 假設矛盾， 在數列中、但不在數列中的項恰為。 ， 當時，依次有， 上海文2、 計算= 23.此題總分值18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分數列和的通項公式分別為，.將集合中的元素從小到大依次排列，構成數列1求三個最小的數，使它們既是數列中的項，又是數列中的項；2數列中有多少項不是數列中的項？請說明理由；3求數列的前項和.23、解： 三項分別為。 分別為 ， 。

21、四川理8數列的首項為3，為等差數列且，假設那么，那么a0 b3c8d11答案：b解析：為等差數列，由，及解得，故，即，故，相加得，故，選b11定義在上的函數滿足，當時，設在上的最大值為，且的前項和為，那么a3bc2 d答案：d解析：，當時，當時，；當時，；當時，那么，選d20本小題共12分設d為非零實數，寫出a1，a2,，a3并判斷an是否為等比數列假設是，給出證明；假設不是，說明理由；設bn=ndan，求數列bn的前n項和sn本小題考查等比數列和組合數的根底知識以及根本的運算能力，分析問題、解決問題的能力和化歸與轉化等數學思想解：由可得，當，時，因此由此可見，當時，故an是以為首項，為公比的

22、等比數列；當時，an不是等比數列由可知，從而， 當時，當時，兩邊同乘以得 ，式相減可得：化簡即得綜上，四川文9數列an的前n項和為sn，假設a1=1，an+1 =3snn 1，那么a6=a3 ×  44 b3 ×  44+1c44d44+1答案：a解析：由an+1 =3sn，得an =3sn1n  2，相減得an+1an =3(snsn1)= 3an，那么an+1=4ann  2，a1=1，a2=3，那么a6= a2·44=3×44，選a20本小題共12分是以a為首

23、項，q為公比的等比數列，為它的前n項和當、成等差數列時，求q的值；當、成等差數列時，求證：對任意自然數k，、也成等差數列本小題考查等比數列和等差數列的根底知識以及根本運算能力和分析問題、解決問題的能力解：由，因此，當、成等差數列時，可得化簡得解得假設，那么的每項，此時、顯然成等差數列假設，由、成等差數列可得，即整理得因此，所以，、也成等差數列天津理6是首項為的等比數列，是的前項和，且那么的前項和為或或【解】設數列的公比為，由可知于是又，于是，即，因為，那么數列的首項為，公比為，那么前項和應選22本小題總分值分在數列中，且對任意，成等差數列，其公差為假設，證明成等比數列；假設對任意，成等比數列，

24、其公比為() 設,證明是等差數列;() 假設,證明.【解】解法1由題設可得，所以因為，所以從而由成等差數列，其公差為得于是因此，所以，于是當時，對任意， 成等比數列解法2用數學歸納法(1) 當時，因為成公差為的等差數列，及，那么當時，因為成公差為的等差數列，及，那么由，所以成等比數列所以當時，結論成立；(2) 假設對于結論成立，即成公差為等差數列，成等比數列，設，那么，又由題設成公差為等差數列，那么，因此，解得于是，再由題設成公差為等差數列，及，那么因為，所以，于是成等比數列于是對結論成立，由(1)，(2)，對對任意,結論成立()證法1由成等差數列，成等比數列,那么 ,即因為,可知,從而，即，所以是等差數列，且公差為證法2由題設,所以.因為,可知,于是所以是等差數列，且公差為() 證法1由得解法1和解法2均可得從而，因此，(1) 當為偶數時，設假設，那么，滿足；假設，那么所以，所以，(2) 當為奇數時，設所以，所以，由(1)，(2)可知，對任意，證法2由得解法1和解法2均可得從而所以，由，可得于是由知，以下同證法天津文15設是等比數列，公比，為的前項和記，設為數列的最大項，那么【解】設，那么，因為函數在時，取得最小值，所以在時取得最大值此