1、 8.3 直線、平面平行的判定與性質 挖命題 【考情探究】 考點 內容解讀 5 年考情 預測熱度 考題示例 考向 關聯考點 1.直線與平 面平行的判 定與性質 以立體幾何的有關定 義、公理和定理為出發 點，認識和理解空間中 線面平行、面面平行的 有關性質與判定定理 ， 并能夠證明相關性質定 理. 能運用線面平行、面 面平行的判定及性質定 理證明空間圖形的平行 關系 2018 江蘇,15,14 分 直線和平面平 行的判定 面面垂直的判疋 2017 江蘇,15,14 分 直線和平面平 行的判定 線線垂直的判疋、 面面垂直的性質 2016 課標 II ,14,5 分 直線和平面平 行的判定和性 質

2、線面角、線面垂直 的性質 2014 課標 II ,18,12 分 線面平行的判 疋 三棱錐的體積、 二 面角 2.平面與平 面平行的判 定與性質 2015 山東,17,12 分 線面平行的判 定、面面平行的 性質 線面垂直的性質、 二面角 分析解讀 從近 5 年高考情況來看，本節內容一直是高考的熱點，主要考查直線與平面及平面與平面平行的 判定和性質，常設置在解答題中的第（1）問,難度中等，解題時應注意線線平行、線面平行、面面平行的相互轉 化,應充分發揮空間想象能力以及邏輯思維能力 列命題中，錯誤的為（ ） 破考點 【考點集訓】 考點一直線與平面平行的判定與性質 1. （2017 山西大學附中

3、10 月模擬,11）如圖,在四面體 ABCD 中,若截面 PQM 是正方形,則在下 A. AC 丄 BD B. AC=BD C. AC /截面 PQMN D. 異面直線 PM 與 BD 所成的角為 45 答案 B 2. （2017 山西太原五中月考,14）過三棱柱 ABC-ABG 的任意兩條棱的中點作直線 ,其中與平 面 ABBAi平行的直線共有 _ 條. 答案 6 3. （2018 江蘇無錫模擬,18）如圖，在四面體 PABC 中 ,已知 PA 丄平面 ABC,PA=ACZ ACB=90 ,D 為 PC 的中點. (1)求證:AD 丄 BD; 若 M 為 PB 的中點，點 N 在直線 AB

4、上,且 AN： NB=： 2,求證:直線 AD/平面 CMN. 列命題中，錯誤的為（ ） 證明 (1) / PA=AC,為 PC 的中點 ， AD 丄. / PAL 平面 ABC,BC?平面 ABC/- PAL BC. / ACB=90 , BCL AC,又 PMAC=A,PA,AC?平面 PAC, BCL 平面 PAC. / AD?平面 PAC/- BCL AD. 又 ADL PC,BCAPC=C,PC,BC?平面 PBC, ADL平面 PBC.v BD?平面 PBC/ ADL BD. 連接 DM 設 BD 與 CM 交于點 G,連接 NG. / D M 分別為 PC 和 PB 的中點，/

5、DM/ BC 且 DM=BC, DG： GB=D：BC=： 2. / AN： NB=： 2, / AN： NB=DG GB. BNGA BAD/. AD/ NG. / AD?平面 CMN,NG 平面 CMN,.直線 AD/平面 CMN. 考點二平面與平面平行的判定與性質 1. （2018 安徽黃山二模,4）下列說法中，錯誤的是（ A. 若平面a /平面3 ,平面a Q平面丫 =1,平面3 平面丫 =m,貝 U I / m B. 若平面 a丄平面 3 ,平面a門平面3 =l,m ? a ,mLl,則m 3 C. 若直線 I丄平面a ,平面a丄平面3 ,則 I / 3 D. 若直線 I /平面 a

6、 ,平面a門平面3 =m,直線 I ?平面3 ,則 I / m 答案 C 2. （2017 河南豫西五校 4 月聯考,6）已知 m,n,l 1,1 2表示不同直線，a、3表示不同平面，若 m? a ,n ?a ,1 1? 3 ,1 2? 3 ,l IQ|2=M，則 a/B 的一個充分條件是 （ ） A.m/ 3 且 l i / a B.m / 3 且 n /3 C.m/ 3 且 n / 12 D.m / l 1 且 n / I 2 答案 D 3. （2017 江西九江模擬,19）如圖,在三棱柱 ABC-ABC 中,AAi丄底面 ABC,AB 丄 AC,AC=AAE、F 分別是棱 BC CC 的

