1、9 應力更新算法應力更新算法本構方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本構更新本構方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本構更新算法），包括：算法），包括：徑向返回算法的一類圖形返回算法，徑向返回算法的一類圖形返回算法，算法模量與基本應力更新方案一致的概念，算法模量與基本應力更新方案一致的概念，大變形問題的增量客觀應力更新方案，大變形問題的增量客觀應力更新方案，基于彈性響應的應力更新方案，即自動滿足客觀性的超彈性勢能。基于彈性響應的應力更新方案，即自動滿足客觀性的超彈性勢能。給出描述本構模型的某些其它連續介質力學觀點，給出描述本構模型的某些其它連續介質力學觀點，展示展示Euleri

2、an，Lagrangian和兩點拉伸的概念，和兩點拉伸的概念，描述后拉、前推和描述后拉、前推和Lie導數的運算，導數的運算，材料框架客觀性，材料的對稱性，以本構行為的張量表示討論材料框架客觀性，材料的對稱性，以本構行為的張量表示討論了不變性的某些方面，了不變性的某些方面，討論由于熱力學第二定律和某些附加的穩定性必要條件對材料討論由于熱力學第二定律和某些附加的穩定性必要條件對材料行為的約束。行為的約束。9 應力更新算法應力更新算法 對于積分率本構方程的數值算法稱為對于積分率本構方程的數值算法稱為本構積分算法本構積分算法或者或者應力更新應力更新算法算法。對于率無關和率相關材料提供。對于率無關和率相

3、關材料提供了了本構積分算法。本構積分算法。 討論簡單的小應變塑性，將小應變算法擴展至大變形，將大變形討論簡單的小應變塑性，將小應變算法擴展至大變形，將大變形分析的積分算法保持在基于本構方程客觀性的基礎上。分析的積分算法保持在基于本構方程客觀性的基礎上。 展示了關于大變形塑性的逐步客觀積分算法。展示了關于大變形塑性的逐步客觀積分算法。 討論關于大變形超彈塑性材料的應力更新算法，回避對應力率討論關于大變形超彈塑性材料的應力更新算法，回避對應力率方程的積分。方程的積分。 描述了與本構積分算法相關的描述了與本構積分算法相關的計算模量計算模量，采用隱式求解算法發展，采用隱式求解算法發展材料的切線剛度矩陣

4、。材料的切線剛度矩陣。率無關塑性的圖形返回算法率無關塑性的圖形返回算法 9 應力更新算法應力更新算法小應變、率無關彈塑性的本構方程小應變、率無關彈塑性的本構方程 應力應變反應與變形率無關的一種材料稱為率無關；否則為率相關。應力應變反應與變形率無關的一種材料稱為率無關；否則為率相關。 0, 0, 00:)( :fffffppeqhqrCCq0f， Kuhn-Tucker條件，上面第一個條件表明塑性率參數是非負的，條件，上面第一個條件表明塑性率參數是非負的，第二個條件表明第二個條件表明當塑性加載時，當塑性加載時，應力狀態必須位于或限制在塑性表面上，應力狀態必須位于或限制在塑性表面上，最后條件也可以

5、作為由已知一致性條件最后條件也可以作為由已知一致性條件0f的率形式。的率形式。塑性流動方向經常特指為塑性流動方向經常特指為r，這里，這里稱為塑性流動勢稱為塑性流動勢 0)(Yf屈服條件屈服條件 是標量塑性流動率，是標量塑性流動率，),(qr 是塑性流動方向是塑性流動方向h 塑性模量塑性模量 q 內變量內變量 0）應力狀態必須保持在屈服面）應力狀態必須保持在屈服面因此因此0f。對于彈性加載或者卸載。對于彈性加載或者卸載0，沒有塑性流動。，沒有塑性流動。對于塑性加載（對于塑性加載（率無關塑性的圖形返回算法率無關塑性的圖形返回算法 9 應力更新算法應力更新算法0f上，上，在時刻在時刻n 給出一組給出

6、一組 ),(npnnq和應變增量和應變增量t 本構積分算法的目的是計算本構積分算法的目的是計算),(111npnnq并滿足加卸載條件并滿足加卸載條件 在在1n時刻的應力給出為時刻的應力給出為)( :111npnnC 求解的一致性條件給出 rChCq:fff 設想能夠應用這個塑性參數值以提供更新的應力率、塑性應變設想能夠應用這個塑性參數值以提供更新的應力率、塑性應變率和內變量率，并且寫出簡單的率和內變量率，并且寫出簡單的向前向前Euler積分公式算法積分公式算法CChqqr:)( :111111epnpnnnnnnnnnpnnpnn率無關塑性的圖形返回算法率無關塑性的圖形返回算法 9 應力更新算

