1、【新教材】人教統編版高中數學必修一 A 版第一章教案教學設計第 1 章 集合與常用邏輯用語1.1 集合的概念1.2 集合間的基本關系1.3 集合的基本運算1.4 充分條件與必要跳進1.5 全稱量詞與存在量詞本章綜合與測試1.1 集合的概念教案教材分析集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現代數學的一個重要的基礎許多 重要的數學分支， 都是建立在集合理論的基礎上 此外， 集合理論的應用也變得更加廣泛教學目標【知識與能力目標】1. 通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；2. 知道常用數集及其專用記號；3. 了解集合中元素的確定性、互異性、無序性；4. 會用集合語言表示有關數學對象；

2、5. 培養學生抽象概括的能力【過程與方法目標】1. 讓學生經歷從集合實例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義2. 讓學生歸納整理本節所學知識【情感態度價值觀目標】使學生感受學習集合的必要性和重要性，增加學生對數學學習的興趣 教學重難點【教學重點】集合的含義與表示方法【教學難點】對待不同問題，表示法的恰當選擇 課前準備學生通過預習，自主學習、思考、交流、討論和概括，從而更好地完成本節課的教學目標 教學過程（一）創設情景，揭示課題請分析以下幾個實例：1正整數 1， 2， 3，；2中國古典四大名著；32018 足球世界杯參賽隊伍；4. 水滸中梁山 108 好漢；5. 到線段兩端距離相等的點

3、在這里，集合是我們常用的一個詞語， 我們感興趣的是問題中某些特定對象的總體，而不是個別的對象，為此，我們將學習一個新的概念集合（宣布課題），即是一些研究對象的總體（二）研探新知1集合的有關概念（1） 一般地，我們把研究對象統稱為元素（element），把一些元素組成的總體叫做集合（ set）（簡稱為集）思考：上述 5 個實例能否構成集合？如果是集合，那么它的元素分別是什么？練習 1：下列指定的對象，是否能構成一個集合？很小的數不超過 30 的非負實數直角坐標平面的橫坐標與縱坐標相等的點的近似值高一年級優秀的學生所有無理數 大于 2 的整數正三角形全體（2） 關于集合的元素的特征（a） 確定性：

4、設 A 一個給定的集合，對于一個具體對象a，則 a 或者是集合 A 的元素，或者不是集合 A 的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立（b） 互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現同一元素（c） 無序性：集合中的元素是沒有順序關系的，即只要構成兩個集合的元素一樣，我們稱這兩個集合是相等的，跟順序無關（3） 思考 1：列舉一些集合例子和不能構成集合的例子，對學生的例子予以討論、點評，進而講解下面的問題答案：（a）把 3-11 內的每一個偶數作為元數，這些偶數全體就構成一個集合（b）不能組成集合，因為組成它的元素是不確定的（4） 元素與集合

5、的關系；（a） 如果 a 是集合 A 的元素，就說 a 屬于（ belong to）A，記作 aA（b） 如果 a 不是集合 A 的元素，就說 a 不屬于（ not belong to）A，記作 aA例如： A 表示方程 x21 的解2A，1A（5） ）集合的表示方法我們可以用自然語言來描述一個集合，但這將給我們帶來很多不便， 除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合（a） 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“ 括”起來表示集合的方法叫做列表法如： 1 ，2，3，4，5 ， x2， 3x+2， 5y3-x，x2+y2 ，； 思考 2，引入描述法答案：（1）19 內所有偶數組成 的集合

6、（ 2）不能，因為集合中元素的個數是無窮多個說明：集合中的元素具有無序性， 所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序（b） 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化） 范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征如： x|x-3>2 ， （x，y） |y=x2+1 ， 直角三角形 ， ； 思考 3：描述法表示集合應注意集合的代表元素 （x， y） |y= x2+3x+2 與 y|y= x2+3x+2 不同，只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如： 整數 ，即代表整數集 Z（6） 常用

7、數集及其記法非負整數集（或自然數集） ，記作 N正整數集，記作 N* 或 N+； 整數集，記作 Z有理數集，記作 Q實數集，記作 R辨析：這里的 已包含 “所有”的意思，所以不必寫 全體整數 下列寫法 實數集 ，R 也是錯誤的如果寫 實數 是正確的說明：列舉法與描述法各有優點，應該根據具體問題確定采用哪種表示法， 要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法（7） 集合的分類問題 2：我們看這樣一個集合： x |x2x10 ，它有什么特征？ 顯然這個集合沒有元素我們把這樣的集合叫做空集，記作 練習：（ 1） 0（填或 ）（ 2） 0 （填或）集合的分類：（1）按元素多少分類：有限

