1、 第八章 第七節第七節一、方向導數一、方向導數 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向導數與梯度方向導數與梯度l),(zyxP一、方向導數一、方向導數定義定義: 若函數),(zyxff0lim則稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數在點 P 處沿方向 l 的方向導數方向導數.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點 ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P記作記作 ,),(),(處可微在點若函數zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:則函數在該點沿任

2、意方向沿任意方向 l 的方向導數存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l證明證明: 由函數),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點 P 可微 , 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P故coscoscoszfyfxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對于二元函數, ),(yxf為, ) 的方向導數為方處沿方向在點(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特別特別: : 當 l 與 x 軸同向有時,2

3、,0 當 l 與 x 軸反向有時,2,xflfl向角例例1. 求函數 在點 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向導數 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解: 向量 l 的方向余弦為例例2. 求函數 在點P(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向導數.解解:將已知曲線用參數方程表示為2)2, 1 (xxPlz它在點 P 的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1

4、 (174cos1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 設是曲面n在點 P(1, 1, 1 )處指向外側的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向導數.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點P 處沿求函數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nn二、梯度二、梯度 方向導數公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向導數取最大值：機動 目錄 上頁 下頁 返回

5、 結束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時與當Gl:GGlfmax1. 定義定義, fadrg即fadrg同樣可定義二元函數),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad稱為函數 f (P) 在點 P 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點處的梯度 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 G說明說明: 函數的方向導數為梯度在該方向上的投影.向量2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義函數在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線) ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 面上的投在曲線xoyCzyxfz

6、),(CyxfL),(:*影稱為函數 f 的等值線等值線 . ,不同時為零設yxff則L*上點P 處的法向量為 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc設P同樣, 對應函數, ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf當各偏導數不同時為零時, 其上 點P處的法向量為.gradPf, ),(yxfz 對函數指向函數增大的方向.3. 梯度的基本運算公式梯度的基本運算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)機動

7、目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.,)(可導設rf),(222zyxPzyxr為點其中證證:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(試證rxrf)( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r三、物理意義三、物理意義函數(物理量的分布)數量場數量場 (數性函數)場向量場向量場(矢性函數)可微函數)(Pf梯度場梯度場)(gradPf( 勢 )如: 溫度場, 電位場等如: 力場

8、,速度場等(向量場) 注意注意: 任意一個向量場不一定是梯度場.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 已知位于坐標原點的點電荷 q 在任意點),(4222zyxrrqu),(zyxP試證證證: 利用例4的結果 這說明場強:處所產生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Eugrad)4(02rrqE 場強04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf內容小結內容小結1. 方向導數方向導數 三元函數 ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向導數為coscoscoszfyfxflf 二元函數 ),(yxf在點)

9、,(yxP),的方向導數為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 梯度梯度 三元函數 ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數 ),(yxf在點),(yxP處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關系關系方向導數存在偏導數存在 可微機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.思考與練習思考與練習1. 設函數zyxzyxf2),(1) 求函數在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點切線方向的方向導數;(2)

10、求函數在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度梯度與(1)中切線方向切線方向 的夾角 .2. P73 題 16機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數沿 l 的方向導數lM (1,1,1) 處切線的方向向量)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgrad機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 l cosMfgradl42042

11、042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax2. P73 題 16P51 2，3，6，7，8，9，10 作業作業第八節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題 1. 函數)ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向導