1、初中幾何中線段和差的最值問題一、兩條線段和的最小值。根本圖形解析：一、兩個定點：1、在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最?。?點A、B在直線m兩側： 2點A、B在直線同側： A、A 是關于直線m的對稱點。2、在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。1兩個點都在直線外側： 2一個點在內側，一個點在外側：3兩個點都在內側：4、臺球兩次碰壁模型變式一：點A、B位于直線m,n 的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短. 填空：最短周長=_變式二：點A位于直線m,n 的內側, 在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.二、一個動點，一個定

2、點：一動點在直線上運動：點B在直線n上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最小在圖中畫出點P和點B1、兩點在直線兩側： 2、兩點在直線同側：二動點在圓上運動點B在O上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最小在圖中畫出點P和點B1、點與圓在直線兩側：2、點與圓在直線同側：三、A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)1點A、B在直線m兩側： 過A點作ACm,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。2點A、B在直線m同側：練習題

3、 1如圖，AOB=45°，P是AOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值為             Q2、如圖1，在銳角三角形ABC中，AB=4,BAC=45°，BAC的平分線交BC于點D，M,N分別是AD和AB上的動點，那么BM+MN的最小值為             3

4、、如圖，在銳角三角形ABC中 ，AB=，BAC=45，BAC的平分線交BC于D，M、N分別是AD和AB上的動點，那么BM+MN的最小值是多少？4、如圖4所示，等邊ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點,E是AC邊上一點.假設AE=2,EM+CM的最小值為         .5、如圖3，在直角梯形ABCD中，ABC90°，ADBC，AD4，AB5，BC6，點P是AB上一個動點，當PCPD的和最小時，PB的長為_6、如圖4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60&#

5、176;，P是上底，下底中點EF直線上的一點，那么PA+PB的最小值為              7、如圖5菱形ABCD中，AB=2，BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，那么PE+PB的最小值為            8、如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分

6、別是邊AB、BC的中點，那么PM+PN的最小值是            9、如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內離杯底3cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，那么螞蟻到達蜂蜜的最短距離為_cm10、如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，那么PK+QK的最小值為      

7、0;      11、如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點那么PB+PE的最小值是  12、如圖6所示，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個動點，那么DN+MN的最小值為            13、如圖，正方形ABCD的邊長是2，DAC的平分線交DC于點E，假設點P、Q分別是AD和AE上的動點，那么DQ+PQ的最小值為   &

8、#160;       14、如圖7，在邊長為2cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，那么PBQ周長的最小值為                    cm結果不取近似值15、如圖，O的半徑為2，點A、B、C在O上，OAOB，AOC=60°，P是OB上一動點，那么PA+PC的最小值是

9、 16、如圖8，MN是半徑為1的O的直徑，點A在O上，AMN30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，那么PAPB的最小值為(    )(A)2    (B)     (C)1    (D)2解答題1、如圖9，正比例函數y=x的圖象與反比例函數y=k0在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M，三角形OAM的面積為1.1求反比例函數的解析式；2如果B為反比例函數在第一象限圖象上的點點B與點A不重合，且B點的橫坐標為1，在x軸上求

10、一點P，使PA+PB最小.2、如圖，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2x1x2是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點B，C的橫坐標，且此拋物線過點A3，61求此二次函數的解析式；2設此拋物線的頂點為P，對稱軸與AC相交于點Q，求點P和點Q的坐標；3在x軸上有一動點M，當MQ+MA取得最小值時，求M點的坐標 3、如圖10，在平面直角坐標系中，點A的坐標為1， ，AOB的面積是.1求點B的坐標；2求過點A、O、B的拋物線的解析式；3在2中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使AOC的周長最小？假設存在，求出點C的 坐標；假設不存在，請說明理由；4如圖，拋物線yx2x3和y軸的

11、交點為A，M為OA的中點，假設有一動點P，自M點處出發，沿直線運動到x軸上的某點設為點E，再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點設為點F，最后又沿直線運動到點A，求使點P運動的總路程最短的點E，點F的坐標，并求出這個最短路程的長5如圖，在平面直角坐標系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過點B作BDBC，交OA于點D將DBC繞點B按順時針方向旋轉，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F1求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；2當BE經過1中拋物線的頂點時，求CF的長；3在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q點Q在點P的上方，且P