7、法應力更新算法nnt但在下一步，這些應力和內變量的更新值并不滿足屈服條件，所以但在下一步，這些應力和內變量的更新值并不滿足屈服條件，所以0),(111nnnffq 由于解答從屈服表面漂移，常常導致不精確的結果，因此不由于解答從屈服表面漂移，常常導致不精確的結果，因此不受人青睞。受人青睞。公式也稱為公式也稱為切線模量更新算法切線模量更新算法，形成了計算率無關塑，形成了計算率無關塑性早期工作的基礎。性早期工作的基礎。率無關塑性的圖形返回算法率無關塑性的圖形返回算法 9 應力更新算法應力更新算法 這導致考慮另外一些方法進行率本構方程的積分，目的之一是這導致考慮另外一些方法進行率本構方程的積分，目的之

8、一是強化在時間步結束時的強化在時間步結束時的一致性一致性，例如，例如，01nf 為避免離開屈服面的漂移。有許多不同的積分本構算法，這里主為避免離開屈服面的漂移。有許多不同的積分本構算法，這里主要關注一類方法要關注一類方法返回圖形算法返回圖形算法，它是強健和精確的，被廣泛應，它是強健和精確的，被廣泛應用。著名的用。著名的von Mises塑性塑性徑向返回方法徑向返回方法是返回圖形算法的特例。是返回圖形算法的特例。返回圖形算法包括：返回圖形算法包括： 一個初始的彈性預測步，包含（在應力空間）對屈服表面的偏離，一個初始的彈性預測步，包含（在應力空間）對屈服表面的偏離， 以及塑性調整步使應力返回到更新

9、后的屈服表面。以及塑性調整步使應力返回到更新后的屈服表面。方法的兩個組成部分是：方法的兩個組成部分是： 一個積分算法，它將一組本構方程轉換為一組非線性代數方程，一個積分算法，它將一組本構方程轉換為一組非線性代數方程， 一個對非線性代數方程的求解算法，該方法可基于不同的積分算法，一個對非線性代數方程的求解算法，該方法可基于不同的積分算法， 例如生成梯形法則，生成中點法則或者例如生成梯形法則，生成中點法則或者Runge-Kutta方法。方法。基于向后基于向后Euler算法，考慮一個完全隱式方法和一個半隱式方法。算法，考慮一個完全隱式方法和一個半隱式方法。完全隱式的圖形返回算法完全隱式的圖形返回算法

10、 9 應力更新算法應力更新算法 在完全隱式的在完全隱式的向后向后Euler方法方法中，在步驟結束時計算塑性應變中，在步驟結束時計算塑性應變和內變量的增量，同時強化屈服條件，這樣，積分算法寫成為和內變量的增量，同時強化屈服條件，這樣，積分算法寫成為0),()( :1111111111111nnnpnnnnnnnnnpnnpnnffqChqqr公式是一組關于求解公式是一組關于求解),(111npnnq的非線性代數方程。注意到的非線性代數方程。注意到更新變量來自前一個時間步驟結束時的更新變量來自前一個時間步驟結束時的收斂值收斂值，這就避免了非物理意義的效果，例如當用不收斂的塑性應，這就避免了非物理意

11、義的效果，例如當用不收斂的塑性應變和內變量值求解路徑相關塑性方程時可能發生的偽卸載。變和內變量值求解路徑相關塑性方程時可能發生的偽卸載。 在時刻在時刻n 給出一組給出一組 ),(npnnq和應變增量和應變增量t通過方程系統的解答獲得了應變通過方程系統的解答獲得了應變1n 在時刻在時刻n 1， 完全隱式的圖形返回算法完全隱式的圖形返回算法 9 應力更新算法應力更新算法如果解答過程是隱式的，可以理解應變如果解答過程是隱式的，可以理解應變1n是在隱式解答算法的最后迭代后的總體應變。是在隱式解答算法的最后迭代后的總體應變。 1111nnpnpnpnr塑性應變增量給出為塑性應變增量給出為 1111111

