1、老梁試卷高一數學必修一綜合一選擇題(共 10 小題，滿分 50 分，每小題 5 分)1.( 5.00 分)已知集合A=X|X2 0，則 AQB=()A. (- 4, 2) B. (- 4, 4) C. (- 2, 2) D. (- 2, 4)4.( 5.00 分)已知奇函數 f (X),當X0 時單調遞增，且 f (1) =0,若 f (x - 1 ) 0,貝UX的取 值范圍為( )A.X|02 B.X|X2C. X|X 3D.X|X15. (5.00 分)已知函數f (X)=logax(0a B C B. A C BC. B A CD.I6. (5.00 分)已知函數二是( )C B AA.

2、B.7 .( 5.00 分)已知點(m , 8 )C. (- 1 , 1)在幕函數J，則 a , b ,D. - 1 , 1f (X) = ( m - 1 ) xn的c 的大小關系為(圖象上，設A. a c bB. a b cC. b c a D. b a c8. (5.00 分),g (X)=ex( e 是自然對數的底數),若關于X的的取值范圍滿足(邁，則?方程 g ( f (X) - m=0 恰有兩個不等實根 X1、X2,且 X10,且 1),若 f ( - 3) f (4),則不等式 f (x2-，關于 x 的方程 f (x) =kx - k 至少有兩個不相等的實數14 .已知 入 R,

3、函數(x)=,當入=2 寸，不等式 f(x) 0 的解集是若13 .函數 f (x)若對于任意的 t ( 1 , 2),不等式 f (- 2t2+t+1) +f (t2- 2mt) 0 有解，求 m 的取值范圍.15 .已知定義域為 R 的函數 f (x)=-a曰去3xtl疋奇(1)求 a 的值;(2) 判斷函數 f (x)的單調性并證明;函數16-(1)計算：J W .;17 .已知函數 f ( x) =lg (x+1) Ig (1 x).(I)求函數 f (x)的定義域；(n)判斷函數 f (X)的奇偶性.18已知幕函數 f (x) = |:宀在(0, +8)上單調遞增，函數 g (x)

4、=2x-k,(I)求實數 m 的值；(n)當 x( 1, 2時，記 f (x), g (x)的值域分別為集合 A, B,若 AUB=A,求實數 k 的取 值范圍.-2s(1) 求函數 f (x)的反函數 廠1( x)；(2) 試問：函數 f (x)的圖象上是否存在關于坐標原點對稱的點，若存在，求岀這些點的坐標；若不存在，說明理由；(3)若方程 f 0) +珅 1 -lA I f G) -云I 皿-4=Q 的三個實數根 X1、X2、X3滿足：X1(2)已知 x1+x1_一=2,求4丄 T 住H十 X P-2 Hx+MT的值.19.已知函數16-(1)計算：J W .;vX2 X3,且 X3-X2

5、=2 ( X2-劉)，求實數 a 的值.Si團220.如圖所示，在一半徑等于1 千米的圓弧及直線段道路AB 圍成的區域內計劃建一條商業街，其起點和終點均在道路 AB 上，街道由兩條平行于對稱軸丨且關于丨對稱的兩線段 EF、CD,及夾在兩線段 EF、CD 間的弧組成若商業街在兩線段EF、CD 上收益為每千米 2a 元，在兩線段 EF、兀CD 間的弧上收益為每千米a 元已知心QB二，設/ EOD=20，（1）將商業街的總收益 f（6）表示為e的函數；（2 ）求商業街的總收益的最大值.EdFl* 1 J ; F C1丿A11A；B-111Si團2T老梁試卷高一數學必修一綜合參考答案與試題解析一選擇題

6、(共 10 小題，滿分 50 分，每小題 5 分)1.( 5.00 分)已知集合A=X|X2 0，則 AQB=()A. (- 4, 2) B. (- 4, 4) C. (- 2, 2) D. (- 2, 4) 【分析】 可解岀集合 A, B,然后進行交集的運算即可.【解答】 解：A=X| 4vxv4 , B=x|xv2; AQB=(-4,2).故選：A.【點評】考查描述法、區間表示集合的概念，以及交集的運算.2.( 5.00 分)函數 f (X)=ln|尹的大致圖象是()1-Xf (X)為奇函數，排除A, C當 0vx=e+1，則 f (e+1) =ln| =ln| e+2| - Ine0,故

