1、河海大學力學與材料學院河海大學力學與材料學院Elasticity 彈性力學彈性力學也稱也稱彈性理論彈性理論，主要研究，主要研究彈性體彈性體在在外力作用或溫度變化等外力作用或溫度變化等外界因外界因素下所產(chǎn)生的素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而，從而解決解決結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)或或機械設(shè)計機械設(shè)計中所提出的中所提出的強度強度和和剛度剛度問題。問題。 教教 材材 徐芝綸徐芝綸編編彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程( (第四版第四版) )，高，高等教育出版社，等教育出版社，20132013主要參考書主要參考書陳國榮陳國榮編編彈性力學彈性力學，河海大學出版社，河海大學出版社，20022002徐芝綸徐芝

2、綸編編彈性力學彈性力學( (第四版，上冊第四版，上冊) )，高等教育出，高等教育出版社，版社，20062006S.Timoshenko & Goodier J.Theory of Elasticity清華大學出版社清華大學出版社, 2004 徐芝綸徐芝綸編編Applied Elasticity，高等教育出版社，高等教育出版社，1991Give me a fish and I will eat today, Teach me to fish and I will eat for a life time.授人以魚，不如授人以漁授人以魚，不如授人以漁。第三節(jié)第三節(jié) 彈性力學中的基本假定彈性力

3、學中的基本假定第二節(jié)第二節(jié) 彈性力學中的幾個基本概念彈性力學中的幾個基本概念第一節(jié)第一節(jié) 彈性力學的內(nèi)容彈性力學的內(nèi)容第四節(jié)第四節(jié) 彈性力學發(fā)展簡史彈性力學發(fā)展簡史-研究研究彈性體彈性體由于受外力、邊界約束或溫度由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力應(yīng)力、形變形變和和位移位移。彈性力學彈性力學(Elasticity)1-1 1-1 彈性力學的內(nèi)容彈性力學的內(nèi)容 研究彈性體的力學，有材料力學、結(jié)構(gòu)力學、彈性力學。它們的研究對象分別如下： 彈性體：彈性體：理想化的固體材料、材料受荷載理想化的固體材料、材料受荷載后只發(fā)生后只發(fā)生彈性變形彈性變形（卸載后可恢復的變形卸載后可

4、恢復的變形）材料力學材料力學(Mechanics of materials)-研究簡單構(gòu)件（主要是桿件如梁、柱和軸的拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)和組合變形等）的強度、剛度和穩(wěn)定性計算。彈性力學彈性力學(Elasticity)-研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結(jié)構(gòu)等的位移、變形和應(yīng)力計算。 第一節(jié)第一節(jié) 彈性力學的內(nèi)容彈性力學的內(nèi)容結(jié)構(gòu)力學結(jié)構(gòu)力學(Structural mechanics)-在材料力學基礎(chǔ)上研究桿系結(jié)構(gòu)(如桁架、剛架等)的內(nèi)力和位移計算。研究對象 ：在區(qū)域V內(nèi)嚴格考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，建立三套方程三套方程; 在邊界s上考慮受力或約束條件，建立邊

5、界條件邊界條件; 并在邊界條件下求解上并在邊界條件下求解上述方程述方程，得出較精確的解答。彈力研究方法彈力研究方法 在研究方法上，彈力和材力也有區(qū)別： 材力 也考慮這幾方面的條件，但不是十分嚴格的：常常引用近似的計算假設(shè)近似的計算假設(shè)（如平面截面假設(shè)）來簡化問題簡化問題，并在許多方面進行了近似的處理。 因此材料力學建立的是近似理論近似理論，得出的是近似的解答近似的解答。從其精度來看，材料力學解法只能適用于桿件形狀的結(jié)構(gòu)桿件形狀的結(jié)構(gòu)。 彈性力學是其他彈性力學是其他固體力學分支學科固體力學分支學科的的基礎(chǔ)基礎(chǔ)。 彈性力學是彈性力學是工程結(jié)構(gòu)分析工程結(jié)構(gòu)分析的的重要手段重要手段。尤其對于尤其對于安

