1、教學目標教學目標1、掌握定積分概念及基本性質；、掌握定積分概念及基本性質；2、理解可積的充要條件、充分條件、必要條件；、理解可積的充要條件、充分條件、必要條件；3、掌握積分中值定理、微積分基本定理、牛頓萊布、掌握積分中值定理、微積分基本定理、牛頓萊布尼茲公式；尼茲公式；4、掌握定積分的計算方法（換元法、分部積公法、掌握定積分的計算方法（換元法、分部積公法等）。等）。 第九章定積分第九章定積分定定積積分分概概念念的的引引入入 一 背景： 1. 曲邊梯形的面積: 2. 變力所作的功: 3. 函數的平均值: 4. 原函數的構造型定義: 1 1 曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積 中學里我們已經學會了正方形

2、，三角形，梯形等面積的計算，這些圖形有一個共同的特征：每條邊都是直線段。但我們生活與工程實際中經常接觸的大都是曲邊圖形,他們的面積怎么計算呢？我們通常用一些小矩形面積的和來近似它。 1 定積分的概念定積分的概念abxyoabxyo上面用九個小矩形近似的情況顯然比用四個小矩形近似的情況精度高，但這樣得到的仍然是曲邊圖形面積的近似值。如何求取曲邊圖形的準確面積呢？ 比如舉世矚目的長江三峽溢流壩，其斷面形狀是根據流體力學原理設計的，如圖 1 所示，上端一段是是拋物線，中間部分是直 比如舉世矚目的長江三峽溢流壩，其斷面形狀是根據流體力學原理設計的， 如圖1所示， 上端一段是是拋物線， 中間部分是直線，

3、下面部分是圓弧。建造這樣的大壩自 然要根據它的體積備料，計算它的體積就 需要盡可能準確的計算出它的斷面面積。 該斷面最上面拋物線所圍的那一塊面積該 怎樣計算呢？在介紹微分定義 時我們已經知道，直與曲雖然是一對矛盾 ，但它們可以相互轉化，早在三國時代， 我國古代代數學家劉徽就提出了“割圓術” BACD 圖1 長江三峽溢流壩斷面，以“直”代“曲”把圓的面積近似看成多邊形面積來計算。現在我們我們來計算一下溢流壩上部斷面面積。 假設拋物線方程為 1,0 x,x1y2, 將 1,0 等分成 n等份，拋物線下面部分分割成 n 個小曲邊梯形第 i 個小曲邊梯形用寬為n1，高為 2ni1 的矩形代替， 21n

4、in1它的面積 n1)2n2i(1iS 所求的總面積 3226n13n22n1n1i2i3n11n1n1i)2n2i(1nS 我們分別取 n=10, 50, 100 用計算機把它的圖象畫出來，并計算出面積的近似值： clf, n=10; x=0:1/n:1; y=1-x.2; y1=1-x.2; F(x)AB再看一個變力做功的問題。 設 質點 m 受力)(xF 的作用，沿直線由 A 點運動到 B 點，求變力)(xF作的功 F 雖然是變力，但在很短一段間隔內x，F 的變化不大，可近似看作是常力作功問題。按照求曲邊梯形面積的思想， 1） 對,ba作分割 bxxxxanii11當每個小區間的長度都很

5、小時，小區間 ,1iixx上的力 ,)(1iiiixxFF 在 ,1iixx上，力 F 作的功 iiixFW)( 2）求 和 力 F 在 ,ba 上作的功 niniiiixFWW11)( 分割越細，近似程度越高，分割無限細時，即分割細度0max|ixT 近似程度就無限高. 將這種方法用于一般的曲邊梯形：b,nx1nx2x1x0 xa內插入若干個分點，ba,區 間在abxyoi ix1x1 ix1 nx;1,1,ixixixixixnba長度為，個小區間分成把區間，上任取一點在每個小區間iixix,1iiix)f( A為高的小矩形面積為為底，以)(,1ifixixiniixfA )(1 曲邊梯形

6、面積的近似值為iniixfA )(lim10 時，趨近于零即小區間的最大長度當分割無限加細)0(,max,21nxxx曲邊梯形面積為3） 取極限 對上面和式取極限， 極限值,就是力在 ,ba 上作的功。 從上面兩個例子看出，不管是求曲邊梯形的面積或是計算變力作的功，它們都歸結為對問題的某些量進行“分割、近似求和、取極限”，或者說都歸結為形如 niiixf1)( 的和式極限問題。我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個數學概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個定義 定 義 設 )(xf是 定 義 在 區 間,ba上 的 一 個 函 數 ， 在 閉 區 間,ba上 任 取

7、 n-1 個 分bxxxxanii11 把 a,b 分 成 n 個 小 閉 區 間 ， 我 們 稱 這 些 分 點 和 小 區 間 構 成 的 一個 分 割 ， 用 T 表 示 , 分 割 的 細 度 用max|ixT表 示 ， 在 分 割 T所 屬 的 各 個 小 區 間 內 各 取 一 點,1iiixx稱 為 介 點 ， 作 和 式 niiixf1)( 以 后 簡 記 為 )(Tf 此 和 式 稱 為)(xf 在,ba上 屬 于 分 割 T 的 積 分 和 （ 或 黎 曼 和 ， 設 J 是一 個 確 定 的 數 ，若 對 任 意0總 存 在 某 個0，使 得 ,ba 上 的上的任何分割