8、集、無限集；（2）按元素種類分類：數集、點集等（三）例題講解例 1用集合表示：x2 3 0 的解集；所有大于 0 小于 10 的奇數；不等式 2x13 的解例 2已知集合 S滿足： 1S ，且當 aS時11aS ，若 2S，試判斷 1 是2否屬于 S，說明你的理由例 3設由 4 的整數倍加 2 的所有實數構成的集合為 A，由 4 的整數倍再加3 的所有實數構成的集合為 B，若 xA, yB ，試推斷 x+y 和 x-y 與集合 B 的關系（四）歸納小結本節課從實例入手， 非常自然貼切地引出集合與集合的概念， 并且結合實例對集合的概念作了說明， 然后介紹了集合的常用表示方法， 包括列舉法、描述法

9、1.2 集合間的基本關系教案教材分析類比實數的大小關系引入集合的包含與相等關系，了解空集的含義本節內容是在學習了集合的概念、 元素與集合的從屬關系以及集合的表示方法的基礎上， 進一步學習集合與集合之間的關系， 同時也為下一節學習集合的基本運算打好基礎因此本節內容起著承上啟下的重要作用教學目標【知識與能力目標】1. 了解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能使用 Venn圖表達集合間的關系， 體會直觀圖示對理解抽象概念的作用【過程與方法目標】讓學生通過觀察身邊的實例，發現集合間的基本關系，體驗其現實意義【情感態度價值觀目標】感受集合語言在描述客觀現

10、實和數學問題中的意義 教學重難點【教學重點】集合間的包含與相等關系，子集與真子集的概念【教學難點】屬于關系與包含關系的區別 課前準備學生通過預習，觀察、類比、思考、交流、討論，發現集合間的基本關系 教學過程（一）創設情景，揭示課題復習回顧：1. 集合有哪兩種表示方法？2. 元素與集合有哪幾種關系？問題提出： 集合與集合之間又存在哪些關系？（二）研探新知問題 1：實數有相等、大小關系，如 5=5，57，53 等等，類比實數之間的關系，你會想到集合之間有什么關系呢？讓學生自由發言，教師不要急于做出判斷 而是繼續引導學生； 欲知誰正確， 讓我們一起來觀察、研探投影問題 2：觀察下面幾個例子，你能發現

11、兩個集合間有什么關系了嗎？（1） A1,2,3 , B1,2,3,4,5；（2） 設 A 為國興中學高一（ 3）班男生的全體組成的集合， B 為這個班學生的全體組成的集合；（3） 設 C x | x是兩條邊相等的三角形, D x| x是等腰三角形 ;（4） E2,4,6,F6,4,2組織學生充分討論、交流，使學生發現兩個集合所含元素范圍存在各種關系， 從而類比得出兩個集合之間的關系：一般地，對于兩個集合 A，B，如果集合 A 中任意一個元素都是集合B 中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A 為 B 的子集記作： AB(或BA)讀作： A 含于 B（或 B 包含 A）如果兩個集合所含的

12、元素完全相同，那么我們稱這兩個集合相等教師引導學生類比表示集合間關系的符號與表示兩個實數大小關系的等號BA （ B）之間有什么類似之處， 強化學生對符號所表示意義的理解 并指出： 為了直觀地表示集合間的關系， 我們常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為 Venn 圖如圖 1 和圖 2 分別是表示問題 2 中實例 1 和實例 3 的 Venn 圖圖 1圖 2投影問題 3：與實數中的結論“若 ab, 且ba, 則ab ”相類比，在集合中，你能得出什么結論 ?教師引導學生通過類比，思考得出結論：若 AB, 且BA, 則AB 問題 4：請同學們舉出幾個具有包含關系、 相等關系的集合實例， 并用

13、Venn圖表示學生主動發言，教師給予評價（三）學生自主學習，閱讀理解然后教師引導學生閱讀教材的相關內容，并思考回答下例問題：（1） 集合 A 是集合 B 的真子集的含義是什么 ?什么叫空集 ?（2） 集合 A 是集合 B 的真子集與集合 A 是集合 B 的子集之間有什么區別 ?（3）0，0 與 三者之間有什么關系 ?（4） 包含關系 aA 與屬于關系 aA 之間有什么區別 ?試結合實例作出解釋（5） 空集是任何集合的子集嗎 ?空集是任何集合的真子集嗎 ?（6） 能否說任何一人集合是它本身的子集，即AA ?（7） 對于集合 A，B，C，如果 AB，BC，那么集合 A 與 C 有什么關系 ?教師巡