12、1111r :C:C:C) :C(:C:C) ( :C) ( :C) ( :Cnntrailnpntrailnpnnpnpnnpnpnnpnpnnn代入表達式代入表達式 11rnnf關聯塑性的最近點投射方法關聯塑性的最近點投射方法 C:1ntrailn是彈性預測的試應力是彈性預測的試應力11:nnrC是是塑性修正塑性修正量，它沿著一個方向，即規定為在結束點處塑性流動的方向，量，它沿著一個方向，即規定為在結束點處塑性流動的方向，返回或者投射試應力到適當更新的屈服表面（考慮硬化）。返回或者投射試應力到適當更新的屈服表面（考慮硬化）。 而數值而數值完全隱式的圖形返回算法完全隱式的圖形返回算法 9 應

13、力更新算法應力更新算法1111r :Cnntrailnn由由總體應變的增量總體應變的增量驅動彈性預測狀態，而由塑性參數的增量驅動彈性預測狀態，而由塑性參數的增量1n驅動驅動塑性修正狀態塑性修正狀態。因此，在彈性預測階段，塑性應變和內變量保持固定，而。因此，在彈性預測階段，塑性應變和內變量保持固定，而當塑性修正階段，總體應變是不變的。在彈性預測階段，由公式得到的結果為當塑性修正階段，總體應變是不變的。在彈性預測階段，由公式得到的結果為1111r :C:Cnnpnn11rnnf關聯塑性的最近點投射方法關聯塑性的最近點投射方法 其中其中完全隱式的圖形返回算法完全隱式的圖形返回算法 9 應力更新算法應

14、力更新算法 非線性代數方程組解答一般由非線性代數方程組解答一般由Newton過程求解。基于分類線性化方程組的過程求解。基于分類線性化方程組的Newton過程，和根據最近投射點的概念引導塑性修正返回到屈服表面。在過程，和根據最近投射點的概念引導塑性修正返回到屈服表面。在算法的塑性修正階段中，總體應變是常數，線性化是相對于塑性參數增量算法的塑性修正階段中，總體應變是常數，線性化是相對于塑性參數增量在在Newton過程中應用下面的標記：關于一個方程過程中應用下面的標記：關于一個方程0)(g的線性化，的線性化， 并有并有0)0( 在第在第k次迭代時記為次迭代時記為 )()()1()()()(, 0kk

15、kkkkddgg為適合為適合Newton迭代，以上面形式寫出塑性更新和屈服條件，省略迭代，以上面形式寫出塑性更新和屈服條件，省略n+1腳標腳標 0),(00qhqqbraffnpnp完全隱式的圖形返回算法完全隱式的圖形返回算法 9 應力更新算法應力更新算法這組方程的線性化給出這組方程的線性化給出 0q:0hhqb0rr:Ca)()(q)()()()()()()()()()()()()()(1)(kkkkkkkkkkkkkkkk-kfff)()()()()()()()()()(:kkkkkkkkkkqhhhqrrrqq3個方程可以聯立求解個方程可以聯立求解 )(k)(kq)(k這樣，塑性應變、內

16、變量和塑性參數更新是這樣，塑性應變、內變量和塑性參數更新是 )()()1()()()1()(1)()()()1(:kkkkkkkkpkpkpkpqqqC Newton過程是連續計算直到收斂到足以滿足準則的更新屈服表面。過程是連續計算直到收斂到足以滿足準則的更新屈服表面。這個過程是隱式的并包括了方程在單元積分點水平的結果。該方法的這個過程是隱式的并包括了方程在單元積分點水平的結果。該方法的復雜性在于需要塑性流動方向的梯度，不適合復雜本構。復雜性在于需要塑性流動方向的梯度，不適合復雜本構。腳標為偏導數腳標為偏導數 一致性條件：在加卸載一致性條件：在加卸載過程中，材料的應力點始過程中，材料的應力點始

17、終處于屈服面上終處于屈服面上應用于應用于J2流動理論流動理論徑向返回算法徑向返回算法 9 應力更新算法應力更新算法 小應變時的彈小應變時的彈塑性本構關系和框塑性本構關系和框5.6的的J2 流動理論，流動理論，注意到塑性流動方向是在偏應力的方向，給出為注意到塑性流動方向是在偏應力的方向，給出為23devr J2塑性流動理論塑性流動理論基于基于von Mises屈服面，屈服面，它特別適用于金屬塑性，它特別適用于金屬塑性，該模型的該模型的關鍵假設是壓力對在金屬中的塑性流動沒有影響關鍵假設是壓力對在金屬中的塑性流動沒有影響；屈服條件；屈服條件和塑性流動方向是基于應力張量的偏量部分。和塑性流動方向是基于

