1、課時跟蹤檢測(四十四) 兩條直線的位置關系 一抓基礎，多練小題做到眼疾手快 1. (2019 蘇州調研) )已知點 A(1,3)關于直線 l 的對稱點為 B( 5, 1)，則直線 l 的方程為 解析：已知點 A(1,3)關于直線 I 的對稱點為 B(-5,1),故直線 I 為線段 AB 的中垂線.求 得 AB 的中點為( (一 2,2), AB 的斜率為 1 3 1 ；=*故直線 I 的斜率為3,故直線 I 的方程為 y 2 = 3(x+ 2),即即 3x+ y+ 4 = 0. 答案：3x+ y+ 4= 0 2. (2018 宿遷模擬) )過點(1,0)且與直線 x 2y 2= 0 垂直的直線

2、方程是 1 解析：因為直線 x 2y 2 = 0 的斜率為1，所以所求直線的斜率 k= 2.所以所求直線 的方程為 y 0= 2(x 1)，即 2x+ y 2= 0. 答案：2x+ y 2= 0 3.直線 y= 3x + 3 關于直線 I： x y 2= 0 對稱的直線方程為 解析：取直線 y= 3x+ 3 上一點 A(0,3), 設 A 關于直線 I: x y 2= 0 對稱的點為 A (a, b), b 則有 解得 a = 5, b= 2. a+ 0 b+ 3 . 2= 0, 2 2 -A (5, 2). y=3x+3, 5 9 聯立？ 解得 x= 5, y= 9. lx y 2= 0,

3、2 2 令 M - 2，- 2， 直線 y= 3x+ 3 關于直線 I 對稱的直線過 A , M 兩點, 答案：x 3y 11= 0 4. (2018 啟東中學測試) )已知直線 l1的斜率為 2, I1/I2，直線 I2過點(1,1)且與 y 軸交 于點 P，則點 P 的坐標為 _ . 解析：因為 1l/ I2,且 ll的斜率為 2,則直線 12的斜率為 2.又直線 12過點(-1,1),所以 直線 I2的方程為 y 1 = 2(x + 1)，整理得 y= 2x + 3.令 x= 0，得 y= 3，所以點 P 的坐標為( (0,3). 答案：( (0,3) 5.若直線 2x y= 10, y

4、= x + 1, y= ax 2 交于一點，貝U a 的值為 _ . 2x y = 10, x = 9, 解析：解方程組i 可得彳 ly= x+ 1, ly= 8, 所以直線 2x y= 10 與 y= x + 1 的交點坐標為( (一 9, 8), 代入 y= ax 2，得8= a ( 9) 2, 所以 a = |. 答案：2 6. (2019 蘇州檢測) )已知直線 l1： mx+ 2y+ 4= 0 與直線b： x+ (m + 1)y 2= 0 平行，則 l1與 l2間的距離為 _ . 解析：T直線 I1: mx+ 2y+ 4= 0 與直線 I2： x+ (m+ 1)y 2= 0 平行，當

5、 m= 1 時， 顯然不合題意；當詳-1時，有m = m+iM2,解得m=1, l1 與 l2 間的距離 d= | 24 答案：警 5 保咼考，全練題型做到咼考達標 1.已知直線 l1： (m+ 1)x + 2y+ 2m 2= 0, I2： 2x+ (m 2)y+ 2= 0，若直線 h/b，則 m= _ . 解析：由題意知，當 m= 2 時，h： 3x + 2y+ 2 = 0, l2： x+ 1 = 0，不合題意；當 m 2 時，若直線 I1/I2，則“1 = 豐2m -，解得 m= 2 或 m= 3(舍去) ). 所求直線方程為-一 2 yx- T=5 -5) 2 - ，即 x 3y 11

