1、2010年第五屆全國高中數學青年教師觀摩與評比活動精品教案導數的概念教案廣東省深圳市深圳中學 曾勁松本節課的教學內容選自人教社普通高中課程標準實驗教科書（A版）數學選修22第一章第一節的變化率與導數，導數的概念是第2課時教學內容分析1導數的地位、作用導數是微積分的核心概念之一，它是一種特殊的極限，反映了函數變化的快慢程度導數是求函數的單調性、極值、曲線的切線以及一些優化問題的重要工具，同時對研究幾何、不等式起著重要作用導數概念是我們今后學習微積分的基礎同時，導數在物理學，經濟學等領域都有廣泛的應用，是開展科學研究必不可少的工具.2本課內容剖析教材安排導數內容時，學生是沒有學習極限概念的教材這樣

2、處理的原因，一方面是因為極限概念高度抽象，不適合在沒有任何極限認識的基礎上學習所以，讓學生通過學習導數這個特殊的極限去體會極限的思想，這為今后學習極限提供了認識基礎另一方面，函數是高中的重要數學概念，而導數是研究函數的有力工具，因此，安排先學習導數方便學生學習和研究函數基于學生已經在高一年級的物理課程中學習了瞬時速度，因此，先通過求物體在某一時刻的平均速度的極限去得出瞬時速度，再由此抽象出函數在某點的平均變化率的極限就是瞬時變化率的的模型，并將瞬時變化率定義為導數，這是符合學生認知規律的進行導數概念教學時還應該看到，通過若干個特殊時刻的瞬時速度過渡到任意時刻的瞬時速度；從物體運動的平均速度的極

3、限是瞬時速度過渡到函數的平均變化率的極限是瞬時變化率，我們可以向學生滲透從特殊到一般的研究問題基本思想教學目的1使學生認識到：當時間間隔越來越小時，運動物體在某一時刻附近的平均速度趨向于一個常數，并且這個常數就是物體在這一時刻的瞬時速度；2使學生通過運動物體瞬時速度的探求，體會函數在某點附近的平均變化率的極限就是函數在該點的瞬時變化率，并由此建構導數的概念；3掌握利用求函數在某點的平均變化率的極限實現求導數的基本步驟；4通過導數概念的構建，使學生體會極限思想，為將來學習極限概念積累學習經驗；5通過導數概念的教學教程，使學生體會到從特殊到一般的過程是發現事物變化規律的重要過程教學重點通過運動物體

4、在某一時刻的瞬時速度的探求，抽象概括出函數導數的概念教學難點使學生體會運動物體在某一時刻的平均速度的極限意義，由此得出函數在某點平均變化率的極限就是函數在該點的瞬時變化率，并由此得出導數的概念教學準備1查找實際測速中測量瞬時速度的方法；2為學生每人準備一臺Tinspire CAS圖形計算器，并對學生進行技術培訓；3制作數學實驗記錄單及上課課件教學流程框圖教學流程設計充分尊重學生認知事物的基本規律，使學生在操作感知的基礎上形成導數概念的表象，再通過表象抽象出導數概念，并通過運用導數概念解決實際問題使學生進一步體會導數的本質教學的主要過程設計如下：復習準備理解平均速度與瞬時速度的區別與聯系體會模型

5、感受當t0時，平均速度逼近于某個常數提煉模型從形式上完成從平均速度向瞬時速度的過渡形成概念由物體運動的瞬時速度推廣到函數瞬時變化率，并由此得出導數的定義應用概念理解導數概念，熟悉求導的步驟，應用計算結果解釋瞬時變化率的意義小結作業通過師生共同小結，使學生進一步感受極限思想對人類思維的重大影響教學過程設計預計時間（分）教學內容教師活動學生活動教學評價5分鐘1復習準備設計意圖：讓學生理解平均速度與瞬時速度的區別與聯系，感受到平均速度在時間間隔很小時可以近似地表示瞬時速度 （1）提問：請說出函數從x1到x2的平均變化率公式（2）提問：如果用x1與增量x表示平均變化率的公式是怎樣的？（3）高臺跳水的例