7、排除 B,故選：D.根據函數的奇偶性和函數值的特點即可判斷321-【解f (-X)=ln I1+K|= ln|I = f (X),【分【點評】本題考查了函數圖象的識別和判斷，關鍵是掌握函數的奇偶性，以函數值的特點，屬于基礎題3. ( 5.00 分)已知函數 弧=皂是奇函數，貝 U f (a)的值等于()a+2xA.丄 B. 3C.丄或 3 D.丄或 3333【分析】根據 f( x)為奇函數即可得岀一二，從而可解岀 a= 1,從而可求岀 f( a)a+2 a+2x的值.【解答】 解：f (x)是奇函數；整理得：(2a2- 2) 2x=0； 2a2- 2=0 ; a= 1 ；1 - 1a=1 時，

8、fG)二f(1)節巨二予；T 丄2 a=- 1 時，f (“)二f G1)二蠱.故選：C.【點評】考查奇函數的定義，指數式的運算，以及已知函數求值的方法.4.( 5.00 分)已知奇函數 f (x)，當 x 0 時單調遞增，且 f (1) =0,若 f (x- 1 ) 0,貝Ux 的取 值范圍為( )A. x| 02 B. x| x2C. x| xv0 或 x3D. x| x1【分析】 先確定函數 f (x)在(-， 0) 上單調遞增，且 f (- 1) =0,再將不等式等價變形， 即可得到結論.【解答】 解：定義在 R 上的奇函數 f (x)在(0, +8)上單調遞增，且f ( 1) =0，

9、函數 f(x)在(-30)上單調遞增，且 f( -1)=0,a+2_xa+2x且-1VXV0 或 X 1 , f (x) 0；XV-1 或 0 V XV 1 , f ( X)V 0；不等式 f (X- 1) 0, - 1VX - 1V0 或 X- 1 1 ,解得0VXV1 或X2,故選：A.【點評】本題考查函數單調性與奇偶性的結合，關鍵利用函數上奇函數得到對稱區間得單調性, 屬于基礎題.5. (5.00 分)已知函數 f(X)=logax(0Vav1)的導函數為f(X),記 A=f(a) , B=f ( a+1)- f(a) , C=f (a+1)，則()A. A B C B. A C B C

10、. B A C D. C B A【分析】 設 M 坐標為(a , f ( a), N 坐標為(a+1, f (a+1),利用導數及直線斜率的求法得到A、B、C 分別為對數函數在 M 處的斜率，直線 MN 的斜率及對數函數在N 處的斜率，根據對數函數的圖象可知大小，得到正確答案.【解答】 解：記 M (a , f (a), N (a+1, f (a+1),則由于 B=f (a+1，- f (a)= 一,表示直線 MN 的斜率，(a+1) -aA=f(a)表示函數 f (x) =logax 在點 M 處的切線斜率，C=f(a+1 )表示函數 f (x) =logax 在點 N 處的切線斜率.所以，

11、C B A.故選：D.【點評】本題考查三個數的大小的比較，考查會利用導數求過曲線上某點切線的斜率，掌握直線斜率的求法，是一道中檔題.6.( 5.00 分)已知函數二1口打;,若 x , y 滿足f (十 f (,則宣的取值范圍 是( )A. T,.B. (-1吉)C. (- 1 , 1) D. - 1 , 1【分析】 先求岀函數 y=f (x)的定義域(-1, 1),并利用定義判斷岀函數y=f (x)為奇函數,利用復合函數的單調性判斷岀函數 y=f ( x )為減函數，取值范圍.由fSHf(-，得，可得到關于 X、y 的元一次方程組，然后利用線性規劃的知識可求岀十的【解答】解：由i，得寧V0,