6、= 0. 5 2 2 m 2 2 答案：2 2.若直線 I1： x+ ay+ 6 = 0 與 l2： (a 2)x+ 3y+ 2a= 0 平行，則 h 與 I?之間的距離為 解析： 因為/ b,所以 -=Q豐o，解得 a= 1, a 2 3 2a 所以 l1與 I2的方程分別為h： x y+ 6= 0, l2： x y+ 2= 0, 3 所以 l1與 l2的距離 d= 答案：832 3. (2019 張家港模擬) )過點 P(1,2)作一直線 I,使直線 l 與點 M(2,3)和點 N(4, - 5)的距 離相等，則直線 I 的方程為 _ . 解析：易知直線 I 的斜率存在，直線 I 過點 P

7、(1,2), 設 I 的方程為 y 2 = k(x 1)，即 kx y- k+ 2= 0. 又直線 I 與點 M(2,3)和點 N(4, 5)的距離相等， |2k 3 k + 2| = |4k+ 5 k+ 2| _， 解得 k= 4 或 k= 3, I 的方程為 4x+ y 6 = 0 或 3x+ 2y 7= 0. 答案：4x+ y 6= 0 或 3x+ 2y 7= 0 4若直線 Ii： y= k(x 4)與直線 I2關于點( (2,1)對稱，則直線 I2恒過定點 _ . 解析：由于直線 Ii： y= k(x 4)恒過定點( (4,0)，其關于點( (2,1)對稱的點為( (0,2)，又由于

8、直線I1： y= k(x 4)與直線 I2關于點( (2,1)對稱，所以直線 b 恒過定點(0,2). 答案：( (0,2) 5. _ 已知點 P(0, 1),點 Q 在直線 x y+ 1= 0 上，若直線 PQ 垂直于直線 x+ 2y 5= 0, 則點 Q 的坐標是 . 解析：設 Q(xo, yo),因為點 Q 在直線 x y+ 1 = 0 上， 所以 X。一 y+ 1 = 0. 又直線 x+ 2y 5 = 0 的斜率 k= 1，直線 PQ 的斜率 kPQ=, 2 P X0 所以由直線 PQ 垂直于直線 x + 2y 5= 0, 得寧.2 = 1. 由解得 X0= 2, y0= 3,即點 Q

9、 的坐標是(2,3). 答案：( (2,3) 6. (2019 蘇州一模) )設 m, n R 若直線 I： mx + ny 1 = 0 與 x 軸相交于點 A，與 y 軸 相交于點 B,且坐標原點 O 到直線 I 的距離為西，則厶 AOB 的面積 S 的最小值為 _ . 解析：由坐標原點 O 到直線 I 的距離為3,可得 2 2= V3，化簡得 m2+ n2= z. Vm + n 3 對直線 I: mx+ ny 1 = 0，令 x= 0，可得 y=-;令 y= 0,可得 x=, n m 1 心AOB的面積 s= 2 - 11 5 2 2 3 2|mn| m2 + n2 當且僅當|m| = |

10、n|=屮時，取等號 故厶 AOB 的面積 S 的最小值為 3. 答案：3 7.設 m R,過定點 A 的動直線 x+ my= 0 和過定點 B 的動直線 mx y m+ 3= 0 交 于點 P(x, y),貝 U PA PB 的最大值是 _ . 解析：易求定點 A(0,0), B(1,3).當 P 與 A 和 B 均不重合時，因為 P 為直線 x+ my= 0 與 mx y m+ 3 = 0 的交點，且易知兩直線垂直，則 PA 丄 PB,所以 PA2 + PB2= AB2= 10, PA PB = 0,故 PA PB 的最大值是 5. 答案：5 8.將一張畫有直角坐標系的圖紙折疊一次，使得點

11、A(0,2)與點 B(4,0)重合.若此時點 C(7,3)與點 D(m, n)也重合，則 m+ n 的值是 _ . 解析：由題意知，折痕既是 A, B 的對稱軸，也是 C, D 的對稱軸. 0 2 1 因為 AB 的斜率 kAB = = - , AB 的中點為( (2,1), 4 0 2 所以圖紙的折痕所在的直線方程為 y 1= 2(x 2), 因為 CD 的中點為號,于, 所以于一 1 = 2 呼一 2. 由解得 m = 3, n =琴，所以 m+ n =嚴. 5 5 5 答案：34 5 2 9.已知直線 11： ax+ 2y+ 6= 0 和直線 I2： x+ (a 1)y+ a 1 = 0