6、全性安全性和和經(jīng)濟性經(jīng)濟性要求很高的近代大要求很高的近代大型工程結(jié)構(gòu)，須用型工程結(jié)構(gòu)，須用彈力方法彈力方法進行分析，進行分析，或以或以彈性應(yīng)力分析彈性應(yīng)力分析和和變形分析變形分析為基礎(chǔ)。為基礎(chǔ)。第一節(jié)第一節(jié) 彈性力學的內(nèi)容彈性力學的內(nèi)容 彈性力學彈性力學在力學學科和工程學科中在力學學科和工程學科中, ,具有具有重要的地位：重要的地位：地位二灘拱壩二灘拱壩H=240m小灣拱壩混凝土澆筑小灣拱壩混凝土澆筑H=292m 施工中的龍灘大壩施工中的龍灘大壩H=192m錦屏一級拱壩錦屏一級拱壩H=305m海洋石油鉆井平臺海洋石油鉆井平臺雙雙線線五五級級船船閘閘可可通通行行萬萬噸噸輪輪船船天生橋廠房高邊坡引

7、引水水隧隧洞洞南南水水北北調(diào)調(diào)藺藺家家壩壩泵泵站站第一節(jié)第一節(jié) 彈性力學的內(nèi)容彈性力學的內(nèi)容 工科學生學習彈力的目的：工科學生學習彈力的目的：學習目的（4 4）為進一步學習其他固體力學分支學）為進一步學習其他固體力學分支學 科打下基礎(chǔ)。科打下基礎(chǔ)。（3 3）能用彈力近似解法（變分法、差分法）能用彈力近似解法（變分法、差分法 和和有限單元法有限單元法）解決工程實際問題；）解決工程實際問題；（2 2）能閱讀和應(yīng)用彈力文獻；）能閱讀和應(yīng)用彈力文獻；（1 1）理解和掌握彈力的基本理論；）理解和掌握彈力的基本理論；思考題思考題 彈性力學和材料力學相比，其研究對象有什么區(qū)別？2. 彈性力學和材料力學相比，

8、其研究方 法有什么區(qū)別？ 3. 試考慮在土木、水利工程中有哪些非 桿件和桿系的結(jié)構(gòu)？ -其他物體對研究對象（彈性體）的作用力。 外力外力(External force)第一章第一章 緒論緒論外力1 12 2 彈性力學中的幾個基本概念彈性力學中的幾個基本概念 遠距作用和接觸作用遠距作用和接觸作用 前者包括萬有引力、電磁力等后者包括表面壓力、摩擦力等 -（定義）作用于物體體積內(nèi)的力。 體力（體力（Body force）（表示）以單位體積內(nèi)所受的力來量 度， （量綱）基本量綱是指具有獨立性的量綱。國際單位制有基本量綱是指具有獨立性的量綱。國際單位制有7個基本量個基本量的量綱符號的量綱符號,與力學有關(guān)

9、的為：長度與力學有關(guān)的為：長度L、質(zhì)量、質(zhì)量M、時間、時間T。.,zyxfff第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 （符號）坐標正向為正坐標正向為正。-2-2ML T .體力0limVV Ff -（定義）作用于物體表面上的力。面力面力(Surface force)（表示）以單位面積所受的力來量 度， .,zyxfff第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 （符號）坐標正向為正坐標正向為正 。（量綱）-1-2ML T .面力0limSS Ffyfxfyfxfxfyfyfxfx)(zOy例：表示出下圖中正的體力和面力x)(zOy第二節(jié)彈性力學中的幾個基

10、本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 -假想切開物體，截面兩邊互相作用 的力（合力和合力矩)，稱為內(nèi)力。內(nèi)力內(nèi)力 (Internal force)第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 內(nèi)力（量綱）（表示） - 面上沿 向正應(yīng)力(Normal stress)， - 面上沿 向切應(yīng)力(Shearing stress)。（符號）坐標面上的應(yīng)力以坐標面上的應(yīng)力以正面正向正面正向，負面負負面負向向為正。為正。-截面上某一點處，單 位截面面積上的內(nèi)力值。應(yīng)力應(yīng)力 (Stress)xxxyy第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 xx-1-2ML T .應(yīng)力0l