12、Q1，要使四邊形BCPQ的周長最小，求出P、Q兩點的坐標  6如圖，平面直角坐標系，A，B兩點的坐標分別為A(2，3，B(4，1假設C(a，0)，D(a+3，0)是x軸上的兩個動點，那么當a 為何值時，四邊形ABDC的周長最短7、如圖11，在平面直角坐標系中，矩形的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點. 1假設E為邊OA上的一個動點，當CDE的周長最小時，求點E的坐標； 2假設E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.二、求兩線段差的最大值問題 (運用三

13、角形兩邊之差小于第三邊)根本圖形解析：1、在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；1點A、B在直線m同側：解析：延長AB交直線m于點P，根據三角形兩邊之差小于第三邊，PAPBAB，而PAPB=AB此時最大，因此點P為所求的點。2點A、B在直線m異側：解析：過B作關于直線m的對稱點B,連接AB交點直線m于P,此時PB=PB，PA-PB最大值為AB練習題1. 如圖，拋物線yx 2x2的頂點為A，與y 軸交于點B(1)求點A、點B的坐標；(2)假設點P是x軸上任意一點，求證：PAPBAB；(3)當PAPB最大時，求點P的坐標.2. 如圖，直線yx1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線yx

14、2bxc與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1，0)1求該拋物線的解析式；3在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AMMC|的值最大，求出點M的坐標yxCBADOEy 3、在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為4，1和2，5；點P是y軸上的一個動點，點P在何處時，PAPB的和為最小？并求最小值。點P在何處時，PAPB最大？并求最大值。4. 如圖，直線yx2與x軸交于點C，與y軸交于點B，點A為y軸正半軸上的一點，A經過點B和點O，直線BC交A于點D1求點D的坐標；2過O，C，D三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使線段PO與PD之差的值最大？假設存在，請求出這個最大值

15、和點P的坐標假設不存在，請說明理由5、拋物線的解析式為，交x軸與A與B,交y軸于C，在其對稱軸上是否存在一點P，使APC周長最小，假設存在，求其坐標。在其對稱軸上是否存在一點Q，使QBQC的值最大，假設存在求其坐標。yCxBA6、：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到DAO1試直接寫出點D的坐標；2點B與點D在經過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQx軸于點Q，連接OP假設以O、P、Q為頂點的三角形與DAO相似，試求出點P的坐標；試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得|TO

16、-TB|的值最大？7、如圖，拋物線C1的解析式為y=-x2+2x+8，圖象與y軸交于D點，并且頂點A在雙曲線上1求過頂點A的雙曲線解析式；2假設開口向上的拋物線C2與C1的形狀、大小完全相同，并且C2的頂點P始終在C1上，證明：拋物線C2一定經過A點；3設2中的拋物線C2的對稱軸PF與x軸交于F點，且與雙曲線交于E點，當D、O、E、F四點組成的四邊形的面積為16.5時，先求出P點坐標，并在直線y=x上求一點M，使|MD-MP|的值最大8、如圖,拋物線 經過A(3，0)，B(0，4)，1.求此拋物線解析式2假設拋物線與x軸的另一交點為C，求點C關于直線AB的對稱點C 的坐標3 假設點D是第二象限

17、內點，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點E、F、H，問在拋物線的對稱軸上是否存在一點一點P，使得|PHPA|的值最大？假設存在，求出該最大值；假設不存在，請說明理由。ABCOxyABCOxyDEFH三、其它非根本圖形類線段和差最值問題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是的，那么所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。2、在轉化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。3、線段之和的問題往往是將各條線段串聯起來，再連接首尾端點，根據兩點之間線段最短以及點到線的距離垂線段最短的根本依據解決。1、如圖，

18、在ABC中，C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是 A BC。 D 62、:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD. 探究以下問題:1如圖1，當點D與點C位于直線AB的兩側時，a=b=3，且ACB=60°，那么CD= ；2如圖2，當點D與點C位于直線AB的同側時，a=b=6，且ACB=90°，那么CD= ；3如圖3，當ACB變化,且點D與點C位于直線AB的兩側時，求 CD的最大值及相應的ACB的度數. 圖1 圖2 圖33、在RtABC中，ACB=90°，tanBAC=. 點D在邊AC上不與A，C重合，連結BD，F為BD中點.1假設過點D作DEAB于E，連結CF、EF、CE，如圖1 設，那么k = ；2假設將圖1中的ADE繞點A旋轉，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示求證：BE-DE=2CF；3假設BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉，點F始終為BD中點，求線段CF長度的最大值4、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD不