1、智慧在這里綻放，狀元從這里起航數學思維方法講義之一 年級：九年級 §第1講 證明（三角形專題）【學習目標】1、牢記三角形的有關性質及其判定；2、運用三角形的性質及判定進行有關計算與證明。【考點透視】1、全等三角形的性質與判定；2、等腰（等邊）三角形的性質與判定；3、直角三角形的有關性質，勾股定理及其逆定理；4、相似三角形的性質與判定。【精彩知識】專題一 三角形問題中的結論探索【例1】如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且DAB=30°。有以下四個結論：AFBC ；ADGACF； O為BC的中點； AG：DE=：4，其中正確結論的序號是 .AD

2、BCEO變式練習1如圖，ABD與AEC都是等邊三角形，ABAC，下列結論中：BE=DC；BOD=60°；BODCOE正確的序號是 考點感悟：專題二 三角形中的平移、旋轉等圖形變換問題探索【例2】如圖(1)，RtABC中，ACB=-90°，CDAB，垂足為DAF平分CAB，交CD于點E，交CB于點F（1）求證：CE=CF（2）將圖（1）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使點E落在BC邊上，其它條件不變，如圖（2）所示試猜想：BE'與CF有怎樣的數量關系?請證明你的結論圖（1） 圖（2）【例3】ABC中，AB=AC，D為BC的中點，以D為頂點作MDN=B（1）如圖

3、（1）當射線DN經過點A時，DM交AC邊于點E，不添加輔助線，寫出圖中所有與ADE相似的三角形（2）如圖（2），將MDN繞點D沿逆時針方向旋轉，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F點（點E與點A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當DEF的面積等于ABC的面積的時，求線段EF的長考點感悟：變式練習：如圖，O是正ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO，下列結論：BOA可以由BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；點O與O的距離為4；AOB=1

4、50°；其中正確的結論是【 】A B C D 【例4】如圖1，ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BDCF成立（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉（0°90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G求證：BDCF； 當AB=4，AD=時，求線段BG的長考點感悟：專題三 幾何動態問題【例5】如圖，在ABC中，ABAC10 cm，BC12 cm，點D是BC邊的中點點P從點B出發，以a cm/s(a0

5、)的速度沿BA勻速向點A運動；點Q同時以1 cm/s的速度從點D出發，沿DB勻速向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設它們運動的時間為t s(1)若a2，BPQBDA，求t的值；(2)設點M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形若a，求PQ的長；是否存在實數a，使得點P在ACB的平分線上？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由考點感悟：變式練習：已知線段AB=6，CD是AB上兩點，且AC=DB=1，P是線段CD上一動點，在AB同側分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點，點P由點C移動到點D時，G點移動的路徑長度為 專題四 幾何與函數結合問題【例

6、6】如圖所示，在形狀和大小不確定的ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，P在EF或EF的延長線上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分CBP，設BP=，PE=.（1）當時，求的值；（2）當CQ=CE時，求與之間的函數關系式；（3）當CQ=CE時，求與之間的函數關系式；當CQ=CE（為不小于2的常數）時，求直接與之間的函數關系式。考點感悟：【例7】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動同時動點Q從點C出發，沿線段CD向點D運動點P，Q的運動速度均為每

7、秒1個單位運動時間為t秒過點P作PEAB交AC于點E（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EFAD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P，Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C，Q，E，H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值考點感悟：【課后測試】一、選擇題：1、下列判斷正確的是（ ）A.有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等B.有兩邊對應相等，且有一角為30°的兩個等腰三角形全等C.有一角和一邊對應相等的兩個直角三角形全等D.有兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等2、在平面

8、直角坐標系xoy中，已知A（2，2），在y軸上確定點P，使AOP為等到腰三角形，則符合條件的點P共有（ ）A.2個 B.3個 C. 4個 D.5個二、填空題：3、在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC， M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是 。4、如圖，RtABC的邊BC位于直線l上，AC=，ACB=90°，A=30°若RtABC由現在的位置向右滑動地旋轉，當點A第3次落在直線l上時，點A所經過的路線的長為 （結果用含有的式子表示）三、解答題：5、在矩形ABCD中，點P在AD上，AB2，AP1將直角尺的頂點放在P處，直角尺的

9、兩邊分別交AB，BC于點E，F，連接EF（如圖）。（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖），求PC的長；（2）探究：將直尺從圖中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：的值是否發生變化？請說明理由；直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經過的路線長。 圖 圖6、如圖（1），將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD與ECF疊放在一起。（1）操作：如圖（2），將ECF的頂點F固定在ABD的BD邊上的中點處，ECF繞點F在BD邊上方左右旋轉，設旋轉時FC交BA于點H（H點不與B點重合）

10、。FE交DA于點G（G點不與D點重合）。求證：BH·GD=BF2（2）操作：如圖（3），ECF的頂點F在ABD的BD邊上滑動（F點不與B、D點重合），且CF始終經過A，過點A作AGCE，交FE于點G，連接DG。探究：FD+DG=_。請予證明。 （1） (2) (3)學生對本次課的評價：特別滿意 滿意 一般 不怎么樣家長意見或建議： 家長簽字： 部分答案：【例3】解：（1）圖（1）中與ADE相似的有ABD，ACD，DCE。（2）BDFCEDDEF，證明如下：B+BDF+BFD=180°，EDF+BDF+CDE=180°，又EDF=B，BFD=CDE。AB=AC，B=