11、imAA Fp柯西（柯西（1789-18571789-1857） 出生于巴黎。在出生于巴黎。在純數(shù)學純數(shù)學和和應(yīng)用數(shù)學應(yīng)用數(shù)學的功力的功力 是相當深厚的，很多數(shù)學的定理和公式也是相當深厚的，很多數(shù)學的定理和公式也 都以他的名字來稱呼，如都以他的名字來稱呼，如柯西不等式柯西不等式、柯柯西積分公式西積分公式.在數(shù)學寫作上，他是被認為在數(shù)量上在數(shù)學寫作上，他是被認為在數(shù)量上僅次于歐拉的人。僅次于歐拉的人。柯西在柯西在18221822年的一篇論文中，建立了年的一篇論文中，建立了彈性理論彈性理論的的基礎(chǔ)。基礎(chǔ)。18571857年年5 5月月2323日，他突然去世，享年日，他突然去世，享年6868歲，臨終

12、前，歲，臨終前，他還與巴黎大主教在說話，他說的最後一句話是：他還與巴黎大主教在說話，他說的最後一句話是：人總是要死的，但是，他們的功績永存。人總是要死的，但是，他們的功績永存。yyxxyxyxxyxy)(zOxy例：正的應(yīng)力第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 在正面上，兩者正方向一致， 在負面上，兩者正方向相反。應(yīng)力與面力應(yīng)力與面力第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 )(zOxyxfyfxyyfxfxxxy材力：以材力：以拉拉為正為正材力：材力：順時針順時針向為正向為正xxxxyy)(zO第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基

13、本概念 )(zO彈力彈力與材力材力 相比，正應(yīng)力符號，相同 切應(yīng)力符號，不同 由微分體的平衡條件 得： ,yxxy第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 0 在彈力中， 與 數(shù)值相同，符號也相同。 在材力中， 與 數(shù)值相同，符號相反。yxxy yxxy 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 (Theorem of conjugate shearing stress)：- 形狀的改變。以通過一點的沿坐坐標正向標正向微分線段微分線段的正應(yīng)變 (Normal strain)和切應(yīng)變 (Shearing strain)來表示。形變形變 (Deformation)正應(yīng)變 ，以伸長為正。切應(yīng)

14、變 , 以直角減小為正,用弧度表示。yx ,xy第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 形變 正的正應(yīng)力對應(yīng)于正的線應(yīng)變, 正的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 o zyBCPAxxyyx位移位移(Displacement) - 一點位置的移動，用 , 表示, 量綱為 L。以坐標正向為正。變形前 變形后uv,p x y.,vyuxp第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念 位移基本物理量基本物理量平面問題平面問題空間問題空間問題量綱量綱正負方向的規(guī)定正負方向的規(guī)定外力外力（已（已知量）知量）體力體力L

15、-2MT-2沿坐標軸正向為沿坐標軸正向為正，反之為負正，反之為負面力面力L-1MT-2未未知知量量正應(yīng)力正應(yīng)力L-1MT-2正面正向，負面正面正向，負面負向為正，反之負向為正，反之為負為負切應(yīng)力切應(yīng)力L-1MT-2正應(yīng)變正應(yīng)變量綱一量綱一線段伸長為正，線段伸長為正，反之為負反之為負切應(yīng)變切應(yīng)變量綱一量綱一線段間直夾角變線段間直夾角變小為正，反之為小為正，反之為負負位移位移L沿坐標軸正向為沿坐標軸正向為正，反之為負正，反之為負xfyfxfyfzfxfyfxyxyxyxyuvuvwxfyfzfxyzxyyzzxxyzxyyzzx直角坐標表示的各種基本物理量直角坐標表示的各種基本物理量 思考題思考題

16、 試畫出正負 y 面上正的應(yīng)力和正的面力 的方向。 在 的六面體上，試問x面和y面上切應(yīng)力的合力是否相等？1ddyx 由微分體的平衡條件，建立平衡微分方程(Differential equations of equilibrium)； 由應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系, 建立物理方程 (Physical equations)； 彈性力學的研究方法，在體積彈性力學的研究方法，在體積V 內(nèi)內(nèi)： 由微分線段上形變與位移的幾何關(guān)系，建立幾何方程 (Geometrical equations)；第一章第一章 緒緒 論論 研究方法研究方法1 13 3 彈性力學中基本假定彈性力學中基本假定 在給定約束的邊界 上，

17、建立位移邊界位移邊界條件條件( (Displacement boundary conditions) )。 在給定面力的邊界 上，建立應(yīng)力邊應(yīng)力邊界條件界條件( (Stress boundary conditions););sus第三節(jié)第三節(jié) 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 研究方法研究方法 在邊界在邊界S面面上上: : 然后在邊界條件下求解上述方程，得出應(yīng)力、形變和位移。 任何學科的研究，都要略去影響很小的次要因素，抓住主要因素,從而建立計算模型,并歸納為學科的基本假定。第三節(jié)第三節(jié) 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 基本假定基本假定 為什么要提出基本假定基本假定？（1）連