7、中點. （1）若線段 AC 上的點 D 滿足平面 DEF/平面 ABC,試確定點 D 的位置，并說明理由； 證明:EF 丄 AC. 解析 ：面 DEF/ 面 ABC,面 ABCH 面 DEF=DE 面 AB6 面 ABC=AB, / AB/E,（4 分） 在 ABC中,E 是 BC 的中點， D是線段 AC 的中點.（6 分） 證明：在三棱柱 ABC-ABQ 中,AC=AA, 側面 AACC 是菱形，.A 1C 丄 AC,（7 分） 又易得 AB 丄 AC, / ABHAG=A, A1C 丄面 ABC,（9 分） AQ丄 BC.（10 分） 又 E、F 分別為棱 BG CC 的中點， EF/

8、BC,（11 分） EF 丄 AC.（12 分） 煉技法 【方法集訓】 方法1 證明直線與平面平行的方法 1. 如圖，空間幾何體 ABCDF 中,四邊形 ABCD 是菱形，直角梯形 ADFE 所在平面與平面 且 AE! AD,EF/ AD,P,Q 分別是棱 BE、DF 的中點. 求證:PQ /平面 ABCD. ABCD 垂直, 證明 如圖，作 PM/ EA 交 AB 于 M,作 QN/ EA 交 AD 于 N,連接 MN. 因為 P、Q 分別是棱 BE、DF 的中點，所以 PM/ EA 且 PM=EA,QN/ EA 且 QN=EA, 所以 PMQN, 所以四邊形 PMNQ平行四邊形， 所以 P

9、Q/ MN 又 PQ?平面 ABCD,MN 平面 ABCD, 所以 PQ/平面 ABCD. 2.如圖所示,斜三棱柱 ABC-ABC 中，點 D,Di分別是 AC,AQi的中點. (1)證明:ADi /平面 BDC; 證明：BD /平面 ABD. 證明 VD,D 分別為 AiC,AC 的中點，四邊形 ACGAi為平行四邊形 ,iD CDA, 解析 (i )證明：因為四邊形 ABCD 是菱形，/ ABC=60 (i )證明:AAi丄平面 ABCD; (2)當一為何值時,Ai B/平面 EAC?并求出此時直線 Ai B 與平面 EAC 之間的距離四邊形 ADCD 為平行四邊形, AD / CiD.

10、又 AD?平面 BDCCiD?平面 BDC AD/ 平面 BDC. 連接 DD,如圖. 易知 DD CC,又 CC BB, - BB DD. 故四邊形 BDDBi為平行四邊形. BD/ BD . 又 BD?平面 ABD ,Bi D ?平面 ABD , BD/平面 AB D. 3.(20 i 8 廣東惠州一調,i 9) 如圖，在底面是菱形的四棱柱 ABCD-ABi Ci D 中,/ ABC=6 所以 AB=AD=AC=2, 在厶 AAB 中, 由 A +AB=AB2,知 AA 丄 AB, 同理,AAi 丄 AD,又 ABAAD=A, 所以 AA 丄平面 ABCD.（4 分） 當 =1 時,AiB

11、/平面 EAC.（6 分） 理由如下：連接 BD 交 AC 于點 0,連接 0E 假設 AiB/平面 EAC,由于 AiB?平面 ABD,且平面 EACH 平面 AiBD=OE 則 OE/ AB, TO為 BD 的中點，.在 AiBD 中,E 為 AD 的中點,即一=1. 直線 AiB 與平面 EAC 之間的距離等于點 A 到平面 EAC 的距離，因為 E 為 AiD 的中點，所以點 Ai 到平面 EAC 的距離等于點 D 到平面 EAC 的距離,V D-EAC=VE-ACD,設 AD 的中點為 F,連接 EF,則 EF/ AA,且 EF=i,所以 EF 丄平面 ACD,可求得 SAC= :

12、所以 VE-ACCF- x i X = .（9 分） 又因為 AE= _,AC=2,CE=2,所以 SEA,所以-EAcd二二 X _d=（d 表示點 D 到平面 EAC 的距 離）,解得 d=,所以直線 Ai B 與平面 EAC 之間的距離為 .（1 2 分） 方法2 證明平面與平面平行的方法 i. （20i8 安徽合肥一中模擬,i8）如圖，四邊形 ABCD 與 ADEF 均為平行四邊形,M,N,G 分別是 AB,AD,EF 的中點. （i）求證:BE /平面 DMF; 求證：平面 BDE/平面 MNG. 解析(1)證明：如圖，以點 A 為原點，分別以 的方向為 x軸,y 軸,z 軸的正方向

