1、解三角形【專題要點(diǎn)】正、余弦定理公式及其變形公式，三角形面積公式，三角形形狀的判斷（化邊為角或化角為邊），正、余弦定理的應(yīng)用舉例（如：測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題，計算面積問題、航海問題、物理問題等）【考綱要求】1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題【知識縱橫】【教法指引】本節(jié)是高考必考內(nèi)容，重點(diǎn)為正余弦定理及三角形面積公式，考題靈活多樣，因此，在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)注意： 1根據(jù)教學(xué)實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，研究問題。在對于正弦定理和余弦定理的證

2、明的探究過程中，應(yīng)該因勢利導(dǎo)，根據(jù)具體教學(xué)過程中學(xué)生思考問題的方向來啟發(fā)學(xué)生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應(yīng)用兩個定理解決有關(guān)的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵學(xué)生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進(jìn)行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵學(xué)生設(shè)計應(yīng)用的程序，得到在實(shí)際中可以直接應(yīng)用的算法2適當(dāng)安排一些實(shí)習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識，提高學(xué)生分析問題的解決實(shí)際問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)習(xí)過程和實(shí)習(xí)結(jié)果能力，增強(qiáng)學(xué)生

3、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。教師要注意對于學(xué)生實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對于實(shí)際測量問題的選擇，及時糾正實(shí)際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題【典例精析】例1（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，（2）根據(jù)正弦定理，因?yàn)椋裕虍?dāng)時， ，當(dāng)時，點(diǎn)評：應(yīng)用正弦定理時（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器例2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c, b=acosC,且ABC的最大邊長為1

4、2，最小角的正弦值為。（1）判斷ABC的形狀；（2）求ABC的面積解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=, sinB=sin(A+C),從而（#）式變?yōu)閟in(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形（2）ABC的最大邊長為12，由（1）知斜邊=12，又ABC最小角的正弦值為，RtABC的最短直角邊為12=4，另一條直角邊為SABC=16小結(jié)：此題主要考查三角函數(shù)變換及正弦定理的應(yīng)用.用正弦定理化邊為角，再以例3（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解：（1）=co

5、s=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）由余弦定理的推論得：cos；cos；點(diǎn)評：應(yīng)用余弦定理時解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍 例4（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 . 答案 ：2 解：設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，例5（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值解：（1）因?yàn)椋钟傻茫?（2）對于，又，或，由余弦定理得， 例6（2009全國卷理）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且 求b。 分析：:此題事實(shí)上比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對

6、已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分. 解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運(yùn)用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強(qiáng)化訓(xùn)練例7（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足，

7、 （I）求的面積； （2）若，求的值解（1） 又，而，所以，所以的面積為：（2）由（）知，而，所以所以點(diǎn)評：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計算能力例8.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且cosA=.(1)求sin2+cos2A的值;(2)若a=,求bc的最大值. 分析：(1) 條件是明確的，但一時用不上，怎么辦？，讓目標(biāo)式向條件式轉(zhuǎn)化，也就是將sin2+cos2A轉(zhuǎn)化成cosA的代數(shù)式然后求值；(2)由條件及()的結(jié)論，立即想到可用余弦定理破題.解：（1）ABC中，sin=cos.sin2+cos2A=

8、cos2+cos2A=+2cos2A1=2cos2A+cosA=2×.(2)由余弦定理：=cosA=.,當(dāng)且僅當(dāng)b=c,即ABC為等腰三角形時，(bc)max=.小結(jié)：本題亦可用正弦定理解出。但解法不及用余弦定理簡單：cosA=由正弦定理：,=cos(B+C)cos(BC)=cosA+cos(BC)(+1)=.當(dāng)且僅當(dāng)B=C,即ABC為等腰三角形時，(bc)max=.例9. 飛機(jī)的航線和山頂在同一個鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10250m,速度為180km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8°30,經(jīng)過120秒后又看到山頂?shù)母┙菫?1°,求山頂?shù)暮０胃叨?精確到

9、1m). 分析：依據(jù)條件，飛行員的兩次觀測點(diǎn)和山頂可構(gòu)成一個三角形，明確了該三角形中的已知量與未知量后，就可以解斜三角形.解：設(shè)飛行員的兩次觀測點(diǎn)依次為A和B，山頂為M，山頂?shù)街本€AB的距離為MD,.例9圖解在ABM中，由條件知:A=18°30,B=99°,M=62°30.又AB=180×=6km.根據(jù)正弦定理,可得BM=進(jìn)而求得:MD=MD2120m.山頂?shù)暮０胃叨葹?0250-2120=8130m. 小結(jié)：依據(jù)題目背景，畫出平面圖形或空間圖形，從中篩選直角三角形或斜三角形，是解此類應(yīng)用題的基本要領(lǐng).將實(shí)際問題與三角形中的邊、角對號，從而明確那些是已知量，那些是未知量.例1