18、續(xù)性連續(xù)性( (Continuity) )-假定物體是連續(xù)的。 因此，各物理量可用連續(xù)函數(shù)表示。第三節(jié)第三節(jié) 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 材料性質(zhì)假定材料性質(zhì)假定 彈性力學中的五個基本假定彈性力學中的五個基本假定。 關(guān)于材料性質(zhì)的假定材料性質(zhì)的假定及其在建立彈性力學理論中的作用： 這是連續(xù)介質(zhì)力學連續(xù)介質(zhì)力學（包括固體力學和流體力學）中的基本假定。反例反例：帶裂紋材料 斷裂力學多孔介質(zhì) 散粒體材料 DEM、DDA（2）完全彈性完全彈性( (perfect elasticity) )-假定物體是, 因此，即應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系可用胡克定律(Hookes law)表示（物理線性）。第三節(jié)第

19、三節(jié) 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 材料性質(zhì)假定材料性質(zhì)假定 a.完全彈性外力取消，變形恢復，無 殘余變形。b.線性彈性應(yīng)力與應(yīng)變成正比。適用性：材料具有明顯的彈性區(qū)，應(yīng)力在一定限適用性：材料具有明顯的彈性區(qū)，應(yīng)力在一定限度內(nèi)度內(nèi)( (彈性力學采用）彈性力學采用） 反例反例：橡皮、人體組織（非線性彈性）、土（無明顯的彈性區(qū)）（3）均勻性均勻性( (homogeneity) )-假定物體由同種材料組成。因此， E、等與位置 無關(guān)。第三節(jié)第三節(jié) 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 材料性質(zhì)假定材料性質(zhì)假定 ),(zyx含義含義：從試樣測定的材料特性可以代表了這 種材料 適用性適用

20、性：與問題宏觀尺度有關(guān)、與研究問題的目的有關(guān)（簡單問題基本都采用）反例反例： 混凝土當作非均質(zhì)材料、纖維增強復合材料（4）各向同性各向同性( (isotropy) )-假定物體各向同性。因此， E、等與方向無關(guān)。第三節(jié)第三節(jié) 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 材料性質(zhì)假定材料性質(zhì)假定 反例反例：如木材、沉積巖等材料。含義含義：試樣制作不需要考慮方向。作用作用：數(shù)學描述簡單適用性適用性：當材料的各向異性性不明顯或是可忽略的次要因素。 符合（1）-（4）假定的稱為理想彈性體理想彈性體( (perfect elastic body) )。由（3）,（4）知E、等為常數(shù)（3）均勻性均勻性( (

21、homogeneity) )（4）各向同性各向同性( (isotropy) )（1）連續(xù)性連續(xù)性( (Continuity) )（2）完全彈性完全彈性( (perfect elasticity) )（5）小變形假定小變形假定( (micro-deformation assumption) )-假定位移和形變?yōu)楹苄　. , 1.第三節(jié)第三節(jié) 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 變形狀態(tài)假定變形狀態(tài)假定 變形狀態(tài)假定：變形狀態(tài)假定：例：梁的 103 1, 1弧度（57.3）.a.位移物體尺寸, 例：梁的撓度v梁高h. 小變形假定的應(yīng)用：小變形假定的應(yīng)用： a.簡化平衡條件：簡化平衡條件：考

22、慮微分體的平衡條件時，可以用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。 b.簡化幾何方程：簡化幾何方程：在幾何方程中，由于 可略去 等項,使幾何方程成為線性方程。,),(),(),(32 第三節(jié)第三節(jié) 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 變形狀態(tài)假定變形狀態(tài)假定 2),(作用作用：數(shù)學描述簡單，幾何方程線性化平衡方程可以在初始構(gòu)形上建立。適用性適用性： 部分適用 許多固體材料（金屬、巖石、陶瓷等） 在彈性范圍內(nèi)，變形相對較小。 在彈性體有限變形彈性體有限變形、彈性穩(wěn)定彈性穩(wěn)定等問題的分析中，需要考慮彈性體變形對平衡的影響考慮彈性體變形對平衡的影響。 基本假定小結(jié)基本假定小結(jié)（）連續(xù)性 各物理量可用連