8、T，只要它的細度| T，屬于分割 T 的所有積分和 )(Tf 都有 |)(|JTf 則稱)(xf在,ba上可積，稱 J 為函數)(xf在區間,ba上的定積分(或黎曼積分)，記作baf(x)dx 其中)(xf稱為積分函數， x 稱為積分變量，,ba稱為積分區間，ba ,分別稱為積分 的上限和下限。 利用積分的定義，前面提到曲邊梯形面積可簡潔的表示為 badxxfS)( 變力作功問題可表示為 badxxFW)(例 用定義求積分 1021xdx. 解 分法與介點集選法如例 1 , 有 1021xdxnlimninni12111nlimniinn122 . 上式最后的極限求不出來, 但卻表明該極限值就

9、是積分1021xdx. 三理解定積分定義要注意以下三點： 1）定積分定義與我們前面講的函數極限的“”定義形式上非常相似，但是兩者之間還是有很大差別的。對于定積分來說，給定了細度|T以后，積分和并不唯一確定，同一細度分割由無窮 學習定積分，不僅要理解、記住定積分的定義，還要學習建立定積分概念的基本思想，我們以后的學習中還會遇到其它類型的積分，比如勒貝格積分、斯蒂疌斯積分等，只要理解了定積分的思想，其他類型的積分就很容易理解了。現在我們再來總結一下定積分建立的的思想和方法：從定積分的實例和概念中看到定積分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的長方形去近似代替小曲邊梯形，以“直” 代“曲”；然后把所

10、有長方形加起來，近似求和，得到曲邊梯形面積的一個近似值；當分割無限加細時，就得到曲邊梯形的準確值，即badxxf)( 這時又從“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取極限”是定積分的核心思想。四四小結小結觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系面積和與曲邊梯形面積的關系1, 0,3xyxy 應該說定積分的思想最早產生于中國，三國時候（263 年），我國科學家劉徽就提出了“割圓術”方法，他把圓的面積用正多邊形面積來近似代替，算出了 （稱徽 率）。劉徽所說的“割只彌細，所失彌小，割之又割，以之不可割，則與圓合體而無所失矣”。14.

11、3 劉 徽 祖沖之， 這正是定積分的核心思想。南北朝時我國古代數學家祖沖之（429-500）在綴術一書 中又求得 在 與 之間，比歐洲最早得出這個近似值的德人鄂圖早1100余年。1415926.31415927.3 英國數學家和物理學家出生在一個農民家庭，出生前父親就去世了，三歲母親改嫁，由外祖母撫養。1661年入劍橋大學，1665年獲學士學位，1668年獲碩士學位。由于他出色的成就，1669年巴魯（Barrow）把數學教授的職位讓給年僅26歲的牛頓。1703年被選為英國皇家學會會長。牛頓一生成就輝煌，堪稱科學巨匠。最突出的有四項重大貢獻：創立微積分，為近代數學奠定了基礎，推動了整個科學技術的

12、發展。他發現了力學三大定律，為經典力學奠定了基礎；他發現了萬有引力為近代天文學奠定了基礎；他對光譜分析的實驗，為近代光學奠定了基礎 。他的巨著自然哲學的數學原理影響深遠，他被公認為歷史上偉大的科學家。可惜他晚年研究神學，走了彎路。牛頓（牛頓（I.Newton 1642.12.251727.3.3）黎曼（黎曼（B.Riemann 1826.9.17-1866.7.20） 德國數學家，出生在德國一個鄉村牧師家庭，在哥廷根大學和柏林大學學習，1851年獲博士學位1859年任教授，1866年因肺結核去世。他四十年的生涯中，在數學許多分支，都作出了劃時代貢獻。他在1851年的博士論文“復變函數論的基礎”

13、給出了保角影射的基本定理，是幾何函數論的基礎，1854年定義了黎曼積分，又提出了關于三角級數收斂的黎曼條件。同年在他的另一篇論文中引入n維流形和黎曼空間的概念，并定義了黎曼空間的曲率，開辟了幾何學的新領域。1857年他在關于阿貝爾函數的論文中，引入了黎曼面概念，奠定了復變函數的幾何理論基礎，1858年他關于素數分布的論文，用黎曼函數論述了素數的分布，開辟了解吸函數論。在此論文中還提出了柯西函數零點分布的黎曼猜想，至盡還未解決。他在非歐幾何、偏微分方程、理論物理、橢圓函數論等方面都有杰出貢獻，不愧是一位具有開拓精神的偉大數學家。小知識：中國古代數學對微積分創立的貢獻 微積分的產生分為三個階段：極

14、限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數學家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數學不能比擬的。公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀墨經中有了有窮、無窮、無限小（最小無內）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創的割圓術求圓面積和方錐體積，求得 圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現。微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎上產生和發展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的夢溪筆談獨創了“隙積術”、“會圓術”和“棋局都數術”開創了對高階等差級數求和的研究。特別是13世紀40年代到14世紀初，在主要領域都達到了中國古代數學的高峰，出現了現通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負開方術”、“大衍求一術”、“大衍總數術”（一次同余式組解法）、“垛積術”（高階等差級數求和）、“招差術”（高次