11、C。BDFCED。BD=CD，即。又C=EDF，CEDDEF。BDFCEDDEF。 （3）連接AD，過D點作DGEF，DHBF，垂足分別為G，HAB=AC，D是BC的中點，ADBC，BD=BC=6。在RtABD中，AD2=AB2BD2，即AD2=10262，AD=8。SABC=BCAD=×12×8=48，SDEF=SABC=×48=12。又ADBD=ABDH，。BDFDEF，DFB=EFD。 DHBF，DGEF，DHF=DGF。又DF=DF，DHFDGF（AAS）。DH=DG=。SDEF=·EF·DG=·EF·=12，EF=

12、5。例3變式：A。【考點】旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理的逆定理。【分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC繞點B逆時針旋轉60°得到。故結論正確。 連接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等邊三角形。OO=OB=4。故結論正確。在AOO中，三邊長為OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一組勾股數，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150°。故結

13、論正確。故結論錯誤。如圖所示，將AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O點易知AOO是邊長為3的等邊三角形，COO是邊長為3、4、5的直角三角形。則。故結論正確。綜上所述，正確的結論為：。故選A。【例4】解：（1）BD=CF成立。理由如下：ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90°。BAD=BACDAC，CAF=DAFDAC，BAD=CAF。在BAD和CAF中，AB=AC，BAD=CAF，BADCAF（SAS）。BD=CF。（2）證明：設BG交AC于點MBADCAF（已證），ABM=GCM。又BMA=

14、CMG，BMACMG。BGC=BAC=90°。BDCF。過點F作FNAC于點N。在正方形ADEF中，AD=DE=，。AN=FN=AE=1。在等腰直角ABC 中，AB=4，CN=ACAN=3，。在RtFCN中，。在RtABM中，。AM=。CM=ACAM=4，。BMACMG，即，CG=。在RtBGC中，。【例5】解：（1）ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中點，BD=CD=BC=6。a=2，BP=2t，DQ=t。BQ=BDQD=6t。BPQBDA，即，解得：。（2）過點P作PEBC于E，四邊形PQCM為平行四邊形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。A

15、B=AC，PB=CM。PB=PQ。BE=BQ=（6t）。a=，PB=t。ADBC，PEAD。PB：AB=BE：BD，即。解得，t=。PQ=PB=t=（cm）。不存在理由如下：四邊形PQCM為平行四邊形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM，PB=PQ。若點P在ACB的平分線上，則PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM。CPM=PCM。PM=CM。四邊形PQCM是菱形。PQ=CQ。PB=CQ。PB=at，CQ=BD+QD=6+t，PM=CQ=6+t，AP=ABPB=10at，且 at=6+t。PMCQ，PM：BC=AP：AB，化簡得：6at+5t=30

16、。把代入得，t=。不存在實數a，使得點P在ACB的平分線上。【例6】【解析】平行、角平分線、等腰三角形、相似、對應邊成比例解：（1）E、F是AB、AC中點EFBC，EF=0.5BC=3EP=1EFBCDPEDBCEP：BC=1：6=1：36（2）延長BQ交射線EF于點GEFBCG=GBC又GBC=GBPG=GBPPG=BP=y即EG=x+yEFBCQEGQCBEQ：QC=EG：BC=1x+y=6 即y= x+6(3)同（2）中QEGQCBEQ：QC=EG：BC=2x+y=2×6y= x+12y= x+6(n1)【例7】解：（1）A（1，4）。由題意，設拋物線解析式為y=a（x1）2+

17、4拋物線過點C（3，0），0=a（31）2+4，解得，a=1。拋物線的解析式為y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3。（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，A（1，4），C（3，0），解得。直線AC的解析式為y=2x+6。點P（1，4t），將y=4t代入y=2x+6中，解得點E的橫坐標為。點G的橫坐標為，代入拋物線的解析式中，可求點G的縱坐標為。GE=（）（4t）=。又點A到GE的距離為，C到GE的距離為，。當t=2時，SACG的最大值為1。（3）或。【考點】二次函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數的性質，矩形和菱形的性質。【分析】（1）根據矩形的性質可以寫出點A得

18、到坐標；由頂點A的坐標可設該拋物線的頂點式方程為y=a（x1）2+4，然后將點C的坐標代入，即可求得系數a的值（利用待定系數法求拋物線的解析式）。（2）利用待定系數法求得直線AC的方程y=2x+6；由圖形與坐標變換可以求得點P的坐標（1，4t），據此可以求得點E的縱坐標，將其代入直線AC方程可以求得點E或點G的橫坐標；然后結合拋物線方程、圖形與坐標變換可以求得GE=、點A到GE的距離為，C到GE的距離為；最后根據三角形的面積公式可以求得，由二次函數的最值可以解得t=2時，SACG的最大值為1。（3）因為菱形是鄰邊相等的平行四邊形，所以點H在直線EF上。分CE是邊和對角線兩種情況討論即可。 由題設和（2）知，C（3，0），Q（3，t），E（），設H（）。當CE是對角線時，如圖1，有CQ=HE=CH，即，解得，