14、視指導， 解答學生在自主學習中遇到的困惑過程， 然后讓學生發表對上述問題看法（四）鞏固深化，發展思維1學生在教師的引導啟發下完成下列兩道例題：例 1某工廠生產的產品在質量和長度上都合格時，該產品才合格若用 A 表示合格產品， B 表示質量合格的產品的集合， C 表示長度合格的產品的集合 則下列包含關系哪些成立？AB,BA,AC, CA試用 Venn圖表示這三個集合的關系例 2寫出集合 0 ，1，2）的所有子集，并指出哪些是它的真子集 2學生做教材習題，教師及時檢查反饋強調能確定是真子集關系的最好寫真子集，而不寫子集（五）歸納整理，整體認識1. 請學生回顧本節課所學過的知識內容有建些， 所涉及到

15、的主要數學思想方法又那些2. 在本節課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出1.3 集合的基本運算教案教材分析集合的基本運算是人教版普通高中課程標準實驗教科書，數學必修 1 第一章第三節的內容 .在此之前，學生已學習了集合的含義以及集合與集合之間的基本 關系，這為學習本節內容打下了基礎 .本節內容是函數、方程、不等式的基礎， 在教材中起著承上啟下的作用 .本節內容是高中數學的主要內容， 也是高考的對象，在實踐中應用廣泛，是高中學生必須掌握的重點.教學目標與核心素養課程目標1. 理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；2. 理解全集和補集的含義，能求給定集合的補集；

16、3. 能使用 Venn圖表達集合的基本關系與基本運算 .數學學科素養1. 數學抽象：并集、交集、全集、補集含義的理解；2. 邏輯推理：并集、交集及補集的性質的推導；3. 數學運算：求兩個集合的并集、交集及補集，已知并集、交集及補集的性質求參數（參數的范圍） ；4. 數據分析： 通過并集、 交集及補集的性質列不等式組， 此過程中重點關注端點是否含“ =”及?問題；5. 數學建模：用集合思想對實際生活中的對象進行判斷與歸類。教學重難點重點： 1. 交集、并集定義的三種語言的表達方式及交集、并集的區別與聯系；2 全集與補集的定義 .難點： 利用交集并集補集含義和 Venn圖解決一些與集合的運算有關的

17、問題 課前準備教學方法： 以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具： 多媒體。教學過程一、問題導入：實數有加、減、乘、除等運算 . 集合是否也有類似的運算 .要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察. 研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本 10-13 頁，思考并完成以下問題1. 兩個集合的并集與交集的含義是什么？它們具有哪些性質？2. 怎樣用 Venn圖表示集合的并集和交集？3. 全集與補集的含義是什么？如何用Venn圖表示給定集合的補集？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究（一）知識整理1、并集一般地，由所有屬于集合A

18、或屬于集合 B的元素所組成的集合，稱為集合 A與 B的并集，記作： AB（讀作：“A 并 B”）即： AB=x|x A， 或 xB Venn圖表示2 交集一般地，由屬于集合 A 且屬于集合 B 的元素所組成的集合， 叫做集合 A與 B的交集，記作：AB（讀作：“A 交 B”）即： AB=x| A，且 xB Venn 圖表示3. 全集一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。4. 補集：對于全集 U的一個子集 A，由全集 U中所有不屬于集合 A 的所有元素組成的集合稱為集合 A 相對于全集 U的補集, 簡稱為集合 A 的補集，記作：CUA即：C

19、UA=x|x U，且 x? A補集的 Venn圖表示（二）知識擴展根據集合的基本關系和集合的基本運算，你能得到哪些結論？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題，教師巡視指導，解答學生在自主學習中遇到的困惑過程。結論：1.A BA， A BB，AA=A， A=,A B=BA2.AA B， BAB，AA=A， A=A,AB=BA3. （CUA） A=U，（CUA） A=4. 若 AB=A，則 A? B，反之也成立5. 若 AB=B， 則 A? B，反之也成立四、典例分析、舉一反三題型一集合的交集運算、并集運算與補集運算例 1 （單一運算）1. 求下列兩個集合的并集和交集

