1、順義區2020屆高三第二次統練數學試卷一選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，那么（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據交集的概念，可求出集合的交集.【詳解】因為集合，所以.故選：c.【點睛】本題考查集合的交集，屬于基礎題.2.在復平面內，復數對應的點位于()a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】b【解析】【分析】運用復數乘法的運算法則，化簡復數，最后確定復數所對應的點所在的象限.【詳解】，因此復數對應點的坐標為，在第二象限，故本題選b.【點睛】本題考查了復數的乘法運算法則，以及復數

2、對應點復平面的位置.3.下列函數中，既是偶函數，又在區間上為減函數的是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】結合函數的奇偶性及單調性，對四個函數逐個分析，可選出答案.【詳解】由題意，選項b、d中兩個函數是非奇非偶函數，不符合題意；對于選項a，二次函數，既是偶函數，又在區間上為減函數，符合題意；對于選項c，余弦函數是偶函數，在區間上不是單調函數，不符合題意.故選：a.【點睛】本題考查函數奇偶性及單調性的應用，考查學生的分析問題、解決問題的能力，屬于基礎題.4.拋物線上的點與其焦點的距離的最小值為（ ）a. 4b. 2c. 1d. 【答案】c【解析】【分析】結合拋物線的定義，可將

3、拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，進而可求出最小值.【詳解】由題意，拋物線的焦點，準線為，設拋物線上的動點，根據拋物線的定義可知，因為，所以，故拋物線上的點與其焦點的距離的最小值為1.故選：c.【點睛】本題考查拋物線的定義的應用，考查拋物線的性質，屬于基礎題.5.若角終邊經過點，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析】根據角度終邊上點的坐標，即可容易求得結果.【詳解】因為角終邊經過點，則.故選：c.【點睛】本題考查由角度終邊上的一點求三角函數值，屬基礎題.6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是（ ）a. 6b. 8c. 12d. 24【答案】b【解析】【分析

4、】由三視圖畫出該三棱錐的直觀圖，進而求出該三錐體的體積即可.【詳解】由三視圖畫出該三棱錐的直觀圖，如下圖，三棱錐中，底面，且，所以該三棱錐的體積.故選：b.【點睛】本題考查三視圖，考查三棱錐體積的計算，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題.7.若為任意角，則滿足的一個值為（ ）a. 2b. 4c. 6d. 8【答案】d【解析】【分析】由，可知，從而可得到的關系式，結合四個選項可選出答案.【詳解】因為，所以，即，所以可以為8.故選：d.【點睛】本題考查三角函數周期性的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.8.已知，在下列條件中，使得成立的一個充分而不必要條件是（ ）a. b. c. d. 【答

5、案】b【解析】【分析】根據充分條件與必要條件的定義，并結合不等式的性質可選出答案【詳解】對于選項a，是成立的一個充要條件，即選項a不符合題意；對于選項b，由，可知，則，反之不成立，即選項b是成立的一個充分而不必要條件，即選項b成立；對于選項c，若，滿足，但是不成立，即選項c不符合題意；對于選項d，由，不能判斷的大小關系，即選項d不符合題意.故選：b.【點睛】本題考查充分性與必要性的判斷，考查不等式的性質，考查學生的推理論證能力，屬于基礎題.9.設是各項均為正數的等比數列，為其前項和.已知，若存在使得的乘積最大，則的一個可能值是（ ）a. 4b. 5c. 6d. 7【答案】a【解析】【分析】由題

6、意知，且公比，由，可求出，結合，可得，從而可求出，進而可求出的表達式，然后求出最大值及此時的即可.【詳解】由題意，等比數列滿足，且公比，又，所以，又，所以，解得或，若，則，則，因為二次函數，在單調遞增，無最大值，所以也無最大值；若，則，則，因為二次函數，開口向下，對稱軸為，所以或時，取得最大值，此時也取最大值.所以選項a符合題意.故選：a.【點睛】本題考查等比數列的性質，考查等比數列的通項公式的求法，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.10.已知函數，若實數，則在區間上的最大值的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求出，進而可知，由，可知區間，且該區間長度為2，

