1、第六章第六章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理1 . 62 . 63 . 64 . 65 . 6 為了確定事件為了確定事件A的概率的概率p, 進(jìn)行了進(jìn)行了10000次的重復(fù)獨立試驗次的重復(fù)獨立試驗. 試用切比雪夫不等式估計試用切比雪夫不等式估計: 用用A在在10000次試驗中發(fā)生的頻率作為概率的近似次試驗中發(fā)生的頻率作為概率的近似值時值時, 誤差小于誤差小于0.01的概率的概率.6.1 6.2 利用切比雪夫不等式估計隨機變量利用切比雪夫不等式估計隨機變量 X與與其期望的差不小于其期望的差不小于3倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率.解答返回解答 設(shè)在每次試驗中事件設(shè)在每次試驗中事件 A 發(fā)

2、生的概率發(fā)生的概率p=0.75, 試用下面兩種方法估計試用下面兩種方法估計n取多大時才能取多大時才能以以90的把握保證的把握保證n次重復(fù)獨立試驗中次重復(fù)獨立試驗中A發(fā)生的發(fā)生的頻率在頻率在0.740.76之間之間:6.3(1) 利用切比雪夫不等式估計利用切比雪夫不等式估計;(2) 利用中心極限定理估計利用中心極限定理估計.解答返回 已知一本已知一本 300 頁的書中每頁印刷錯誤的頁的書中每頁印刷錯誤的個數(shù)服從泊松分布個數(shù)服從泊松分布P(0.2), 求這本書的印刷錯誤不求這本書的印刷錯誤不多于多于70個的概率個的概率.6.4 6.5 某單位設(shè)計一臺電話總機某單位設(shè)計一臺電話總機, 共共200個分

3、機個分機. 設(shè)每個分機有設(shè)每個分機有5的時間要使用外線通話的時間要使用外線通話, 并且每個并且每個分機使用外線與否是相互獨立的分機使用外線與否是相互獨立的. 問該單位至少需問該單位至少需要多少根外線才能保證每個分機要用外線時可供使要多少根外線才能保證每個分機要用外線時可供使用的概率達(dá)到用的概率達(dá)到90？解答返回解答 如果用如果用X1, X2, , X10000 表示表示10000次重復(fù)次重復(fù)獨立試驗的各次試驗中事件獨立試驗的各次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), 則事件則事件A在在10000次試驗中發(fā)生的頻率為次試驗中發(fā)生的頻率為 為了確定事件為了確定事件A的概率的概率p, 進(jìn)行了進(jìn)行了100

4、00次的重復(fù)獨立試驗次的重復(fù)獨立試驗. 試用切比雪夫不等式估計試用切比雪夫不等式估計: 用用A在在10000次試驗中發(fā)生的頻率作為概率的近似次試驗中發(fā)生的頻率作為概率的近似值時值時, 誤差小于誤差小于0.01的概率的概率.6.1解解121000010000XXXX 且滿足且滿足100001000011111000010000kkkE XEXpp 1000010000221111(1)(1)100001000010000kkkppDXDXpp 于是于是, 由切比雪夫不等式得由切比雪夫不等式得0.010.01 10.01P XpP XEXP XEX 221311(1)()0.0124DXppp 3

5、4 利用切比雪夫不等式估計隨機變量利用切比雪夫不等式估計隨機變量 X與其期望的差不小于與其期望的差不小于3倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率.6.2解解 因為因為 2139(3)DXPXEXDXDX 所以隨機變量所以隨機變量 X與其期望的差不小于與其期望的差不小于3倍倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率為標(biāo)準(zhǔn)差的概率為1/9. 如果用如果用X1, X2, , Xn 表示表示n次重復(fù)獨立試驗次重復(fù)獨立試驗的各次試驗中事件的各次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), 則則 設(shè)在每次試驗中事件設(shè)在每次試驗中事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率p=0.75, 試用下面兩種方法估計試用下面兩種方法估計n取多大時才能以取多大時才能以90的把的把握

6、保證握保證n次重復(fù)獨立試驗中次重復(fù)獨立試驗中A發(fā)生的頻率在發(fā)生的頻率在0.740.76之間之間:6.3(1) 利用切比雪夫不等式估計利用切比雪夫不等式估計;(2) 利用中心極限定理估計利用中心極限定理估計.解解于是事件于是事件A在在n次試驗中發(fā)生的頻率為次試驗中發(fā)生的頻率為12( ,0.75)nXXXB n12nXXXXn 且滿足且滿足2(1)(1)0.18750.75,nppppEXpDXnnn (1) 利用切比雪夫不等式得利用切比雪夫不等式得 故要以故要以90的把握保證的把握保證n次重復(fù)獨立試驗中次重復(fù)獨立試驗中A發(fā)發(fā)生的頻率在生的頻率在0.740.76之間之間, 即即0.740.760.