20、 :(1) A=1,2,3,4,5,B=-1,0,1,2,3;(2) A=x|x+1>0,B=x|-2<x<2；2. 設集合 U1,2,3,4,5,6， M 1,2,4，則?UM()A UB 1,3,5C3,5,6D2,4,6【答案】見解析【解析】 1.(1)如圖所示 ,AB=-1,0,1,2,3,4,5,AB=1,2,3.(2) 由題意知 A=x|x>-1,用數軸表示集合 A和 B, 如圖所示 ,則數軸上方所有 “線” 下面的實數組成了 A B, 故 A B=x|x>-2,數軸上方“雙線” ( 即公共部分 ) 下面的實數組成了 A B, 故 A B=x|-1&l

21、t;x<2.2. 因為 U 1,2,3,4,5,6，M1,2,4，由補集的定義， 可知?UM 3,5,6故選 C解題技巧：（求兩個集合的并集、交集及補集的常用方法）1. 定義法: 對于用列舉法給出的集合 , 則依據并集、交集的含義 , 可直接觀察或借助于 Venn圖寫出結果 .2. 數形結合法：對于用描述法給出的集合 , 首先明確集合中的元素 , 其次將兩個集合化為最簡形式 ; 對于連續的數集常借助于數軸寫出結果, 此時要注意數軸上方所有“線”下面的實數組成了并集 , 數軸上方“雙線” ( 即公共部分 ) 下面的實數組成了交集 , 此時要注意當端點不在集合中時, 應用空心點表示跟蹤訓練一

22、.1.若集合 A=x|1 x 3,x N,B=x|x 2,x N, 則 AB=()A. 3 B. x|x1C. 2 ， 3D. 1 ，22. 若集合 Ax|x 1 ，Bx| 2 x 2 ，則 AB 等于()Ax|x 2Bx|x 1Cx| 2 x 1Dx| 1x23. 設全集 UR，集合 A x|2 x 5 ，則?UA.【答案】 1. D2.A3. x|x2 或 x 5例 2 （混合運算）（ 1）設集合A1,2,6，B 2,4 ，Cx R|1x 5 ，則(A B) C()A2B1 ，2，4C1,2,4,6D x R| 1x5(2) 設全集為R， A x|3x<7 ， B x|2<x&

23、lt;10 ，則?R(A B)，( ?RA)B.【答案】 (1)B(2)x|x2，或 x10x|2<x<3 ，或 7x<10【解析】 (1)A B1,2,4,6，又 Cx R|1x5 ， 則(AB) C1,2,4(2) 把全集 R和集合 A、B 在數軸上表示如下：由圖知， A B x|2<x<10 ， ?R(A B)x|x 2，或 x 10 ?RAx|x<3 ，或 x 7 ，( ?RA)Bx|2<x<3 ，或 7x<10 跟蹤訓練二1已知集合 A、B 均為全集 U 1,2,3,4的子集，且?U(A B)4 ，B1,2 ，則 A?UB等于()

24、A3B4C3,4D?2設集合 Sx|x 2 ，Tx| 4 x 1 ，則( ?RS)T 等于()Ax| 2 x 1Bx|x 4Cx|x 1【答案】 1. A2. CDx|x 1題型二已知集合的交集、并集求參數例 3（由并集、交集求參數的值）已 知 M1,2 ，a2 - 3a -1 ， N 1，a,3 ，MN3 ，求實數 a 的值【答案】見解析【解析】 MN3 ， 3M； ?2 - 3?-1 = 3，即?2 - 3?-4 = 0，解得 ? 1 或 4.當? 1 時，與集合中元素的互異性矛盾，舍去；當? 4 時， M1,2,3，N 1,3,4 ，符合題意 ? 4.例 4（由并集、交集的定義求參數的范

25、圍）設集合 A x| 1 x a ，Bx|1 x3 且 ABx| 1x3 ，求 a 的取值范圍【答案】見解析【解析】如圖所示，由 ABx| 1x3 知， 1a3.例 5（由交集、并集的性質求參數的范圍）已知集合 Ax| 3x4 ，集合 B x|k 1x2k1 ，且 ABA，試求k 的取值范圍【答案】見解析【解析】 ABA， B? A，當 B?時， k1 2k1， k 2.當 B?，則根據題意如圖所示：根據數軸可得k12k 1，3k1，2k 1 4，5解得 2 k2.2綜合可得 k 的取值范圍為 k k5.變式 變條件 把例 5 題中的條件“ A B A”換為“ ABA”，求 k 的取值范圍【答