13、 證明 如圖，連接 AE,則 AE 必過 DF 與 GN 的交點 0, 連接 M0 則皿 0為 ABE 的中位線,所以 BE/ M0, 又 BE?平面 DMF,MO 平面 DMF 所以 BE/ 平面 DMF. 因為 N,G 分別為平行四邊形 ADEF 的邊 AD,EF 的中點， 所以 DE/ GN. 又 DE?平面 MNG,GN 平面 MNG 所以 DE/平面 MNG. 又 M 為 AB 的中點，所以 MN%A ABD 的中位線，所以 BD/ MN, 又 BD?平面 MNG,M?平面 MNG 所以 BD/平面 MNG, 又 DE 與 BD 為平面 BDE 內的兩條相交直線， 所以平面 BDE/

14、平面 MNG. 2. (2017 河南中原名校聯考 ，20)如圖，在矩形 ABCD 中，AB=1,AD=a,PA 丄平面 ABCD 且 PA=1,E,F 分別為 AD,PA 的中點，在 BC 上有且只有一個點 Q,使得 PQLQD. (1) 求證：平面 BEF/平面 PDQ; (2) 求二面角 E-BF-Q 的余弦值. 建立空間直角坐標系 A-xyz, 則 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),P(0,0,1), 設 Q(1,x,0),貝V =(1,x,-1), =(-1,a-x,0),(2 分) 若 PQL QD 貝 U =-1+x(a-x)=0, 2 2 即 x -ax+1

15、=0, =(-a) -4, 在 BC 上有且只有一個點 Q,使得 PQL QD, =0, a=2,x=1.(4 分) Q(1,1,0), =(-1,1,0), 又 E 是 AD 的中點， E(0,1,0), =(-1,1,0), =, BE/ DQ, 又 BE?平面 PDQ,DQ 平面 PDQ/. BE/ 平面 PDQ, 又 F 是 PA 的中點, EF/ PD, / EF?平面 PDQ,PD 平面 PDQ/.EF/平面 PDQ, / BEAEF=E,BE,EF?平面 PDQ/.平面 BEF/平面 PDQ.(6 分) 設平面 BFQ 的法向量 n 1=(x,y,z),貝U m =0, n1 =

16、0, 易知=-,=(0,1,0), - 取 z=2,得 n 1=(1,0,2), 同理,可得平面 BEF 的一個法向量 n2=(1,1,2), cos - =, 建立空間直角坐標系 A-xyz, 又易知二面角 E-BF-Q 為銳角， 二面角 E-BF-Q 的余弦值為一 .（12 分） 過專題 【五年高考】 A組統一命題課標卷題組 1. （2016 課標n ,14,5 分）a , 3是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題： 如果 m 丄 n,m 丄a ,n / 3 ,那么a丄3 . 如果 m 丄a ,n / a ,那么ml n. 如果a / 3 ,m?a ,那么m/ 3 . 如果m/ n,

17、 a / 3 ,那么 m 與a所成的角和 n與3所成的角相等. 其中正確的命題有 _ .（填寫所有正確命題的編號） 答案 2. （2014 課標II ,18,12 分）如圖,四棱錐 P-ABCD 中,底面 ABCD 為矩形,PA 丄平面 ABCD,E 為 PD 的中點. （1）證明:PB /平面 AEC; 設二面角 D-AE-C 為 60 ,AP=1,AD= 一,求三棱錐 E-ACD 的體積. 解析 證明：連接 BD 交 AC 于點 0,連接 EO. 因為 ABCE 為矩形,所以 O 為 BD 的中點. 又 E 為 PD 的中點，所以 EO/ PB. 又 EO?平面 AEC,PB?平面 AEC

18、,所以 PB/平面 AEC. 因為 PAL 平面 ABCD,ABC 為矩形，所以 AB,AD,AP 兩兩垂直.如圖，以 A 為坐標原點， 的方向為 x軸的正方向,| |為單位長，建立空間直角坐標系 A-xyz,則 設 n i=（x,y,z）為平面 ACE 的一個法向量 可取 ni=- 又 n2=（1,0,0）為平面 DAE 的一個法向量， 由題設得|cos|=-,即 - 二，二，解得 m=. 因為 E 為 PD 的中點，所以三棱錐 E-ACD 的高為-. 三棱錐 E-ACD 的體積 V二二X-X 一X-X-. 思路分析 （1）在平面 AEC 內找出與 PB 平行的直線，分析題意可通過作三角形的

