1、第五節(jié)第五節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一一 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)二二 梯度梯度 實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是是(1,1)(1,1)，(5,1)(5,1)，(1,3)(1,3)，(5,3)(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在反比在(3,2)(3,2)處有一個(gè)螞處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？的地點(diǎn)？ 問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱

2、變冷變化最驟烈的方問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向向( (即梯度方向即梯度方向) )爬行爬行1 1 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 一一 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)000(, )0P xy ),(,(0000yxfyxM xyzo 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)P P沿某一方向的變化沿某一方向的變化率問(wèn)題率問(wèn)題),(yxfz oyxlP xy( , )( , )()zf x yP x yU PPl 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，自自點(diǎn)點(diǎn)引引射射線線 ,(,)( ).xlP xx yylPU p 設(shè)軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角設(shè)軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為并設(shè)為并設(shè)為上的另一點(diǎn)且為上的另一點(diǎn)且

3、2 方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的定義P |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf ,z 考慮考慮是否存在？是否存在？.),(),(lim0 yxfyyxxflf 22(,)( , ),()()f xx yyf x yP PxyPlPPl 函函數(shù)數(shù)的的增增量量與與兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離之之比比值值，當(dāng)當(dāng)沿沿著著 趨趨于于時(shí)時(shí)，如如果果此此比比的的極極限限存存在在，則則稱(chēng)稱(chēng)這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿方方定定義義方方向向 的的向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)記為記為證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可

4、微，則增量可表示為 ),(),(yxfyyxxf兩邊同除以?xún)蛇呁?得到得到y(tǒng)yfxxf )( o cos cos ),(),(yxfyyxxf故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù).coscos yfxf lf )(oyyfxxf 解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz)22(2221 lz.22 cos ,cos|PQPQ 22,22 如果記如果記 為為x到到L方向的轉(zhuǎn)角方向的轉(zhuǎn)角, 則方向?qū)?shù)的計(jì)算則方向?qū)?shù)的計(jì)算公式為公式為 lz cosxz sinyz 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 方向的逆時(shí)針轉(zhuǎn)角

5、，方向的逆時(shí)針轉(zhuǎn)角，,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos ),4sin(2 故故22),(yxyxyxf x l例例2 求函數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)1，1處處沿任何一方向沿任何一方向l 的方向?qū)?shù)，并問(wèn)在怎樣的方向上此方的方向?qū)?shù)，并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)驅(qū)?數(shù)有數(shù)有1最大值；（最大值；（2最小值最小值3等于零？等于零？設(shè)設(shè) 為為軸到軸到那么那么,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義.coscoscos zfyfxflf 解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPx

6、xF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos ,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故例例4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),),(2zyxzyxf 求函數(shù)在點(diǎn)求函數(shù)在點(diǎn)M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線處沿曲線 12 32tztytx在該點(diǎn)切線方向在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)解解 曲線曲線 12

7、32tztytx在點(diǎn)在點(diǎn)M (1,1,1) 處切線的方向處切線的方向向量為向量為3,4,11dd,dd,dd ttztytxll 的方向余弦為的方向余弦為263,264,261 )1 ,1 ,1(coscoscos zyxMffflf266 二二 梯度梯度1 1 場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念定義定義如果對(duì)區(qū)域如果對(duì)區(qū)域 中的每一點(diǎn)，中的每一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)著物理量對(duì)應(yīng)著物理量的一個(gè)確定的值，的一個(gè)確定的值， 則稱(chēng)在區(qū)域則稱(chēng)在區(qū)域 確定了該物理量的一確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)，個(gè)場(chǎng)，當(dāng)對(duì)應(yīng)的物理量為數(shù)量時(shí)，則稱(chēng)為數(shù)量場(chǎng)，當(dāng)對(duì)應(yīng)的物理量為數(shù)量時(shí)，則稱(chēng)為數(shù)量場(chǎng)， 當(dāng)對(duì)當(dāng)對(duì)應(yīng)的物理量為向量時(shí)，則稱(chēng)為向量場(chǎng)。應(yīng)的物理量為向量時(shí)

8、，則稱(chēng)為向量場(chǎng)。 上的數(shù)量場(chǎng)上的數(shù)量場(chǎng)區(qū)域區(qū)域 上的數(shù)量函數(shù)上的數(shù)量函數(shù))(Muu 上的向量場(chǎng)上的向量場(chǎng)區(qū)域區(qū)域 上的向量函數(shù)上的向量函數(shù))(MAA 在空間直角坐標(biāo)系下，在空間直角坐標(biāo)系下， 數(shù)量函數(shù)可以表示為數(shù)量函數(shù)可以表示為),(,zyxuu 向量函數(shù)可以表示為向量函數(shù)可以表示為kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 由方向?qū)?shù)公式由方向?qū)?shù)公式 coscoscoszfyfxflf 令向量令向量方向?qū)?shù)取最大值：方向?qū)?shù)取最大值：,zfyfxfG cos,cos,cos0 l),cos(0lGG )1(0 l0lGlf ,0方方向向一一致致時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng)Gl Glf max2 2