26、案】見解析【解析】 ABA， A? B.又 Ax| 3x4 ， B x|k 1 x 2k1 ， 可知 B?.由數軸可知k1 3，2k14，解得 k?，即當 ABA 時， k 不存在解題技巧：（由集合交集、并集的性質解題的方法）當利用交集和并集的性質解題時, 常借助于交集、并集的定義將其轉化為集合間的關系去求解 , 如 AB=A? A? B,AB=A? B? A 等. 當題設中隱含有空集參與的集合關系時 , 其特殊性很容易被忽視 , 從而引發解題失誤跟蹤訓練三1. 已知集合 A=x|0 x4, 集合 B=x|m+1x1-m, 且 AB=A,求實數 m的取值范圍.【答案】見解析【解析】 AB=A,

27、 B? A.A=x|0 x4 ? , B=? 或 B? .當 B=? 時, 有 m+1>1-m解,得 m>0.當 B? 時, 用數軸表示集合 A和 B, 如圖所示 ,?+ 1 1-?, B? A, 0 ?+ 1,1-? 4,解得-1 m 0.檢驗知 m=-1,m=0符合題意 . 綜上所得 , 實數 m的取值范圍是 m>0或-1 m0, 即 m -1.變式： 變條件 將本例中“ A B=A”改為“ A B=A” , 其他條件不變 , 求實數 m的取值范圍 .【答案】見解析【解析】 AB=A, A? B. 如圖,?+ 1 1-?,?+ 1 0,1-? 4,解得 m-3. 檢驗知

28、m=-3符合題意 . 故實數 m的取值范圍是 m -3.五、課堂小結讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧六、板書設計1. 并集2. 交集1.3集合的基本運算例 1例 3例 53.補集（全集）例 2例 4變式七、作業課本 14 頁習題 1.3教學反思：在本節利用集合關系求參的過程， 依然可以讓理解能力比較弱的同學可讓其采取“里實外空，=取不到”的方法做題。1.4 充分條件與必要條件教案教材分析從學生學習的角度看， 與舊教材相比， 教學時間的前置， 造成學生在學習充要條件這一概念時的知識儲備不夠豐富， 邏輯思維能力的訓練不夠充分， 這也為教師的教學帶來一定的困難“充要條件”這一節介紹了充分條件

29、, 必要條件和充要條件三個概念 , 由于這些概念比較抽象 , 中學生不易理解 , 用它們去解決具體問題則更為困難 , 因此”充要條件”的教學成為中學數學的難點之一, 而必要條件的定義又是本節內容的難點.教學目標與核心素養：課程目標：本課是高中數學第一章第 4 節，充要條件是中學數學中最重要的數學概念之一， 它主要討論了命題的條件與結論之間的邏輯關系, 目的是為今后的數學學習特別是數學推理的學習打下基礎。A. 正確理解充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件的概念；B. 會判斷命題的充分條件、必要條件、充要條件C. 通過學習，使學生明白對條件的判定應該歸結為判斷命題的真假.D. 在觀察和思考中，

30、在解題和證明題中，培養學生思維能力的嚴密性品質 學科素養：1. 數學抽象：充分條件、必要條件、充要條件的含義；2. 邏輯推理：判斷命題的充分條件、必要條件、充要條件； 3. 直觀想象：對條件的判定應該歸結為判斷命題的真假。教學重難點：1. 教學重點：理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，掌握命題條件的充要性判斷及其證明方法；2. 教學難點：命題條件充要性的判斷及其證明。課前準備：多媒體教學過程：一、情景引入，溫故知新情景 1：如圖所示電路中 ( 整個電路及燈泡一切正常 ),記 p: 閉合開關 A,q:燈泡亮。請把這個電路圖改寫為“若 p，則 q”形式的命題并判斷真假。【答案】真命題情景 2：

31、記 p:x >2, q:x >0。判斷命題“若 x >2，則 x >0 ”的真假。【答案】真命題二、探索新知探究一充分條件與必要條件的含義1. 思考: 下列“若 P，則 q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？（1） ）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；（2） ）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；（3） ）若x24 x30,則x1;（4） ）若平面內兩條直線 a 和 b 均垂直于直線 l , 則 a/b 。【答案】（1）真 (2)假 (3)假 （4） 真2、歸納新知（1）充分條件、必要條件的含義一般地, 用p、q 分別表示兩個命題 ,

32、 如果命題 p 成立, 可以推出命題 q 也成立,即 pq , 那么 p 叫做 q 的充分條件 ,p 叫做 q 的必要條件 .P足以導致 q, 也就是說條件 p 充分了；q 是 p 成立所必須具備的前提 .（2）如果“若p，則q” 為假命題，那么由p推不出 q，記作pq。此時，我們就說要條件。p不是q的充分條件，q不是p的必3. 思考：下列“若 P，則 q”形式的命題中， p 是 q 的什么條件？（1） ）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；（2） ）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；（3） ）若x24 x30,則x1;（4） ）若平面內兩條直線 a 和 b 均垂直

