1、1.3.2 球的體積和表面積球的體積和表面積 1.掌握球體的體積公式和球面面積公式掌握球體的體積公式和球面面積公式,會運用這些公式解決會運用這些公式解決有關球體的體積和球面的面積計算問題有關球體的體積和球面的面積計算問題.2.初步學會用柱初步學會用柱 錐錐 臺臺 球的體積公式解決日常生活球的體積公式解決日常生活 生生產實際中的某些應用問題產實際中的某些應用問題,能將數學應用于實際能將數學應用于實際,服務于工農服務于工農業生產業生產.課課 前前 熱熱 身身1.半徑為半徑為R的球的體積是的球的體積是_.2.半徑為半徑為R的球的表面積是的球的表面積是_.343VRS=4R2名名 師師 講講 解解怎樣

2、分析與球有關的組合體問題怎樣分析與球有關的組合體問題與球有關的組合體問題與球有關的組合體問題,一種是內切一種是內切,一種是外接一種是外接.解題時要認解題時要認真分析圖形真分析圖形,明確切點和接點的位置明確切點和接點的位置,確定有關元素間的數量確定有關元素間的數量關系關系,并作出合適的截面圖并作出合適的截面圖.如球內切于正方體如球內切于正方體,切點為正方體切點為正方體各個面的中心各個面的中心,正方體的棱長等于球的直徑正方體的棱長等于球的直徑;球外接于正方體球外接于正方體,正方體的頂點均在球面上正方體的頂點均在球面上,正方體的體對角線長等于球的直徑正方體的體對角線長等于球的直徑.球與旋轉體的組合球

3、與旋轉體的組合,通常作它們的軸截面解題通常作它們的軸截面解題,球與多面體的球與多面體的組合組合,通過多面體的一條側棱和球心通過多面體的一條側棱和球心,或或“切點切點” “接點接點”作出截面圖作出截面圖.典典 例例 剖剖 析析題型一題型一 球的體積與表面積球的體積與表面積例例1:一種空心鋼球的質量是一種空心鋼球的質量是142 g,外徑是外徑是5.0 cm,求它的內徑求它的內徑(鋼的密度是鋼的密度是7.9 g/cm3) .分析分析:由鋼球的質量可求得鋼球的體積由鋼球的質量可求得鋼球的體積,然后利用球的體積求然后利用球的體積求出內徑出內徑.解解:設空心鋼球的內徑為設空心鋼球的內徑為2x cm,那么鋼

4、球質量為那么鋼球質量為解得解得由計算器得由計算器得x2.24,2x4.5 (cm).空心鋼球的內徑約為空心鋼球的內徑約為4.5 cm.33547.9 43( )142.23x335142 3( )11.3,27.9 4x 規律技巧規律技巧:在球的有關運算中在球的有關運算中,主要是對半徑主要是對半徑r的運算的運算,通常通常可以列出關于可以列出關于r的方程的方程,解方程求出解方程求出r.也可以畫軸截面也可以畫軸截面,利用平利用平面幾何知識求出面幾何知識求出r.變式訓練變式訓練1:已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體體積為積為16,則這個球的表面積為則這

5、個球的表面積為( )A.16 B.20C.24D.32(提示提示:底面是正方形底面是正方形,側棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱側棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱)解析解析:該四棱柱的底面積為該四棱柱的底面積為4,從而底面邊長為從而底面邊長為2,其外接球的直其外接球的直徑為該四棱柱的體對角線徑為該四棱柱的體對角線.RS=4R2=24.22222242 6,R 6.答案答案:C題型二題型二 組合體問題組合體問題例例2:有三個球有三個球,第一個球內切于正方體第一個球內切于正方體,第二個球與這個正方第二個球與這個正方體各條棱相切體各條棱相切,第三個球過這個正方體的各個頂點第三個球過這個正方體的各個頂點,求這三

6、個求這三個球的表面積之比球的表面積之比.分析分析:作出截面圖作出截面圖,分別求出三個球的半徑分別求出三個球的半徑.解解:設正方體的棱長為設正方體的棱長為a.(1)正方體的內切球球心是正方體的中心正方體的內切球球心是正方體的中心,切點是六個面的中切點是六個面的中心心,經過四個切點及球心作截面如右圖經過四個切點及球心作截面如右圖,所以有所以有2r1=a,r1所以所以,2a.2211S4 ra(2)球與正方體的各棱的切點在每條棱的中點球與正方體的各棱的切點在每條棱的中點,過球心作正方過球心作正方體的對角面得截面體的對角面得截面,如下圖如下圖. 所以所以S2=4r22=2a2.(3)正方體的各個頂點在

7、球面上正方體的各個頂點在球面上,過球心作過球心作正方體的對角面得截面正方體的對角面得截面,如下圖所示如下圖所示,所以有所以有所以所以S3=4r23=3a2.綜上可得綜上可得S1:S2:S3=1:2:3.22222 ,2ra ra33323 ,2ra ra 規律技巧規律技巧:正方體內切球的直徑等于正方體的棱長正方體內切球的直徑等于正方體的棱長.正方體正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線長的外接球的直徑等于正方體的體對角線長.變式訓練變式訓練2:如右圖所示如右圖所示,一個圓錐形的空杯子上面放著一個半一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰激凌球形的冰激凌,如果冰激凌融化了如果冰激凌融化了,會溢

8、出杯子嗎會溢出杯子嗎?解解:由圖可知由圖可知,半球的半徑為半球的半徑為4 cm,圓錐的高為圓錐的高為12 cm.V半球半球V圓錐圓錐 4212=64 cm3,冰激凌化了冰激凌化了,不會溢出杯子不會溢出杯子.331 41284,2 33cm13128643題型三題型三 綜合問題綜合問題例例3:正方體正方體 等邊圓柱等邊圓柱(即底面直徑與母線長相等的圓柱即底面直徑與母線長相等的圓柱) 球的體積相等時球的體積相等時,哪一個表面積最小哪一個表面積最小?解解:設正方體棱長為設正方體棱長為a,等邊圓柱底面半徑為等邊圓柱底面半徑為r,高為高為2r,球半徑為球半徑為R.則則:V正方體正方體=a3,V圓柱圓柱=

9、r22r=2r3,規律技巧規律技巧:本例說明在表面積一定的情況下本例說明在表面積一定的情況下,球的容積最大球的容積最大.變式訓練變式訓練3:一個六棱柱的底面是正六邊形一個六棱柱的底面是正六邊形.其側棱垂直底面其側棱垂直底面,已知該六棱柱的頂點都在同一球面上已知該六棱柱的頂點都在同一球面上,且該六棱柱的高為且該六棱柱的高為 底面周長為底面周長為3,那么這個球的體積為那么這個球的體積為_.3,43解析解析:依題意知依題意知,正六棱柱的底面正六邊形的外接圓直徑為正六棱柱的底面正六邊形的外接圓直徑為1,又高為又高為 所以球的直徑為所以球的直徑為2,故球的體積為故球的體積為3,3441.33易錯探究易錯

10、探究例例4:已知某個幾何體的三視圖如圖已知某個幾何體的三視圖如圖(主視圖中的弧線是半圓主視圖中的弧線是半圓),根據圖中標出的尺寸根據圖中標出的尺寸(單位單位:cm),可得這個幾何體的體積是可得這個幾何體的體積是_cm3.22.8.8.12.1233ABCD錯解錯解:上半部分為半球體上半部分為半球體,下半部分是正方體下半部分是正方體,體積為體積為28.3V答案答案:B錯因分析錯因分析:半球體從每個方向看都是半圓半球體從每個方向看都是半圓,而三視圖的側視圖而三視圖的側視圖中頂部并不是半圓中頂部并不是半圓,所以該幾何體的頂部不是半球所以該幾何體的頂部不是半球.正解正解:由三視圖知由三視圖知,該幾何體

11、的下半部分是棱長為該幾何體的下半部分是棱長為2的正方體的正方體.上半部分是半個圓柱上半部分是半個圓柱.所以體積為所以體積為V=8+.答案答案:A1.若球的大圓面積擴大為原來的若球的大圓面積擴大為原來的2倍倍,球的體積擴大為原來的球的體積擴大為原來的( )A.8倍倍 B.4倍倍C.2倍倍D.2倍倍2解析解析:大圓的面積擴大為原來的大圓的面積擴大為原來的2倍倍,半徑擴大為原來的半徑擴大為原來的 倍倍,所以球的體積擴大為原來的所以球的體積擴大為原來的2 倍倍.22答案答案:C2.與正方體各面都相切的球與正方體各面都相切的球,它的表面積與正方體表面積之比它的表面積與正方體表面積之比為為( ).2346

12、ABCD解析解析:設正方體的棱長為設正方體的棱長為a,依題意知依題意知,內切球的直徑為內切球的直徑為a,球的表面積球的表面積S球球=4,正方體的表面積正方體的表面積S正正=6a2.S球球:S正正22( )2aa.6答案答案:D3.一個正方體的頂點都在球面上一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長為它的棱長為2 cm,則球的表則球的表面積是面積是( )A.8 cm2B.12 cm2C.16 cm2D.20 cm222212223.2Rcm22( 3)12 cm解析解析:依題意知依題意知,球的直徑為正方體的對角線球的直徑為正方體的對角線,球的半徑為球的半徑為球的表面積球的表面積S=4.答案答案:B4.

13、三個球的半徑之比為三個球的半徑之比為1:2:3,那么最大的球的體積是其它兩那么最大的球的體積是其它兩個球的體積和的個球的體積和的( )A.1倍倍B.2倍倍C.3倍倍D.4倍倍解析解析:記三個球的半徑分別為記三個球的半徑分別為1,2,3,則大球的體積則大球的體積V3=33=36,兩個小球的體積和兩個小球的體積和V1+V2= (13+23)=12.最大球的體積是其它兩個球的體積和的最大球的體積是其它兩個球的體積和的3倍倍.4343答案答案:C5.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上一個長方體的各頂點均在同一球的球面上,且一個頂點上的且一個頂點上的三條棱的長分別為三條棱的長分別為1 2 3,則此球的

14、表面積為則此球的表面積為_.解析解析:設球的半徑為設球的半徑為r,則則(2r)2=12+22+32,球的表面積球的表面積S=4r2=14.214.4r 146.若一個球的體積為若一個球的體積為4 ,則它的表面積為則它的表面積為_.3344 3 ,3r解析解析:設球的半徑為設球的半徑為r,則則它的表面積它的表面積S=4r2=12.33 3,3.rr 127.將一銅球放入底面半徑為將一銅球放入底面半徑為4 cm的圓柱形玻璃容器中的圓柱形玻璃容器中,水面水面升高升高9 cm,則這個銅球的半徑為則這個銅球的半徑為_.解析解析:設銅球的半徑為設銅球的半徑為r,依題意得依題意得323449.4.3rrcm

15、34cm8.一個圓錐形容器和一個圓柱形容器的軸截面如下圖所示一個圓錐形容器和一個圓柱形容器的軸截面如下圖所示,兩兩容器內所盛液體的體積正好相等容器內所盛液體的體積正好相等,且液面高度且液面高度h也相等也相等,求求h的的值值.能力提升能力提升9.球面上有四個點球面上有四個點P A B C,如果如果PA PB PC兩兩互相兩兩互相垂直垂直,且且PA=PB=PC=a,求這個球的表面積求這個球的表面積.解解:要求球的表面積要求球的表面積,只要求出球的半徑只要求出球的半徑R.分析題設條件可知分析題設條件可知把把P看作是球內接正方體的一個頂點看作是球內接正方體的一個頂點,把三棱錐把三棱錐P-ABC補成一補

16、成一個球內接正方體個球內接正方體,其棱長為其棱長為a.22323.4 3.2RaRaSRa球10.如圖如圖,有一倒放著的軸截面為正三角形的圓錐形容器有一倒放著的軸截面為正三角形的圓錐形容器,內盛內盛有高為有高為h的水的水,放入一個鐵球后放入一個鐵球后,上升后的水平面恰好和球相切上升后的水平面恰好和球相切,求球面上的點到圓錐頂點的最小距離求球面上的點到圓錐頂點的最小距離.解解:如圖如圖,作軸截面作軸截面,設球半徑為設球半徑為R,水面上升后錐體頂點到水面水面上升后錐體頂點到水面的高度為的高度為x,則則x=3R.由題意由題意:V水水+V球球=V錐錐.11.如下圖如下圖,某幾何體的正視圖與側視圖都是邊長為某幾何體的正視圖與側視圖都是邊長為1的正方的正方形形,且體積為且體積為 ,則該幾何體的俯視圖可以是則該幾何體的俯視圖可以是( )解析解