18、應力張量的偏量部分。 它也是屈服表面的法向，即它也是屈服表面的法向，即rf 在偏應力空間，在偏應力空間，Mises屈服屈服表面是環狀，法向是徑向。在表面是環狀，法向是徑向。在塑性流動的方向（徑向），定塑性流動的方向（徑向），定義一個單位法向矢量為義一個單位法向矢量為nrrrn23,)0()0()0()0()0(devdev應用于應用于J2流動理論流動理論徑向返回算法徑向返回算法 9 應力更新算法應力更新算法算法的重要特性是算法的重要特性是n 在整個塑性修正狀態過程中不變化在整個塑性修正狀態過程中不變化保持在徑向，保持在徑向， 因此塑性應變的更新是因此塑性應變的更新是 的線性函數，而塑性流動殘量

19、恒為零：的線性函數，而塑性流動殘量恒為零：0)(ka 唯一的內變量（唯一的內變量（各向同性硬化各向同性硬化）是累積塑性應變，給出為）是累積塑性應變，給出為1,1hq 因此，內變量的更新也是因此，內變量的更新也是的線性函數，相應的殘量為零，例如，的線性函數，相應的殘量為零，例如，0)(kb 適合適合Newton迭代的塑性更新和屈服條件，省略迭代的塑性更新和屈服條件，省略n+1腳標腳標 0),(00qhqqbraffnpnp屈服條件給出為屈服條件給出為0)(Yf而而f 的導數是的導數是rf和和 HddfYq應用于應用于J2流動理論流動理論徑向返回算法徑向返回算法 9 應力更新算法應力更新算法各向同

20、性硬化：只有一個硬化參數各向同性硬化：只有一個硬化參數q，屈服面表面擴張，屈服面表面擴張冪硬化：屈服面中心不變，屈服面尺寸改變冪硬化：屈服面中心不變，屈服面尺寸改變運動硬化：屈服面中心平移，尺寸不變，中心位置為背應力的內變量運動硬化：屈服面中心平移，尺寸不變，中心位置為背應力的內變量關聯塑性：塑性流動沿著屈服面的法線方向；否則，為非關聯塑性關聯塑性：塑性流動沿著屈服面的法線方向；否則，為非關聯塑性徑向返回算法編程徑向返回算法編程 9 應力更新算法應力更新算法1 設初始值設初始值 )( :, 0,:0)0(1)0()0()0()0(pnnpnpkC2 在第在第k次迭代時檢查屈服條件次迭代時檢查屈

21、服條件 )()3()()()()0()()()(kYkkYkkf1)(TOLkf如果如果 則收斂，否則則收斂，否則 go to 3 3 計算塑性參數的增量計算塑性參數的增量 )()()()0()(3)()3(kkYkkH4 更新塑性應變和內變量更新塑性應變和內變量 )()()()()0()0(, 23,kkkkpdevdevnn)()()1(kpkpkpnC232)( :)()()()()1(1)1(kkkkkpnk)()()1()()()1(kkkkkk2togo, 1 kk9 應力更新算法應力更新算法算法模量算法模量 在隱式方法中，需要合適的切線模量。在隱式方法中，需要合適的切線模量。由于

22、在屈服時突然轉化由于在屈服時突然轉化為塑性行為，連續彈為塑性行為，連續彈塑性切線模量可能引起偽加載和卸載塑性切線模量可能引起偽加載和卸載。為了。為了避免這點，采用了一個基于本構積分算法的系統線性化的避免這點，采用了一個基于本構積分算法的系統線性化的算法模量算法模量（也稱為（也稱為一致切線模量一致切線模量），代替了連續彈），代替了連續彈塑性切線模量。塑性切線模量。下面給出下面給出完全隱式向后完全隱式向后Euler方法的算法模量方法的算法模量的推導。的推導。向后向后Euler更新算法切線模量定義為更新算法切線模量定義為 1lgnaddChYrCCrCCCqfffa:):():(lg11)(rCC1

23、)(qhIY對于對于J2流動理論的情況，算法模量是與徑向返回應力更新一致的流動理論的情況，算法模量是與徑向返回應力更新一致的 9 應力更新算法應力更新算法半隱式向后半隱式向后Euler方法方法 半隱式向后半隱式向后Euler方法（方法（Moran, 1990）是）是對于塑性參數采用隱式對于塑性參數采用隱式，而而對于塑性流動方向和塑性模量采用顯式的算法對于塑性流動方向和塑性模量采用顯式的算法，即在步驟結束時計算，即在步驟結束時計算塑性參數的增量，而在步驟開始時計算塑性流動的方向和塑性模量。為塑性參數的增量，而在步驟開始時計算塑性流動的方向和塑性模量。為了避免從屈服面漂移，在步驟結束時強化屈服條件