12、解得-1VXV1,的定義域為(-1, 1),關于原點對稱,任取 x( 1, 1),則x ( 1 ,八 r l-(-X)11-X1一工1)，f Gm五廠一山帀所以，函數則內層函數而外層函數為奇函數,云 T尸總_1 在x(1,1+z1) 上單調遞減,y=lnu 單調遞增，由復合函數的單調性可知，函數由f Cxi+f得xiy=f則有，化簡得9 沁-2r2做出不等式組所表示的可行域如下圖陰影部分區域所示,-2y0f (x) = k h , g (x) =ex( e 是自然對數的底數)方程 g (f (x) - m=0 恰有兩個不等實根 X1、X2,且 X1X2，貝U沁X1的最小值為()A.寺(1 -

13、ln2)B. +1 n2C. 1 - ln2 D.丄(1 +In2)【分析】化簡方程為 f (x) =lnm，作函數 f ( x) , y=lnm 的圖象，結合圖象可知，存在實數m (0由斜率公式可得直線 PC 的斜率為直線 PB 的斜率為PB-1+3-1，結合圖形可知,故選：C.PC- 二1，的取值范圍是(-1, 1),【點評】本題考察函數的奇偶性與單調性、以及線性規劃，關鍵在于利用函數的單調性與奇偶性(m - 1 ) xn的圖象上，設b，c 的大小關系為(8. (5.00 分)已知函數，若關于 x 的，則 a，可得 avcvb,二 gf (x) =ef x)=m,. f (x) =lnm；

14、作函數 f (x), y=lnm 的圖象如下,5y結合圖象可知，存在實數m ( Ovm 1),使 x2=e故選：D.加，同時獎金不超過投資收益的20%,獎金封頂 9 萬元，若采用以下函數模型擬合公司獎勵方案,則較適合的函數是()vm 0 恒成立;故 xi X2=mInm ,2令 g ( m ) =m丄 Inm ,則2g ( m )=1V1丿r /斗 0,1)遞增，二 g (m) g (計)*上，【點評】本題考查了復合函數與分段函數的應用,同時考查了導數的綜合應用及最值問題,應用了數形結合的思想及轉化構造的方法.9. ( 5.00 分)某公司擬投資開發新產品，估計能獲得10 萬元至 100 萬元

15、的投資收益，為激發開發者的潛能，公司制定產品研制的獎勵方案：獎金y (萬元)隨投資收益 x (萬元)的增加而增g(丄故 g ( m)在(0，*遞減，在(A. y=+2 B. y= .C. y=+ D. y=4lgx 32025 k【分析】由設獎勵函數模型為 y=f (x),則公司對函數模型的基本要求是：當x 10, 100時,f (x)是增函數；f (x ) 9 恒成立；恒成立然后對兩個函數模型逐一分析，對三個條件全部滿足的選取，三個條件有一個不滿足則舍棄.5【解答】 解：設獎勵函數模型為 y=f (x),則公司對函數模型的基本要求是:當 x 10, 100時，f (x)是增函數；f (x )

16、 9 恒成立；7:丄恒成立.對于函數模型 y=_+2:20當 X 10, 100時，f (X)是增函數，則f ( x)max=f+2=5+2=7.所以 f (x) 9.所以 f (x) 9 不成立故該函數模型不符合公司要求.于函數模型 y二(x+.125)：當 x 10, 100時，f (X)是增函數，則f ( x)max=f=100+5=25100(100)所以 f (x) 9 恒成立.- 上=1+ -在10, 100上是減函數，所以 K25/因為函數=1+=-龐100 100max：即 f (葛)昱恒成立故該函數模型符合公司要求.對于函數模型 f (x) =4lgx - 3:當 x 10,

17、 100時，f (x)是增函數，則 f ( x)max=f (100) =4lg100 - 3=8 - 3=5 .所以 f (x) 10 時,所以 g (x)在10, 100上是減函數，從而g (x) g (10) =- 1v0.所以 4lgx 3 -v0 ,即卩 4lgx 3v5邑，所以f(0,b0，c=0,- 二丄.此時，y=(二2a 23ax即 y= ()x為減函數，故 A 成立；3B 中，由二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象知，a 0 - bv0, c=0此時，Jv0,函數 y= (- )x無3a|3a意義，故 B 不成立；C 中，由二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象知，av0