6、子中，在時間段里的平均速度是零，而實際上運動員并不是靜止的這說明平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態.（4）提問：用一個什么樣的量來反映物體在某一時刻的運動狀態？（5）提問：我們如何得到物體在某一時刻的瞬時速度？例如，要求物體在2S的瞬時速度，應該怎么解決？（6）我們一起來看物理中測即時速度（瞬時速度）的視頻： （7）提問：這里所測得的真的是瞬時速度嗎？（8）提問：怎樣使平均速度更好的表示瞬時速度？（9）在學生回答的基礎上講述：真正的瞬時速度根本無法通過儀器測定，我們將平均速度作為瞬時速度的近似值；為了使平均速度更好的表示瞬時速度，應該讓時間間隔盡量小回答問題后理解：（1）（2）（3）學

7、生在教師的講述中思考用什么量來反映運動員的運動狀態（4）讓學生體會并明確瞬時速度的作用（5）學生思考（6）學生觀看視頻并思考（7）期望或引導答出“是平均速度”（8）學生回答，得出“時間間隔越小越好！”（9）學生體會教師所講結論（1）復習過程應使學生明確函數的平均變化率表示（2）應使學生明確平均速度與瞬時速度的關系，為下一階段實驗活動作鋪墊15分鐘2體會模型設計意圖：讓學生在信息技術平臺上，通過定量分析感受平均速度在時間間隔越來越小時向瞬時速度逼近的過程（1）向學生提出數學實驗任務：已知跳水運動員在跳水過程中距離水面的高度與時間的函數h(t)=4.9t2+6.5t+10，請你用計算器完成下列表格

8、中t0=2秒附近的平均速度的計算并填充好表格，觀察平均速度的變化趨勢 數學實驗記錄單（1）x0時，在2，2+x內，x0時，在2+x，2內，Xx0.10.10.010.010.0010.0010.00010.00010.000010.000010.0000010.000001你認為運動員在t0=2秒處的瞬時速度為 m/s（2）提問：x、g(x)的含義各是什么？ （3）提問：觀察你自己的實驗記錄單，你能發現平均速度有什么變化趨勢嗎？ 先展示一個同學的實驗結果，并讓他說說他的發現，再將計算器的結果投影，引導同學們一起觀察（4）將學生分四個組，讓他們分別完成 t0=1.6、1.7、1.8、1.9時的實

9、驗記錄單（2）的填寫，說出他們觀察的結果，并將4個結果寫列在黑板上t0=1.6 9.18t0=1.7 10.16t0=1.8 11.14t0=1.9 12.12t0=2 13.1在學生實驗與觀察的基礎上指出：當趨近于0時，平均速度都趨近于一個確定的常數，這個常數就是瞬時速度（1）學生在TInspire CAS上完成以下操作：（2）學生操作得出如下結果，完成數學實驗記錄單（1）的填寫：（3）讓學生講他所發現的規律（4）學生分4個組再次實驗，分別完成本組的數學實驗記錄單（2）的填寫，并觀察平均速度的變化趨勢，回答教師的提問（1）應使學生在技術平臺上通過多次實驗感受到平均速度在0時趨近于一個常數，并

10、理解這個常數的意義（2）應使學生從感性上獲得求瞬時速度的方法103提煉模型設計意圖：使學生認識到平均速度當時間間隔趨向于零時的極限就是瞬時速度，為給出導數概念提煉出一個具體的極限模型（1）提問：你認為通過實驗所得結果（常數）就是瞬時速度嗎？這個數據到底是精確值還是近似值？（2）讓學生動筆化簡t0=2對應的平均速度的表達式（化簡結果為） （3）引導學生從化簡的表達式中發現當t®0時，®13.1 （4）讓學生動手化簡t0=1.6對應的平均速度的表達式（化簡結果為） 啟發學生歸納出結論：t®0時，平均速度所趨近的這個常數是可以得到的，它不是近似值，是一個精確值，它與變量