23、續(xù)函數(shù)表示（）均勻性 材料性質(zhì)不隨位置而變 （）各向同性 材料性質(zhì)不隨方向而變（）完全彈性 應(yīng)力應(yīng)變滿足虎克定律（5）小變形 幾何方程、平衡方程線性化 彈性力學基本假定，確定了彈性力學的研究范圍:第三節(jié)第三節(jié) 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 研究范圍研究范圍 理想彈性體的小變形問題。理想彈性體的小變形問題。 與其他任何學科一樣，從這門力學的發(fā)展史中，我們可以看出人們認識自然的不斷深化的過程：從簡單到復雜，從粗糙到精確，從錯誤到正確的演變歷史。許多數(shù)學家、力學家和實驗工作者做了辛勤的探索和研究工作，使彈性力學理論得以建立，并且不斷地深化和發(fā)展。 到今天，彈性力學已是固體力學最成熟的到今

24、天，彈性力學已是固體力學最成熟的分支分支 。1 14 4 彈性力學的發(fā)展簡史彈性力學的發(fā)展簡史1 1、發(fā)展初期、發(fā)展初期（約于16601820） 這段時期主要是通過實驗探索了物體的受力與變形之間的關(guān)系。1678年，胡克通過實驗，發(fā)現(xiàn)了彈性體的變形與受力之間成比例的規(guī)律。1807年，楊做了大量的實驗，提出和測定了材料的彈性模量。伯努利（1705）和庫侖（1776）研究了梁的彎曲理論。一些力學家開始了對桿件等的研究分析。Robert Hooke (1635-1693)對彈性物體做過許多試驗，而且不斷提出了改進測試的方法 牛頓同時代人，1662年倫敦皇家協(xié)會成立，胡克為第一任理事。Thomas Yo

25、ung (1773-1829)研究了桿的彈性性能，發(fā)現(xiàn)光的干涉原理，并導出了彈性模量（楊氏模量）Young 為倫敦執(zhí)業(yè)醫(yī)生，杰出的科學家。在光學、聲學、沖擊以及其他課題方面做出了原創(chuàng)性的工作。 2、理論基礎(chǔ)的建立（約于18211855） 這段時間建立了線性彈性力學的基本理論，并對材料性質(zhì)進行了深入的研究。納維（1821）從分子結(jié)構(gòu)理論出發(fā)，建立了各向同性彈性體的方程，但其中只含一個彈性常數(shù)。泊松計算了彈性體側(cè)向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比。柯西（18221827）從連續(xù)統(tǒng)模型出發(fā)，建立了彈性力學的平衡（運動）微分方程、幾何方程和各向同性的廣義胡克定律。格林（1838）應(yīng)用能量守衡定律，指出各向異性體只有

26、21個獨立的彈性常數(shù)。此后，湯姆遜由熱力學定理證明了上述結(jié)果。同時拉梅等再次肯定了各向同性體只有兩個獨立的彈性常數(shù)。至此，彈性力學建立了完整的線至此，彈性力學建立了完整的線性理論，彈性力學問題已經(jīng)化為在給定邊界性理論，彈性力學問題已經(jīng)化為在給定邊界條件下求解微分方程的數(shù)學問題。條件下求解微分方程的數(shù)學問題。Simon Danis Poisson (1781-1840) 曾致力于從材料分子說獲得泊松比的理論值。對于各向同性彈性體，得到這個值為0.25。Poisson 為巴黎 cole polytechnique 教授，Lagrange 為其博導。泊松在數(shù)學上作出了許多重要貢獻，他的名字除了用于泊

27、松比外，還有泊松方程，泊松分布，泊松過程，泊松積分核，等等。Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) 致力于彈性體力學的數(shù)學理論，首先引進了應(yīng)力張量的概念 （柯西應(yīng)力）Cauchy 為法國著名數(shù)學家，曾在 ole National Pont et Chausse, cole Polytechnique 等任教授。3、線性理論的發(fā)展時期（約于18541907） 在這段時期，數(shù)學家和力學家應(yīng)用已建立的線性彈性理論，去解決大量的工程實際問題，并由此推動了數(shù)學分析工作的進展。 圣維南（18541856）發(fā)表了關(guān)于柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的論文，并提出了圣維南原理。艾里（1862）提出了