18、 - bv0, c=0,，.此時，y=(一)x即 y=(-)2a3a3x為增函數，故 C 不成立；D 中，由二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象知，a 0, bv0, c=0此時，孕_v0,函數 y= (2b)x無3a3a意義，故 D 不成立;故選：A.【點評】本題考查指數函數和二次函數的圖象和性質，解題時結合圖象要能準確地判斷系數的取 值.二.填空題(共 4 小題)利用指數函數的即可得岀.故選：D.【點評】本題考查了函數模型的選擇及應用,訓練了函數最值的求法,綜合性較強，有一定的難11.已知【分析】 設 k=log2x=log3y=log5zv0,可得 x=2k- y=3k, z=5k.可

19、得=31k-=51 k,此尋找正確答案.x的圖象，分別判斷a, b, c 的符號及關系，由z=21k,【解答】 解：設 k=log2x=log3y=log5zv0,x=2k, y=3k, z=5k.235VZ故答案為：3 0,且 1),若 f ( - 3) f (4),則不等式 f (x2-St3x)0,且 a 1)，若 f (- 3) f (4),生則：函數單調遞增，故：不等式 f (X2- 3x) f (4)滿足：x2- 3x 4 ,解得：-1 x 4,由于：x2- 3x 工 0,解得：XK0 且XK3,故：不等式 f (x2- 3x) 0 時，f (x) =x2- x 的導數 f( x)

20、 =2x - 1,在 x=1 處，f(1) =2 - 1=1 ,當 k=1 時，g (x) =x- 1 與 f (x)=二+x=x+1 平行，2 2此時兩個圖象只有一個交點，不滿足條件.當 k 1 時，兩個函數有兩個不相等的實數根,當-丄vkv0 時，兩個圖象有 3 個交點，綜上要使方程 f ( x) =kx - k 至少有兩個不相等的實數根，則k-且 k豐1，故答案為：k-且 1 .【點評】本題主要考查函數與方程的應用，利用條件轉化為兩個函數圖象的交點個數問題, 數形結合是解決本題的關鍵綜合性較強，有一定的難度.rK-4,戈入14.已知圧 R,函數 f ( x)=.,當入=2 寸，不等式 f

21、 (x)v0 的解集是匕4汁3 x入vxv4若函數 f (x)恰有 2 個零點，則 入的取值范圍是(1 , 3U(4 , +8).結合當 OWkv1 時，兩個函數有當 kv0 時，當直線經過點此時 k 誹-1)兮，即式求解即可.解集為：x| 1vxv4.【點評】本題考查函數與方程的應用， 考查數形結合以及函數的零點個數的判斷, 解決問題的能力.三解答題(共 6 小題)1415已知定義域為 R 的函數 f (x) =-+-是奇函數23sfl(1 )求 a 的值；(2 )判斷函數 f (x)的單調性并證明；(3)若對于任意的 t ( 1，2 )，不等式 f (- 2t2+t+1) +f (t2-

22、2mt ) 0 有解，求 m 的取值范圍.【分析】利用分段函數轉化求解不等式的解集即可;利用函數的圖象，通過函數的零點得到不等【解答】解：當入=2 時函數 f (x)= 八x| 2 2 時，不等式x- 4v0 的解集:x 0,即 f (X1) f ( X2) 0,f ( X1) f ( X2),f (x)在 R 上是減函數.(3)Tf ( x)是奇函數,f ( 2t2+t+1) +f (t2 2mt )2t2 t 1 在 (1 , 2) 上有解,t2-tl-2t2 2t 2設 g (t)=11-4訶g (t )在(1, 2)上單調遞減,g (t)Vgm 的取值范圍是(-a.【點評】 本題考查了