19、中位線進行 證明;（2）要求三棱錐 E-ACD 的體積，易知三棱錐的高，又已知底面直角三角形的一直角邊 AD 的長,故只需求出另一直角邊 CD 的長.可建立空間直角坐標系，利用向量法列方程（組）求解. 易錯警示 對于第（2）問,二面角的平面角與兩個半平面的法向量夾角相等或互補 ，部分同學 容易錯誤認為僅相等，另外，計算法向量時可能出錯. D（0, 一,0）丘 方向為 x軸的正方向,| |為單位長，建立空間直角坐標系 A-xyz,則 B組自主命題省（區、市）卷題組 1. （2018 浙江,6,4 分）已知平面a ,直線 m,n滿足 m ? a ,n ? a ,則m/ n”是m/ a ”的（ ）

20、A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 2. (2015 福建,7,5 分)若 l,m 是兩條不同的直線，m 垂直于平面 a ,則 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 B 3. (2018 江蘇,15,14 分)在平行六面體 ABCD-ABQ D 中,AAi=AB,ABi 丄 BiG. 求證:(1)AB /平面 ABC; (2)平面 ABBA 丄平面 ABC. 證明本題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關系 力和推理論證能力. (1)在平行六面體 ABCD-

21、ABGD 中,AB / AB. 因為 AB?平面 A B1 C,A1 B1 ?平面 ABC, 所以 AB/平面 ABC. 在平行六面體 ABCD-ABQD 中，四邊形 ABBA 為平行四邊形. 又因為 AA=AB,所以四邊形 ABBA 為菱形,所以 AB 丄 AB. 因為 AB 丄 B1C1,BC/ B1C1,所以 AB 丄 BC. 又因為 A1BABC=B,AB?平面 ABC,BC?平面 ABC, l丄 m”是“ / a ”的 ,考查空間想象能 所以 AB 丄平面 ABC, 又因為 AB?平面 ABBA,所以平面 ABBA 丄平面 ABC. 4. （2016 四川，18,12 分）如圖,在四

22、棱錐 P-ABCD 中,AD / BC, / ADC2 PAB=90 ,BC=CD=_AD,E 為棱 AD 的中點，異面直線 PA 與 CD 所成的角為 90. （1）在平面 PAB 內找一點 M,使得直線 CM/平面 PBE 并說明理由； 若二面角 P-CD-A 的大小為 45 ,求直線 PA 與平面 PCE 所成角的正弦值 解析 （1）在梯形 ABCD 中 ,AB 與 CD 不平行. 延長 AB,DC,相交于點 M（M平面 PAB），點 M 即為所求的一個點 理由如下： 由已知,BC/ ED,且 BC=ED. 所以四邊形 BCDE 是平行四邊形 從而 CM/ EB.又 EB?平面 PBE,

23、CM 平面 PBE, 所以 CM/平面 PBE. （說明：延長 AP 至點 N,使得 AP=PN 則所找的點可以是直線 MN 上任意一點） 解法一：由已知，CD 丄 PA,CD 丄 AD,PAAAD=A, 所以 CDL 平面 PAD 從而 CDL PD. 所以/ PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角.所以/ PDA=45 . 設 BC=1,則在 Rt PAD 中 ,PA=AD=2. 過點 A 作 AH 丄 CE,交 CE 的延長線于點 H,連接 PH. 易知 PA 丄平面 ABCD 又 CE?平面 ABCD, 從而 PA 丄 CE.于是 CEL 平面 PAH. 所以平面PCEL 平面 PA

24、H. 過 A 作 AQL PH 于 Q,則 AQL 平面 PCE. 所以/ APH 是 PA 與平面 PCE 所成的角. 在 Rt AEH 中,/ AEH=45 ,AE=1,所以 AHJ. 在 Rt PAH 中,PH= =一, 所以 sin / APHJ=_. 解法二：由已知，CD 丄 PA,CD 丄 AD,PAHAD=A, 所以 CDL 平面 PAD 于是 CDL PD. 從而/ PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角. 所以/ PDA=45 .由 PA 丄 AB,可得 PA 丄平面 ABCD. 設 BC=1,則在 Rt PAD 中 ,PA=AD=2. 作 Ay 丄 AD,以 A 為原點，