28、應(yīng)力函數(shù)，以求解平面問題。赫茲（1882）求解了接觸問題。克希霍夫（1850）解決了平板的平衡和振動問題。還有，愛隆對薄殼作了一系列工作等等。彈性力學在這段時期得到了飛躍的發(fā)展。4、彈性力學更深入的發(fā)展時期（1907） 1907年以后，非線性彈性力學迅速地發(fā)展起來。馮.卡門（1907）提出了薄板的大撓度問題；卡門等人提出了薄殼的非線性穩(wěn)定問題；力學工作者還提出了大應(yīng)變問題，非線性材料問題（如塑性力學等）等等。同時，線性彈性力學也得到進一步的發(fā)展，出現(xiàn)了許多分支學科，如薄壁構(gòu)件力學、薄殼力學、熱彈性力學、粘彈性力學、各向異性彈性力學等。彈性力學的解法也在不斷地發(fā)展。首先是變分法（能量法）及其應(yīng)用

29、的迅速發(fā)展。貝蒂（1872）建立了功的互等定理，卡斯蒂利亞諾（18731879）建立了最小余能原理，以后為了求解變分問題出現(xiàn)了瑞利里茨（1877，1908）法，伽遼金法（1915）。此外，赫林格和瑞斯納（1914，1950）提出了兩類變量的廣義變分原理，胡海昌和鷲津(Wushizu)（1954，1955）提出了三類變量的廣義變分原理。 其次，數(shù)值解法也廣泛地應(yīng)用于彈性力學問題。邁可斯（1932）提出了微分方程的差分解法，并得到廣泛應(yīng)用。 在20世紀30年代及以后，出現(xiàn)了用復變函數(shù)的實部和虛部分別表示彈性力學的物理量，并用復變函數(shù)理論求解彈性力學問題的方法，薩文和穆斯赫利什維利作了大量的研究工作

30、，解決了許多孔口應(yīng)力集中等問題。 1946年之后，又出現(xiàn)了有限單元法，并且得到迅速的發(fā)展和應(yīng)用，成為現(xiàn)在解決工程結(jié)構(gòu)分析的強有力的工具。 彈性力學及有關(guān)力學分支的發(fā)展，為解決現(xiàn)代復雜工程結(jié)構(gòu)的分析創(chuàng)造了條件，并促進了技術(shù)的進步和發(fā)展。 有限單元法是近半個世紀發(fā)展起來的非常有效、應(yīng)用非常廣泛的數(shù)值解法。目前也是最常用最有效的數(shù)值求解方法。它通過采用單元插值的方法，將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，將邊值問題偏微分方程用一組線性代數(shù)方程組來近似，并使用計算機進行求解的方法。 已是固體力學固體力學最為成熟的一個分支學科 彈性力學或彈性理論 也成了 掌握固體力學理論 深入理解工程力學問題工程力學問題的最重要的

31、基礎(chǔ)基礎(chǔ) 作者簡介 徐芝綸教授（19111999），中國科學院 資深院士，著名的力學家和教育家。徐芝綸 編著的力學教材被我國工科院校廣泛采用， 為培養(yǎng)科技人才起到了重要的作用。徐芝綸在基礎(chǔ)板梁的科研工作中作出了許多重大成果，并為在我國引進、推廣、研究有限單元法作出了突出貢獻。徐芝綸一生為人正直、品德高尚，以“學無止境，教亦無止境學無止境，教亦無止境”為座右銘，嚴謹治學、嚴格教學，數(shù)十年如一日為國家培養(yǎng)建設(shè)人才貢獻了畢生的精力。19111911年年6 6月月2020日生于江蘇省日生于江蘇省江都縣江都縣。1930-19341930-1934年清華大學土木工程系學習，獲工學士學位。年清華大學土木工程系學習，獲工學士學位。1934-19351934-1935年任清華大學土木工程系助教。年任清華大學土木工程系助教。1935-19361935-1936年美國麻省理工學院學習，獲土木工程碩士學年美國麻省理工學院學習，獲土木工程碩士學位。位。 1936-19371936-1937年美國年美國哈佛大學哈佛大學工程科學研究院，獲工程科學工程科學研究院，獲工程科學碩士學位。碩士學位。1937-19431937-1943年任浙江大學副教授、教授