33、于直線 l , 則 a/b 。【解析】（1）、（4）中，p 是 q 的充分條件， q 是 p 的必要條件；（2）、（3）中， p不是 q 的充分條件， q 不是 p 的必要條件例1：下列 “ 若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的充分條件？p 是q的（1） 若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形;（2） 若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似;(3)若四邊形為菱形,則這個四邊形的對角線互相垂直；（4） 若x21,則x1;(5)(6)若ab, 則acbc;若x, y為無理數，則xy為無理數。【解析】（1）這是一條平行四邊形的判定定理，pq ，所以 p是 q 的充分條件；(2)

34、 這是一條相似三角形的判定定理，pq ，所以 p 是 q 的充分條件；（3） ）這是一條菱形的性質定理，pq , 所以 p 是 q 的充分條件 ;（4） ）由于(1)21，但 -11,pq ,所以 p 不是 q 的充分條件。（5） ）由等式的性質知， pq ，所以 p 是 q 的充分條件。（6） ） 2 為無理數，但222為有理數， pq ，所以 p 不是 q 的充分條件。 4、思考：例 1 中命題（ 1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，這 樣的充分條件唯一嗎？若不唯一，那么你能給出不同的充分條件嗎？【解析】四邊形的兩組對邊分別相等， 四邊形的一組對邊平行且相等， 四邊形的兩條對角

35、線互相平分都是其充分條件。結論：一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件。例2：下列 “ 若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？（1） 若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等;（2） 若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例;(3)若四邊形的對角線互相垂直,則這個四邊形為菱形；（4） 若x1,則x21;(5)(6)若acbc,則ab;若xy為無理數，則x、y為無理數。解：（ 1）這是一條平行四邊形的性質定理，Pq ，所以 q 是 p 的必要條件；（2） ）這是一條相似三角形的性質定理，Pq ，所以 q 是 p 的必要條件；（3）

36、）如圖，四邊形 ABCD的對角線互相垂直，但它不是菱形pq ，所以 q 不是 p 的必要條件；（4） ）顯然 Pq ， 所以 q 不是 p 的必要條件。（ 5）由于( 1)01 0, 但要條件；11, pq,所以 q 不是 p 的必（ 6）由于12=2 為無理數，但 1， 2 不全是無理數， pq ，所以 q 不是 p的必要條件。思考：例 2 中命題（ 1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，這樣的必要條件唯一嗎？若不唯一，你能給出幾個其它的必要條件嗎？【解析】四邊形的兩組對邊分別相等， 四邊形的一組對邊平行且相等， 四邊形的兩條對角線互相平分都是其必要條件。【結論】一般地，數學中的每

37、一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件。探究二充要條件的含義1. 思考：下列“若 P，則 q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？（1） ）若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等， 則這兩個三角形全等；（2） ）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；（3） ）若一元二次方程ax2bxc0 有兩個不相等的實數根，則ac0 。（4） ）若 A B 是空集，則 A 與 B 均是空集。【解析】命題 (1) 、（4）與它們的逆命題都是真命題。2. 定義：一般地，如果既有pq ，又有qp ，就記作：pq ,這時 p 既是q 的充分條件，又是 q 的必要條件，則 p 是

38、q 的充分必要條件，簡稱充要條件。其中叫做等價符號。pq表示pq且qp 。例 3下列各題中，哪些 p 是 q 的充要條件？（1） ） p: 四邊形是正方形， q: 四邊形的對角線互相垂直且平分；（2） ） P: 兩個三角形相似， q: 兩個三角形三邊成比例；（ 3） p:xy>0,q:x>0,y>0;(4) p:x=1是一元二次方程ax2bxc0 的一個根， q:abc0(a0) 。解：（ 1）因為對角線互相垂直平分的四邊形不一定是正方形，所以qp ，所以p 不是 q 的充要條件。（2） ）因為“若 p，則 q”是相似三角形的性質定理， “若 q，則 p”是相似三角形的判定定