12、. (1)當 l1 / I2時，求 a 的值； 當 l1丄 l2時，求 a 的值. 解：( (1)法一：當 a= 1 時，h： x+ 2y+ 6= 0, l2： x = 0, l1不平行于 l2； 當 a = 0 時，h : y= 3, l2 ： x y 1 = 0, h 不平行于 b; 當 a豐1 且 a豐0 時， 、 a 1 兩直線方程可化為 h： y= ox 3, l2： y= x (a+ 1), 所以 PAPBW PA2+ PB 2 2 -=5(當且僅當 PA= PB= 5 時，等號成立) )，當 P 與 A 或 B 重合時, 所以 n 3 2 ， 1 a -=丄 由 I1/I2可得

13、2 1-a 解得 a=- 1. 3 工一 a + 1 , 綜上可知，a = 1. 由 I1 / I2知 A1B2 - A2B1 = 0, A1C2 A2C1M 0, Z|a a 1 1 x 2= 0, 即 a a2 1 1 x 6 工 0 法一：當 a= 1 時，l1： x+ 2y+ 6= 0, I2： x= 0, I1與 b 不垂直，故 a= 1 不符合; a 1 當 a豐 1 時，I1： y= x 3, I2： y= x (a+ 1), 2 1 a =1? a = 2. a 3 法二：因為 h 丄 I2, 所以 A1A2+ B1B2= 0, 2 即 a + 2(a 1) = 0,得 a=

14、3. 10.已知 ABC 的頂點 A(5,1), AB 邊上的中線 CM 所在直線方程為 2x y 5= 0, AC 邊上的高 BH 所在直線方程為 x 2y 5= 0，求直線 BC 的方程. 解：依題意知：kAc= 2, A(5,1), 所以 IAC的方程為 2x + y 11= 0, 聯立 2x+ y 11= 0, 2x y 5 = 0, 得 C(4,3). B(xo, yo),則 AB 的中點 M 代入 2x y 5 = 0,得 2x y 1 = 0, 2x0 y。一 1 = 0, 聯立殳 X0 2y0 5= 0, 得 B( 1， 3)，所以 kBC = 6, 5 6 所以直線 BC 的

15、方程為 y 3= 5( (x 4), 即 6x 5y 9= 0. 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1. (2019 陰檢測) )直線 I 經過點 P(2,1),且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 S,如果 符合條件的直線 I 能作且只能作三條，則 S= . 解析：由已知可得直線 I 的斜率一定存在且不為零，設直線 I 的方程為 y 1 = k(x 2), 則直線 I 與坐標軸的交點為( (0,1 2k), 2-1, 0 , 1 11 則 S = 2|1 2k| -2 k = 2 2k 2k 1 如果符合條件的直線 I 能作且只能作三條，則關于 k 的方程 2 2k 2k = S 只有三個解， 即

16、 4k2 + 2(S 2)k + 1 = 0 與 4k2 2(S + 2)k + 1= 0, 一個有一解，一個有兩解，解得 S= 4. 答案：4 2. _ (2018 錫山高級中學檢測) )在厶 ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，則直 線 xsin A + ay+ c= 0 與直線 bx ysin B + sin C= 0 的位置關系是 _ . 解析：在厶 ABC 中，由正弦定理 ，得.b 錫必=1.又 xsin A+ ay+ c= 0 sin A sin B sin B a 的斜率 k1= A，bx ysin B + sin C= 0 的斜率 k2= b，因此冷 k2 = b - = a sin B sin Bia 1,所以兩條直線垂直. 答案：垂直 3. 已知直線 l 經過直線 l1： 2x + y 5= 0 與 l2： x 2y= 0 的交點. (1) 若點 A(5,0)到 l 的距離為 3，求 l 的方程； (2) 求點 A(5,0)到 l 的距離的最大值，并求此時 l 的方程. 解：( (1)經過兩已知直線交點的直線系方程為 ( (2x+ y 5) + Xx 2y)= 0， 即 (2 + Xx+ (1 2?)y 5= 0， 因為點A(5,0)到l的距離