7、然后畫出函數的圖象，進而可得到在上的圖象，結合圖象可求得在區間上的最大值的取值范圍.【詳解】由題意，當時，；當時，；當時，.所以，則，因為，所以區間，且該區間長度為2.作出函數的圖象，如圖1，進而可得到在上的圖象，如圖2，根據圖象可知在區間上的最大值的取值范圍是.故選：d.【點睛】本題考查函數圖象的應用，考查分段函數的性質，考查學生的計算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.二填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知向量，若，則實數_.【答案】【解析】【分析】由垂直關系可得數量積等于零，根據數量積坐標運算構造方程求得結果.【詳解】 ，解得：故答案為：【點睛】本題考查根據向量垂直關系求解參

8、數值的問題，關鍵是明確兩向量垂直，則向量數量積為零.12.設是等差數列，且，則的通項公式為_.【答案】【解析】【分析】由，可求出，再由公差，從而可求出的通項公式.【詳解】由題意，等差數列中，所以，公差，所以.故答案為：.【點睛】本題考查等差數列通項公式的求法，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.13.把函數的圖象向左平移個單位，得到的函數是_.【答案】【解析】【分析】直接利用三角函數圖象的平移變換法則求解即可.【詳解】把函數的圖象向左平移個單位，得到的函數是,故答案為.【點睛】本題考查了三角函數的圖象，重點考查學生對三角函數圖象變換規律的理解與掌握，能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖

9、象的平移問題，反映學生對所學知識理解的深度.14.若直線將圓的圓周分成長度之比為13的兩段弧，則實數的所有可能取值是_.【答案】【解析】【分析】由直線將圓的圓周分成長度之比為13的兩段弧，可知劣弧所對的圓心角為，進而可求出圓心到直線的距離，再結合，可求出的值.【詳解】由題意，圓的半徑為1，周長為，直線將圓的圓周分成長度之比為13的兩段弧，劣弧所對的圓心角為，設直線與圓的交點為，圓心為，則為直角三角形，且，所以圓心到直線的距離，又，解得.故答案為：.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.15.曲線是平面內到定點和定直線：的距離之和等于5的點的軌跡，給出下列

10、三個結論：曲線關于軸對稱；若點在曲線上，則滿足；若點在曲線上，則.其中，正確結論的序號是_.【答案】【解析】【分析】先求出曲線的軌跡方程，進而畫出圖形，對三個結論逐個分析，可得出答案.【詳解】設動點是曲線上任意一點，則，即，當時，整理得，當時，整理得，作出曲線的圖形，如下圖，顯然不正確，曲線不關于軸對稱；當時，可得，所以當點在曲線上時，滿足成立，即正確；令，可得，所以當點在曲線上時，滿足，且，又，所以，即正確.故答案為：.【點睛】本題考查軌跡方程的求法，考查數形結合思想的應用，考查學生的計算求解能力，屬于難題.三解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明演算步驟或證明過程.16.已知中，角，

11、的對邊分別為，_.是否存在以，為邊的三角形？如果存在，求出的面積；若不存在，說明理由.從；這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.【答案】詳見解析【解析】【分析】若選取條件，可先求出的值，進而由余弦定理，可出的值，進而結合，可求出的值，從而可判斷該三角形存在，進而求出三角形的面積即可；若選取條件，由余弦定理，可出的值，進而結合，可求得，從而可知該三角形不存在；若選取條件，可得，進而分兩種情況，分別討論即可.【詳解】若選取條件，此時，因為，所以，由余弦定理，解得，則，所以，所以，又，解得或者，所以存在以，為邊的三角形，其面積為.若選取條件，因為，所以，由余弦定理，解得，則，所以，顯然不成立

12、，所以不存在以，為邊的三角形.若選取條件，得，由選取條件可知，當時，存在以，為邊的三角形，其面積為.由選取條件可知，當時，不存在以，為邊的三角形.【點睛】本題考查解三角形知識，考查三角形的面積，考查學生的分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.17.如圖一所示，四邊形是邊長為的正方形，沿將點翻折到點位置(如圖二所示)，使得二面角成直二面角.，分別為，的中點. （1）求證：；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連結，由四邊形是正方形，可知在三棱錐中，從而易知平面，進而可證明；（2）由二面角為直二面角，可知，即，從而可知，以為原點