39、理，所以它們均是真命題，即pq ，所以 P 是 q 的充要條件。（3） ）因為 xy>0 時， x>0,y>0 不一定成立，所以pq ，所以 p 不是 q 的充要條件。（4） ）因為“若 p，則 q”與“若 q，則 p”均為真命題，即 pq ，所以 P 是 q 的充要條件。3. 探究：通過上面的學習，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？【解析】四邊形的兩組對角分別相等、 四邊形的兩組對邊分別相等、 四邊形的一組對邊平行且相等、 四邊形的對角線互相平分、 四邊形的兩組對邊分別平行都是它的充要條件。例 4已知： O的半徑為 r ，圓心 O到直線 L 的距離為 d。求證：

40、d=r 是直線 l與 O相切的充要條件。解析: 設 p： dr， q ：直線 l與 O相切。要證p 是q 的充要條件，只需證明充分性（p q ）和必要性（q p ）即可。解：教材 P22點評：在處理充分和 必要條件問題時，首先應分清條件和結論，然后才能進行推理和判斷。三、達標檢測1、設命題甲 : 0x5,命題乙 : x23,那么甲是乙的（）.A. 充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也必要條件【答案】 B2、請用“充分不必要” 、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空：（1）xy 是 x2y2 的條件；（2）ab = 0 是 a = 0的條件；（3）x2>

41、1 是 x<1 的條件；（4）x1 或 x 2 是 x2 3x20 的條件。【答案】（ 1）充分不必要（2）必要不充分（3）既不充分也不必要（4） 充要3. 求證：關于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一根為 1 的充要條件是 a+b+c=0。證明：（ 1）必要性，即“若 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的根，則 a+b+c=0”x=1 是方程的根，將 x=1 代入方程，得 a12 +b 1+c=0，即 a+b+c=0（2） ）充分性，即“若 a+b+c=0，則 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的根”把 x=1 代入方程的左邊，得 a12+b1+c=a+b+c a+b+c

42、=0，x=1 是方程的根綜合（ 1）（2）知命題成立四、小結1、充分條件、必要條件、充要條件的概念.2、判斷充分、必要條件的基本步驟：認清條件和結論；考察 pq和qp是否能成立。3、判別技巧： 可先簡化命題； 否定一個命題只要舉出一個反例即可； 五、作業習題 1.43，5 題教學反思：本節課對于充要性關鍵是理清題意 , 特別要認清條件與結論分別是什么 , 可以從語文中的定語前置或定語后置來讓學生分析條件與結論。這點內容學生理解較為困難 , 講解時要多舉一些例子。 通過練習 , 發現學生將充要條件問題轉化為集合問題時問題較多 , 特別是涉及到高一所學的集合與函數內容時, 感到無從下手。從教學中及

43、時調整了教案 , 讓每一個想發言的學生都能表達自己的想法, 盡管他們有些數學語言的運用還不太準確 , 但我還是給與了肯定與鼓勵。1.5 全稱量詞與存在量詞教案教材分析本課是高中數學第一章第 5 節，學生對于命題的理解還是停留在初中所學知識的基礎上， 理解起來可能不是很好理解。 否定詞是學生容易忽略的， 應提醒學生。以學生探究為主學習全稱量詞命題的否定與存在量詞命題的否定，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的本節的重點， 也是一個難點， 在否定的過程中應注意全稱量詞與存在量詞之間的相互轉化，重點是在意義上理解命題的否定。教學目標與核心素養： 課程目標：A. 通過生活和數學中的豐富實例理解全稱量詞與

44、存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和存在量詞B. 了解含有量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題的含義，并能用數學符號表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性C. 會寫全稱量詞命題和存在量詞命題的否定。D. 使學生體會從具體到一般的認知過程，培養學生抽象、概括、轉化的能力學科素養：1. 數學抽象：全稱量詞與存在量詞的含義；2. 邏輯推理：全稱量詞命題和存在量詞命題的真假； 3. 直觀想象：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定。教學重難點：1. 教學重點： 判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假， 全稱量詞命題和存在量詞命題的否定；2. 教學難點：判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假。課前準備：多媒體教學過程

45、：一、情景引入，溫故知新情景 1：德國著名的數學家哥德巴赫提出這樣一個問題： “任意取一個奇數，可以把它寫成三個質數之和，比如77,77=53+17+7” , 同年歐拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正確， 并且認為： 每一個偶數都是兩個質數之和， 雖然通過大量檢驗這個命題是正確的，但是不需要證明這就是被譽為“數學皇冠上的明珠”的哥 德巴赫猜想 200 多年后我國著名數學家陳景潤才證明了“1+2”即：凡是比某一個正整數大的任何偶數， 都能表示成一個質數加上兩個質數相乘， 或者表示成一個質數加上一個質數從陳景潤的“ 1+2”到“ 1+1”似乎僅一步之遙，但它是一個迄今為止仍然沒有得到正面證明也沒有被推翻