11、t無關，只與時刻t0有關（5）提問：我們得到了t0=1.6、1.7、1.8、1.9時的瞬時速度，但這還不足以代表所有時刻的瞬時速度，能不能用同樣的辦法，得到t0時的瞬時速度？啟發學生化簡平均速度的表達式，并與學生一起總結出： （6）教師講解：用表示所趨近的常數，即今后把這個常數叫做在處，當趨近于0時，平均速度的極限比如，13.1是在處，當t趨近于0時的極限（1）學生思考，也可以討論（2）學生化簡t0=2處對應的平均速度的表達式，觀察當t®0時平均速度表達式的變化趨勢（3）學生化簡t0=1.6處對應的平均速度的表達式，觀察當t®0時平均速度表達式的變化趨勢（3）學生化簡任意時

12、刻t0處對應的平均速度的表達式，觀察當t®0時平均速度表達式的變化趨勢（4）學生根據教師的講解理解平均速度的極限的意義應使學生通過動手計算，得到平均速度在0時趨近于一個常數，并且這個常數就是瞬時速度使學生理解極限符號表示的意義54形成概念設計意圖：完成從運動物體的瞬時速度到函數瞬時變化率的過渡，形成導數的概念并給出定義（1）給出下列圖示：（2）針對上述圖示，教師在啟發后提問：通過前面的學習，我們知道平均速度就是函數h(t)的平均變化率瞬時速度就是函數h(t)的瞬時變化率同時，我們已經知道：平均速度在t0時的極限就是瞬時速度那么，你能否說說，一般情況下，函數的平均變化率與瞬時變化率是一

13、個什么關系？（3）在學生理解了函數的平均變化率與瞬時變化率的關系后提問：函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率怎樣表示？教師介紹如下的的表示方法：函數f(x)在x= x0處的瞬時變化率可表示為（4）教師給出導數的定義：函數在處的瞬時變化率稱為在處的導數，記作或，即（1）在教師的啟發下思考函數的平均變化率與瞬時變化率之間的關系（2）回答教師的提問（3）理解函數導數的概念與導數的表示方法應使學生從“平均速度的極限是瞬時速度”這個具體的模型中抽象出導數的概念，并能理解導數是一個極限，明確導數的表示55應用概念設計意圖：讓學生進一步理解導數概念，體會導數的應用價值，熟悉求導數的步驟（1）提問：你能說說求

14、函數y=f(x)在x= x0處的導數的步驟嗎？教師在學生說的基礎上要總結出步驟（2）講解例1：將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱如果第 x(h)時，原油的溫度（單位:）為:f(x)=x2-7x+15(0x8).計算第2（h) 和第6（h）時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義強調：第2小時的瞬時變化率為3，說明在第2小時附近，原油大約以的速度下降（3）提出練習：計算3h時原油溫度的瞬時變化率，表述你所得結果的意義（1）學生思考并交流求函數在 x0處的導數的步驟（2）在教師講解完后完成教師提出的練習（3）求出后，回答的意義（1）檢查學生是否清楚求導數的步驟（

15、2）檢查學生能否準確地求出函數在某點的導數（3）應使學生能利用計算結果解釋導數（即瞬時變化率）的意義56小結作業設計意圖：讓學生通過總結，進一步體會導數的意義及極限的思想，訓練學生的概括能力通過布置作業，鞏固所學內容 （1）讓學生小結并交流 （2）教師總結：本節課學習了導數的概念，在這個過程中我們看到：數學使不可能的事情變成現實；導數的概念表明：當自變量的增量趨向于零時，函數在某點的平均變化率的無限地趨向于函數在該點的瞬時變化率，這是非常重要的極限思想求導數的步驟大致分為以下三步：第一步，求函數增量；第二步，求平均變化率并化簡；第三步，求平均變化率的極限，即導數作業：A層：P10/2，3，4B層：A層+補充（補充）已知y=x3求：（1）；（2）思考本節課所學內容，可以彼此之間交流自己的小結，回答教師提問.（1）使學生不僅能從知識的角度看所學過的