7、9PX 187510.9,18750nn 只只需需或或0.740.760.01PXP XEX 10.01P XEX 21875110.01DXn 根據(jù)德莫佛拉普拉斯中心極限定理根據(jù)德莫佛拉普拉斯中心極限定理, 近近似地有似地有(2)(0,1)(1)/XpNppn 從而從而0.740.760.01PXP Xp 0.011875(1)/(1)(1)/XpXpnnPPpp npppp n 211875n 故要以故要以90的把握保證的把握保證n次重復(fù)獨立試驗中次重復(fù)獨立試驗中A發(fā)發(fā) 生的頻率在生的頻率在0.740.76之間之間, 即即0.740.760.9PX 只需只需210.9,0.95187518

8、75nn 或或(1.645)0.95,1.6451875n 查查表表知知因因此此只只需需5074n 或或 比較上述兩種方法的估計結(jié)果可比較上述兩種方法的估計結(jié)果可知知: 中心極限定理較切比雪夫不等式中心極限定理較切比雪夫不等式效果好效果好. 事實上事實上, 在在X1X2,Xn獨立同獨立同分布的情況下分布的情況下, 應(yīng)用中心極限定理計應(yīng)用中心極限定理計算算Pa X1X2,Xnb往往能得到相當(dāng)往往能得到相當(dāng)精確的近似值精確的近似值, 而用切比雪夫不等式而用切比雪夫不等式給出的估計往往比較粗糙給出的估計往往比較粗糙. 如果用如果用X1,X2,X300表示表示300頁書中各頁印頁書中各頁印刷錯誤的個數(shù)

9、刷錯誤的個數(shù), 則這則這300個隨機變量相互獨立且都個隨機變量相互獨立且都服從泊松分布服從泊松分布P(0.2), 它們的數(shù)學(xué)期望和方差均為它們的數(shù)學(xué)期望和方差均為0.2, 據(jù)林德伯格列維中心極限定理據(jù)林德伯格列維中心極限定理, 近似地有近似地有 已知一本已知一本 300 頁的書中每頁印刷錯誤的頁的書中每頁印刷錯誤的個數(shù)服從泊松分布個數(shù)服從泊松分布P(0.2), 求這本書的印刷錯誤不求這本書的印刷錯誤不多于多于70個的概率個的概率.6.4解解30030011300 0.260(0,1)300 0.260kkkkXXN 這本書的印刷錯誤總數(shù)不多于這本書的印刷錯誤總數(shù)不多于70個的個的概率為概率為于

10、是于是, ,30030011607060706060kkkkXPXP 706060 1.29 0.9015 用用 X 表示這表示這200個分機中同時需要使用外線個分機中同時需要使用外線的臺數(shù)的臺數(shù), 則則 X B(200,0.05). 如果設(shè)該單位安裝的外如果設(shè)該單位安裝的外線數(shù)為線數(shù)為k , 那么據(jù)德莫佛拉普拉斯中心極限定理那么據(jù)德莫佛拉普拉斯中心極限定理, 近似地有近似地有 某單位設(shè)計一臺電話總機某單位設(shè)計一臺電話總機, 共共200個分機個分機. 設(shè)每個分機有設(shè)每個分機有 5 的時間要使用外線通話的時間要使用外線通話, 并且每并且每個分機使用外線與否是相互獨立的個分機使用外線與否是相互獨立的. 問該單位至少問該單位至少需要多少根外線才能保證每個分機要用外線時可供需要多少根外線才能保證每個分機要用外線時可供使用的概率達(dá)到使用的概率達(dá)到 90？6.5解解10(0,1)(1)9.5XnpXNnpp 于是于是1010109.59.59.5XkkP XkP 故欲保證這些分機要用外線時可供使用的概率故欲