46、的命題要想正面證明就需要證明“任意一個”“每一個”“都”這種命題成立，要想推翻它只需“存在一個” 反例情景 2：我們學校為了迎接 10 月 28 號的秋季田徑運動會 , 正在排練由 1000名學生參加的開幕式團體操表演 . 這 1000 名學生符合下列條件：（1） 所有學生都來自高二年級；（2） 至少有 30 名學生來自高二 . 一班；（ 3） 每 一 個 學 生 都 有 固 定 表 演 路 線 .結合圖片及上述文字，引出“所有” ，“至少有”，“每一個”等短語，在邏輯上稱為量詞.二、探索新知探究一全稱量詞命題的含義1. 思考: 下列語句是命題嗎 ?(1) 與(3),(2)與(4) 之間有什么

47、關系 ? (1)x>3(2) 2x+1 是整數(3) 對所有的 xR,x>3(4) 對任意一個 xZ,2x+1 是整數【答案】（1）不是 (2)不是 (3)是 （4） 是關系： (3) 在(1) 的基礎上 , 用量詞“所有的”對變量 x進行限定 ; (4)在(2) 的基礎上, 用短語”對任意一個”對變量 x 進行限定 .2、歸納新知（1）全稱量詞及表示 :定義：短語“對所有的” 、“對任意一個”、“對一切”、“對每一個”、“任給”、“所有的”在邏輯中通常叫全稱量詞。表示：用符號“”表示。（2）全稱量詞命題及表示 :定義：含有全稱量詞的命題，叫全稱量詞命題。表示：全稱命題“對 M中任

48、意一個 x，有含變量 x 的語句 p(x ）成立”表示為 :xM,p(x) 。讀作: “對任意 x 屬于，有 p(x) 成立”。例如: 命題(1) 對任意的 nZ,2n+1 是奇數;(2) 所有的正方形都是矩形。都是存在量詞命題。3. 練習：用量詞“”表達下列命題 :(1) 實數都能寫成小數形式 ;(2) 凸多邊形的外角和等于2；（ 3）任一個實數乘以 -1 都等于它的相反數。【解析】（1）xR, x 能寫成小數形式 ;（2） ） xx|x是凸 n 邊形,x的外角和等于 2;(3)xR, x· (-1)= -x.例 1. 判斷下列全稱量詞命題的真假(1)所有的素數都是奇數 ; (2)

49、xR , |x|+11(3)對每一個無理數 x,x 2 也是無理數【解析】（1） 2 是素數, 但不是奇數 , 全稱命題 (1) 是假命題 ;(2) xR ,|x| 0, 從而|x|+1 1, 全稱命題 (2) 是真命題 ;2（3） ）2 是無理數 , 但 22 是有理數， , 全稱命題 (3) 是假命題 ;4、思考：如何判斷全稱量詞命題的真假？【解析】若判定一個全稱量詞命題是真命題 , 必須對限定集合 M 中的每個元素 x 驗證 P(x) 成立; 若判定一個全稱量詞命題是假命題 , 只要能舉出集合 M中的一個x=x0 , 使得 P(x) 不成立即可。探究二 存在量詞命題的含義1. 思考：下列

50、語句是命題嗎 ?(1) 與(3),(2) 與(4) 之間有什么關系 ? (1)2x+1=3(2) x 能被 2 和 3 整除;(3) 存在一個 x R,使 2x+1=3;(4) 至少有一個 xZ,x 能被 2 和 3 整除.【解析】 (1) 不是 （ 2）不是 （3）是 （4）是關系： (3) 在(1) 的基礎上 , 用短語“存在一個”對變量 x 的取值進行限定 , 使(3) 變成了可以判斷真假的語句 ;(4) 在(2) 的基礎上 , 用“至少有一個” 對變量 x 的取值進行限定 , 從而使(4) 變成了可以判斷真假的語句 .2. 存在量詞命題的定義（1） ）存在量詞及表示 :定義：短語“存在一個”、“至少有一個”、“有些”、“有一個”、“對某個”、“有的” 在邏輯中通常叫做存在量詞。表示：用符號“ ? ”表示。（2） ）存在量詞命題及表示：定義：含有存在量詞的命題 , 叫做存在量詞命題 .表示：存在量詞命題“存在M中的一個 x, 使 p(x) 成立”可用符號簡記為 ? x M,p(x).讀作: “存在一個