24、。積分方法為了避免從屈服面漂移，在步驟結束時強化屈服條件。積分方法為 0),()( :,11111111111nnnpnnnnnnnnnpnnpnnffqChqqr0),()( :1111111111111nnnpnnnnnnnnnpnnpnnffqChqqr對比完全隱式向后對比完全隱式向后Euler方法方法 nYY1)()(9 應力更新算法應力更新算法率相關塑性的圖形返回算法率相關塑性的圖形返回算法 對于對于J2 塑性流動，過應力函數公式的典型例子為塑性流動，過應力函數公式的典型例子為 (n為率敏感指數為率敏感指數) 對于對于J2 流動理論，一個替代的粘塑性模型為流動理論，一個替代的粘塑性模

25、型為 (m為率敏感指數為率敏感指數) m1Y0)(參考應變率參考應變率 在在過應力模型過應力模型中，等效塑性應變率取決于超過了多少屈服應力。中，等效塑性應變率取決于超過了多少屈服應力。 在率相關塑性中，材料的塑性反應取決于加載率，與不能超越過屈服條在率相關塑性中，材料的塑性反應取決于加載率，與不能超越過屈服條件的率無關塑性相比，為了發生塑性變形，率相關塑性必須滿足或者超過件的率無關塑性相比，為了發生塑性變形，率相關塑性必須滿足或者超過屈服條件，塑性應變率（結合屈服條件，塑性應變率（結合各向同性和運動硬化）各向同性和運動硬化）給出給出為為( 背應力背應力）p9 應力更新算法應力更新算法率相關塑性

26、的圖形返回算法率相關塑性的圖形返回算法 框框5.11 大應變率相關塑性大應變率相關塑性 1 分解變形率張量為彈性和塑性部分的和分解變形率張量為彈性和塑性部分的和peDDD2 應力率關系應力率關系 )( :pJeleJelJDDCDC3 塑性流動法則和演化方程塑性流動法則和演化方程 ),(pqrD),(q),(qhq4 應力率總體變形率關系應力率總體變形率關系 rCDC:JelJelJ過應力函數，是塑過應力函數，是塑性應變的驅動力性應變的驅動力 粘性（力粘性（力時間）時間） 9 應力更新算法應力更新算法率相關塑性的圖形返回算法率相關塑性的圖形返回算法 率無關塑性的圖形返回本構積分算法和算法切線模

27、量可以修改為率無關塑性的圖形返回本構積分算法和算法切線模量可以修改為率相關的方法，對于一個完全隱式算法，更新可以寫成增量的形式率相關的方法，對于一個完全隱式算法，更新可以寫成增量的形式111111111111),( :,nnpnnnnnnnnnpnnpnntChqqr過應力函數和粘性過應力函數和粘性 算法切線模量表達式算法切線模量表達式 11lg:):():(nnatddhYrCCrCCCq大變形的逐步客觀積分方法大變形的逐步客觀積分方法 9 應力更新算法應力更新算法 大變形本構算法的一個重要問題是觀察的材料框架相同，準確地保持本構大變形本構算法的一個重要問題是觀察的材料框架相同，準確地保持本

28、構關系的客觀性；在剛體轉動中，該算法必須準確地計算應力的恰當轉動。關系的客觀性；在剛體轉動中，該算法必須準確地計算應力的恰當轉動。 JTnnnntQQ111 基于基于Kirchhoff應力的應力的Jaumann率，考慮一個簡單的更新算法，率，考慮一個簡單的更新算法，變形率是對于時間增量的等效率并且定義如下，應力更新給出為變形率是對于時間增量的等效率并且定義如下，應力更新給出為tnWQexp1Q是與等效旋轉是與等效旋轉W關聯的增量轉動張量。以關聯的增量轉動張量。以Jaumann率的形式替換本構反應率的形式替換本構反應DCQQ:111JTnnnnt應用不同算法計算等效變形率，基于增量變形梯度，采用直接向前方法應用不同算法計算等效變形率，基于增量變形梯度，采用直接向前方法 TnnTnnnTnn)()()(1001uIFuIFFFuFF大變形的逐步地客觀積分方