9、 梯度的概念梯度的概念設(shè)數(shù)量場(chǎng)設(shè)數(shù)量場(chǎng)),(zyxfu 一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，l方向的方向的方向余弦為方向余弦為,cos,cos,cos 這說(shuō)明這說(shuō)明方向：方向：f 變化率最大的方向變化率最大的方向模模 : f 的最大變化率之值的最大變化率之值:G定義定義如果在數(shù)量場(chǎng)如果在數(shù)量場(chǎng))(Muu 中一點(diǎn)中一點(diǎn)M處，處， 存在存在這樣一個(gè)向量這樣一個(gè)向量,G其方向?yàn)閿?shù)量場(chǎng)其方向?yàn)閿?shù)量場(chǎng))(Mu在點(diǎn)在點(diǎn)M處變處變化率最大的方向，化率最大的方向，其模恰為這個(gè)最大變化率的數(shù)值，其模恰為這個(gè)最大變化率的數(shù)值， 那么那么稱(chēng)向量稱(chēng)向量G為數(shù)量場(chǎng)為數(shù)量場(chǎng))(Mu在點(diǎn)在點(diǎn)M處的梯度處的梯度(gradient

10、),記作記作),(gradMu或或.gradu當(dāng)當(dāng)),(zyxfu 且且),(zyxf一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)uadrgkzfjyfixf 當(dāng)當(dāng)),(yxfu 且且),(yxf一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)uadrgjyfixf 說(shuō)明說(shuō)明:函數(shù)沿函數(shù)沿l方向的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上方向的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影的投影.引入哈密爾頓微分算子引入哈密爾頓微分算子zkyjxi 則梯度可以表示為則梯度可以表示為fu gradf 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線或等值線) ,指向函數(shù)增大的方向指向函數(shù)增大的方向.另一方面，函數(shù)另一方面，函數(shù)),

11、(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)P處沿梯度方向處沿梯度方向的方向?qū)?shù)是最大的，的方向?qū)?shù)是最大的，從而沿梯度方向函數(shù)值是增加從而沿梯度方向函數(shù)值是增加的，的， 所以所以3 梯度的幾何意義梯度的幾何意義 函數(shù)函數(shù), ),(zyxfu 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)000( , , )(,) ,f x y zf xy z 當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上點(diǎn)其上點(diǎn)P 處的法向量為處的法向量為.gradPf Pzyxfff| ,000(,)P xy z有等值有等值(量量)面面解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxu ),(grad,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1

12、, 1(gradkjiu 例例6 求數(shù)量場(chǎng)求數(shù)量場(chǎng))2(16222zyxu 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 2(處處沿曲面沿曲面82222 zyx的內(nèi)法向的方向?qū)?shù)。的內(nèi)法向的方向?qū)?shù)。分析：分析： 曲面曲面82222 zyx在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 2(處的等值面，處的等值面，為函數(shù)為函數(shù))2(16222zyxu 其內(nèi)法向其內(nèi)法向 u 的函數(shù)值增大的的函數(shù)值增大的方向，方向， 根據(jù)梯度的幾何意義：根據(jù)梯度的幾何意義：數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng)u 為在點(diǎn)為在點(diǎn)M 處的梯處的梯度為函數(shù)度為函數(shù)u 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M 的等值面的法向，的等值面的法向， 且指向且指向u 函數(shù)值增函數(shù)值增加一方，加一方，82222 zyx因而因而

13、在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 2(處的內(nèi)法向處的內(nèi)法向?yàn)閿?shù)量場(chǎng)為數(shù)量場(chǎng)u 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 2(處梯度的方向，處梯度的方向， 再由梯度的定義再由梯度的定義數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng)u 沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大， 最大的方向?qū)?shù)最大的方向?qū)?shù)為梯度的模。為梯度的模。例例6 求數(shù)量場(chǎng)求數(shù)量場(chǎng))2(16222zyxu 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 2(處處沿曲面沿曲面82222 zyx的內(nèi)法向的方向?qū)?shù)。的內(nèi)法向的方向?qū)?shù)。解解 xux2 )1 , 1 , 2()1 , 1 , 2(4 yuy2 )1 , 1 , 2()1 , 1 , 2(2 zuz4 )1 , 1 , 2()1 , 1 , 2(4 ugrad)1 , 1 , 2(kji424 lu222)4()2()4( 6 例例7,)(可導(dǎo)可導(dǎo)設(shè)設(shè)rf),(222zyxPzyxr為點(diǎn)為點(diǎn)其中其中 證證:xrf )()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrf rrrf1)( rzrfzrf