23、函數奇偶性、單調性的應用，函數最值的計算，屬于中檔題.16. (1)計算:0V3則 g (t)=V0,-2=2，【分析】(1)利用根式的運算性質即可得岀.丄 :，_ ,-，可得 x+x1=2，兩邊平方得:兩邊平方得：X4+X4=2，代入即可得岀.【解答】解：(1)原式=._- -；1111(2 )2二2，兩邊平方：巧4, x+x1=2,兩邊平方得：x2+x2=2,兩邊平方得：x4+x4=2 ,原式哥二I.【點評】 本題考查了乘法公式、根式的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.17 .已知函數 f ( x) =lg (x+1) Ig (1 x).(I)求函數 f (x)的定義域；(n

24、)判斷函數 f (X)的奇偶性.(1 )欲使 f ( X)有意義，須有* +，解岀即可;(2)利用函數奇偶性的定義即可作岀判斷;【解答】 解：(1)依題意有 2 IIPAO解得-1 xV1故函數的定義域為(-1，1)(2) f (- x) =lg (1 - X) Ig (1+x) = f (x)f (x)為奇函數.【點評】本題考查函數定義域的求解及函數奇偶性的判斷，屬基礎題，定義是解決函數奇偶性的基本方法.18已知幕函數 f (x) = | 匚.：上在(0, +8)上單調遞增，函數g (x) =2x k，丄(2)已知 x H+x1_一=2,求的值.x2+x【分1 1(I )求實數 m 的值;(

25、H)當 x( 1, 2時，記 f(x), g(x)的值域分別為集合A, B,若 AUB=A,求實數 k 的取值范圍.【分析】(I)根據幕函數的定義和性質即可求岀m 的值，(H)先求岀 f ( x) , g (x)的值域，再根據若 AUB? A,得到關于 k 的不等式組，解的即可.【解答】 解：(I)依題意幕函數 f (x) =_,上一得：(m - 1)2=1,解得 m=0 或 m=2 ,當 m=2 時，f ( x) =x2在(0, +x)上單調遞減，與題設矛盾，舍去 m=0.(H)由(I)知 f (x) =x2，當 x 1 , 2時，f (x), g (x)單調遞增，A=1 , 4 , B=

26、(2 k, 4 k,/ AUB? A,m 解得，0Wk 1,故實數 K 的取值范圍為0, 1.【點評】本題主要考查了幕函數的性質定義，以及集合的運算，屬于基礎題.(1) 求函數 f (x)的反函數 廠1( x)；(2) 試問：函數 f (x)的圖象上是否存在關于坐標原點對稱的點，若存在，求岀這些點的坐標;若不存在，說明理由；(3)若方程 f (x) fI f(K)-2/11 -2ax-4=0 的三個實數根 燈、X2、X3滿足：燈vX2VX3，且 X3 -X2=2 ( x2- X1),求實數 a 的值.【分析】(1 )用 y 表示岀 X,即可得岀反函數；(2)設岀對稱的兩點橫坐標坐標，令函數值的

27、和為0求岀點的橫坐標，從而得岀兩點坐標；(3)判斷 f (x)與2. 工 2 的大小，求岀 X1、X2、X3的值，根據得 X3- X2=2 ( X2- X1)得岀 a 的值.19.已知函數r-2x,【解答】 解：(1)：F仗)二-1KO .當-iwxv0 時，f(x)=-2x，且 ovf(x)1x2-b 0zL 2 .由 y=- 2x,得 薩丄 y,互換 x 與 y,可得 f 一、(耳)二一(X& 2)當 0wx 1 時，f (x) =x2- 1,且1wf (x)w0 .由 y=x2 - 1,得區胡石，互換x與 y，可得6）=弔（1；穴 0）-K,0吒 2（2 ）函數圖象上存在兩點關于原點對稱.設點 A （X0, y0） （ 0vX0W1）、B （- x。，- y）是函數圖象上關于原點對稱的點,解得辺二吃（工尸 r/lFlJ舍去），且滿足 ovx 1-解得：.1= 1:二.一二x2+4ax=0,解得K=Q,或葢二又r.2 . -I,：Wf (xo) +f ( xo) =0,即2 nu-I,因此，函數圖象上存在點- . ： -1 關于原點對稱.2，(3)令 f (x) =2.,解得5 時有2x=當-1X2Vl-，令 Y一：.，原方程可化為- 4x - 2ax - 4=0 ,2.1時， 二上I -：.:- I，化簡