13、，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，然后分別求出平面、平面的法向量、，進而由，可求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點，連結，因為四邊形是正方形，所以在三棱錐中，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）因為二面角為直二面角，平面平面，且，所以，即，所以兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.易知，所以，則，顯然平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，取，可得，所以平面的一個法向量，則，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直判定定理及性質定理的應用，考查二面角的求法，考查了空間向量法在立體

14、幾何中的應用，考查學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.18.在全民抗擊新冠肺炎疫情期間，北京市開展了“停課不停學”活動，此活動為學生提供了多種網絡課程資源以供選擇使用.活動開展一個月后，某學校隨機抽取了高三年級的甲、乙兩個班級進行網絡問卷調查，統計學生每天的學習時間，將樣本數據分成五組，并整理得到如下頻率分布直方圖： （1）已知該校高三年級共有600名學生，根據甲班的統計數據，估計該校高三年級每天學習時間達到5小時及以上的學生人數；（2）已知這兩個班級各有40名學生，從甲、乙兩個班級每天學習時間不足4小時的學生中隨機抽取3人，記從甲班抽到的學生人數為，求的分布列和數學期望；（3）記甲

15、、乙兩個班級學生每天學習時間的方差分別為，試比較與的大小.(只需寫出結論)【答案】（1）；（2）分布列見解析，數學期望為1；（3）【解析】【分析】（1）根據甲班的統計數據，可求出每天學習時間達到5小時及以上的學生的頻率之和，進而乘以600，可求出答案；（2）計算可得甲、乙兩班每天學習時間不足4小時的學生人數分別為，從而可知可取的值為，然后求出三種情形下的概率，進而可列出分布列，求出數學期望；（3）由甲班學生每天學習時間更集中，可知.【詳解】（1）根據甲班的統計數據，該校高三年級每天學習時間達到5小時及以上的學生人數約為；（2）甲班每天學習時間不足4小時的學生人數為，乙班每天學習時間不足4小時的

16、學生人數為，從甲班抽到的學生人數可取的值為，則，所以的分布列為：012則的數學期望為：.（3）結合頻率分布直方圖，可知甲班學生每天學習時間更集中，所以.【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查離散型隨機變量的分布列，考查數學期望及方差，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.19.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；（3）當時，試寫出方程根的個數.(只需寫出結論)【答案】（1）；（2）；（3）2【解析】【分析】（1）當時，求出，結合導數幾何意義，可求出曲線在點處的切線方程；（2），由在區間上單調遞增，可知在恒成立，進而可知在恒成立，構造函數，求出在

17、上的最小值，令即可；（3）構造函數，討論的單調性，并結合零點存在性定理，可得到的零點個數，即為方程根的個數.【詳解】（1）當時，則，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由題意，因為在區間上單調遞增，所以在恒成立，即在恒成立，令，則，所以時，此時函數單調遞減；時，此時函數單調遞增，所以在上最小值為，所以.（3）當時，方程根的個數為2.證明如下：當時，構造函數，則，顯然在上單調遞增，因為，所以存在唯一零點，設為，故函數在上單調遞減，在上單調遞增，因為，所以，所以在上存在唯一零點又因為，所以在上存在唯一零點，故函數有2個零點，即方程根的個數為2.【點睛】本題考查導數幾何意義的應用，考查利用導

18、數研究函數的單調性，考查方程的根與函數的零點，考查學生的計算求解能力與推理論證能力，屬于難題.20.已知橢圓焦距和長半軸長都為2.過橢圓的右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點.（1）求橢圓方程；（2）設點是橢圓的左頂點，直線，分別與直線相交于點，.求證：以為直徑的圓恒過點.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）易知橢圓中，結合，可求出橢圓的方程；（2）結合由（1），可設直線的方程為，與橢圓方程聯立，得到關于的一元二次方程，設，可表示出直線的方程，進而得到點的坐標，同理可得點的坐標，然后得到的表達式，結合韋達定理可證明，即，即以為直徑的圓恒過點.【詳解】（1）由題意，橢圓中，所以，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，設直線的方程為，聯立，可得，顯然恒成立，設，則，易知直線的斜率存在，則直線的方程為，所以，即，同理可得，則，所以，所以，即以為直徑的圓恒過點.【點睛】本題考查橢圓方程的求法