1、基礎知識一、拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(F l)的距離 的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的 ，直線l叫做拋物線的 相等焦點準線二、拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y0 x0焦點 離心率e1準線方程 范圍x0，yRx0，yRy0，yRy0，yR開口方向向右向左向上向下焦半徑三、拋物線的過焦點且垂直于對稱軸的弦叫拋物線的通徑，拋物線y22px(p0)的通徑長為 .拋物線y22px(p0)的焦點為F，過F的焦點弦AB的傾斜角為，則有下列性質1y1y

2、2 ，x1x2.2pp2易錯知識一、拋物線的定義失誤1到直線x2與定點P(2,0)的距離相等的點的軌跡是()A拋物線B雙曲線C橢圓 D直線答案：D二、拋物線方程的四種標準形式失誤2已知拋物線頂點為坐標原點，焦點在y軸上，拋物線上的點M(m，2)到焦點的距離為4，則m的值為_答案：4三、拋物線的性質應用失誤3已知拋物線的方程y2ax(a0)，則它的焦點坐標為_，準線方程為_4已知A、B是拋物線y22px(p0)上的兩點，O為坐標原點，若|OA|OB|，且拋物線的焦點恰為AOB的重心，則直線AB的方程是_回歸教材1(教材P1362題改編)拋物線y8mx2(m0)，F是焦點，則m表示()AF到準線的

3、距離BF到準線的距離的倒數CF到準線的距離的 DF到準線的距離的倒數的 2(2009湖南，2)拋物線y28x的焦點坐標是()A(2,0)B(2,0)C(4,0) D(4,0)解析：由拋物線方程y2 8x得2p8，2，從而拋物線的焦點為(2,0)故選B.答案：B3拋物線x24ay(a0)的準線方程為()Axa BxaCya Dya解析：焦點在y軸上，故準線方程為y 即ya，故選C.答案：C4與橢圓 共焦點的拋物線的標準方程為 ()Ay212xBy212xCy212x或y212xD以上都不對解析：橢圓的焦點為(3,0)和(3,0)故拋物線的焦點為(3,0)或(3,0)所求拋物線方程為y212x或y

4、212x.故選C.答案：C5(2009四川，13)拋物線y24x的焦點到準線的距離是_解析：y24x焦點為(1,0)，準線為x1.焦點到準線的距離為2.答案：2【例1】動點P到直線x40的距離減去它到點M(2,0)的距離之差等于2，則點P的軌跡是()A直線 B橢圓C雙曲線 D拋物線解析根據所給條件，結合圖形可知動點P到定直線x2及定點M(2,0)的距離相等，故選D.答案D總結評述注意利用定義法判斷軌跡形狀. (2008北京，4)若點P到直線x1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線解析：由題意知，點P到點(2,0)的距離與P到直線x2的距離相等，由

5、拋物線定義得點P的軌跡是以(2,0)為焦點，以直線x2為準線的拋物線，故選D.答案：D求與直線l：x1相切，且與圓C：(x2)2y21相外切的動圓圓心P的軌跡方程解析：設動圓圓心P(x，y)，動圓半徑為r.由已知條件知因此P點軌跡以F(2,0)為焦點l：x2為準線的拋物線，又 動圓圓心P的軌跡方程為y28x.【例2】試分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程：(1)過點(3,2)；(2)焦點在直線x2y40上. 分析從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一個待定系數p；而從實際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個條件，否則，應展開相應的討論. 解答(1)設所求的拋物線方

6、程為y22px，(p0)或x22py(p0)，過點(3,2)，42p(3)或92p2，所求的拋物線方程為前者的準線方程是后者的準線方程是y (2)令x0得y2，令y0得x4，拋物線的焦點為(4,0)或(0，2)，當焦點為(4,0)時， 4，p8，此時拋物線方程為y216x；焦點為(0，2)時， 2，p4，此時拋物線方程為x28y，所求的拋物線的方程為y216x或x28y，對應的準線方程分別是x4，y2.總結評述這里易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，設定一種形式的標準方程后求解，以致失去一解. (2009山東，10)設斜率為2的直線l過拋物線y2ax(a0)的焦點F，且和y軸交于點A.若OAF

7、(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線方程為()Ay24x By28xCy24x Dy28x答案：B【例3】已知AB是拋物線y22px(p0)的焦點弦，F為拋物線焦點，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求證：分析考查拋物線的過焦點的弦的性質將拋物線的焦點弦的方程設出，代入拋物線方程，利用韋達定理等解決問題當k不存在時，直線方程為 這時y1p，y2p，則y1y2p2，x1x2 因此，總有y1y2p2，x1x2(2)由拋物線定義：|AF|等于點A到準線x 的距離|AF|x1 ，同理：|BF|x2 .|AB|AF|BF|x1x2p.又yk(x )(3)如圖， (5)設AB的中點為M(x0，y0)分別

8、過A、M、B作準線的垂線，垂足為C、N、D，則|MN| (|AC|BD|) (|AF|BF|)|AB|.以AB為直徑的圓與準線相切總結評述(1)拋物線的焦半徑與焦點弦有許多特殊的性質(特別是某點的焦半徑等于這點到準線的距離，化兩點間的距離為點線間的距離)應用起來非常方便，還有其它的一些性質這里就不一一證明了如：ANB90，以CD為直徑的圓切AB于點F等(2)以上證明的五個結論是拋物線中非常重要的結論，切記設A、B是拋物線y22px(p0)上的兩點，且OAOB.(1)求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；(2)求證：直線AB過定點；(3)求弦AB中點P的軌跡方程；(4)求AOB面積的最小值AB過

9、定點(2p,0)，設M(2p,0)當x1x2時，AB仍然過定點(2p,0) 中點P的軌跡方程為y2px2p2.(p0)(4)SAOBSAOMSBOM |OM|(|y1|y2|)p(|y1|y2|)2p 4p2，當且僅當|y1|y2|2p時，等號成立，故AOB面積的最小值為4p2.【例4】(2009東北三校聯考)已知A、B兩點在拋物線C：x24y上，點M(0,4)滿足(1)求證：2)設拋物線C過A、B兩點的切線交于點N.()求證：點N在一定直線上；()設49，求直線MN在x軸上截距的取值范圍 解析(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：ykx4，與x24y聯立得x24kx160，(4k)24(16)16k2640，x1x24k，x1x216.x1x2y1y2x1x2(kx14)(kx24)(1k2)x1x24k(x1x2)16(1k2)(16)4k(4k)160， 設F是拋物G：x24y的焦點(1)過點P(0，4)作拋物線G的切線，求切線方程；(2)設A、B為拋物線G上異于原點