1、專題 05 不等式基礎(chǔ)知識(shí)鞏固1 不等關(guān)系（1）用數(shù)學(xué)符號(hào)“.”“ 一”“空”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等 號(hào)的式子，叫做不等式.（2）不等式的性質(zhì)1實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系ab?a - b 0；a二b= a -b=0；ab，bc?a c；（單向性）可加性：ab?a+cb+c；（雙向性）ab,cd?a c b d；（單向性）可乘性：a b, c 0= ac bc；（單向性）ab,c0?acb0,cd0?ac bd;（單向性）乘方法則：a b 0= anbn（N,n_1）；（單向性）開(kāi)方法則：ab0?nanb（n N, n 2）.（單向性）注意：（1）應(yīng)用傳遞性

2、時(shí)，若兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào)，則等號(hào)無(wú)法傳遞（2 ）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號(hào).2 一元二次不等式及其解法（1）我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的不等式稱為一元二次不等式，有三種形式：2一般式：y = ax2bx c（a = 0）；b、2 4acb2/ c、頂點(diǎn)式：y二a（x ）（a = 0）；2a 4a3兩根式：y = a(x-xj(xx2)(a = 0)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系判別式&=b2- 4ac44ax2bx飛乞0心=0）恒成立的充要條件是：a . 0且b2-4ac乞0（x二R）.2 22y二ax bx c(a 0)的圖象一兀二次方

3、程2ax bx c = 0(a0)的根有兩相異實(shí)根,X2(Xi :有兩相等實(shí)根bX| = x2-2a沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2bx c 0(a0)的解集(Y,Xi)U (X2, ：)小書一元二次不等式ax2bx c : 0(a - 0)的解集(Xi,X2)(3) 一元二次不等式的解法:一化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.二判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.三求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根.四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.(4) 一元二次不等式恒成立問(wèn)題1ax2bxc 0(- 0)恒成立的充要條件是：a 0且b2-4ac：0(x R)

4、.2ax2bx飛-0心=0)恒成立的充要條件是：a 0且b2-4ac_0(x，R).55axbx c 0恒成立的充要條件是：a=b = 0且c - 0或a - 0且b -4ac：0（xR）.6ax2bx c：0恒成立的充要條件是：a=b=O且c0或a0且b2-4ac：0（x三R）.3 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（1）一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ax ByC . 0表示直線Ax By 0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式Ax By 0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實(shí)線能夠通過(guò)取特殊點(diǎn)，由不等式的符號(hào)來(lái)確定不等式表示的平面區(qū)

5、域通常情況下?。?,0），若不等式相應(yīng)的直線過(guò)（0,0），則可在坐標(biāo)軸上取（0,1）或（1,0）.（2）簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃1解不含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：根據(jù)給定的約束條件畫出相應(yīng)的可行域，考察目標(biāo)函數(shù)的特征，并根據(jù)其幾何意義確定使其取得最值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求最值.通常情況下，給定的約束條件多為二元一次不等式組，常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有：z =ax by c型的線性目標(biāo)函數(shù)；z =ay b型的斜率型ex d目標(biāo)函數(shù)；z=（x-a）2 （y-b）2型的兩點(diǎn)間距離型目標(biāo)函數(shù)等.2使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一般是可行域邊界的交點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，并代入目標(biāo)函數(shù)，可以快捷、準(zhǔn)確地計(jì)算最值，但要注意可行域

6、的邊界是否是實(shí)線3解含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題通常有以下兩種類型：i）條件不等式組中含有參數(shù)，此時(shí)不能明確可行域的形狀，因此增加階梯式畫圖分析的難度.求解這類問(wèn)題時(shí)，要有全局觀，要能夠結(jié)合目標(biāo)函數(shù)取得最值的情況進(jìn)行逆向分析，利用目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)所得的直線與約束條件所對(duì)應(yīng)的直線形成交點(diǎn)，求解參數(shù).ii）目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參數(shù)，旨在增加探索問(wèn)題的動(dòng)態(tài)性和開(kāi)放性.要能夠從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，多圖形的動(dòng)態(tài)分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確定位，以此解決問(wèn)題4利用基本不等式求最值問(wèn)題（1）基本不等式：.a ，2成立的條件：1a 0,b0.2當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)取等號(hào).6（2）利用基本不等式求最值問(wèn)題7如果積xy是定值

7、P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是2. P.(簡(jiǎn)記：積定和最小)如果和x+y是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x = y時(shí)，xy有最大值是 .(簡(jiǎn)記：和定積最大)4(3)常用的不等式模型:基本不等式鏈：若a 0,b 0，則2Ob 111 2a bb a若ab 0，貝V2，當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)等號(hào)成立.a b命題規(guī)徉、不等式的性質(zhì)與一元二次不等式【例 1 】設(shè)f (x)二ax2bx，若 Kf (-1) 2,2 f(1) w4,【答案】5,10【解析】設(shè)/(-2)=1/(-1)+/(1)(樸卅為待定系數(shù)),貝即斗a-2b=(+a-2b=(+ n)a+n)a+/./(-2)=3/(-1) + /(1).又V

8、l/(-l)2,2/(l)4, /.53/(-1) + /(1)10,即5/(-2)0(或0)，如果a與ax+bx+c同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax2+bx+c異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.求解時(shí)注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論【例 3】不等式_1 的解集是2-x3A.x|x乞24、3C. x|x 2或X4【答案】Bx2 0203則原不等式的解集為XPAo,即二1x x2 20 x-0 x-Qx-=9.x -2y 4 = 0y =3x -2y 4 = 0 x = 0由，得，即 B（0,2）,故Zmin=2,x y-2=0 y=2故z的最大值與最小值之差為 7,選

9、 C.【名師點(diǎn)睛】求解時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：（1）在可行解中，只有一組（x,y）使目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)，最優(yōu)解只有1 個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線不與邊界平行時(shí)，會(huì)在某個(gè)頂點(diǎn)處取得最值.（2 ）同時(shí)有多個(gè)可行解取得一樣的最值時(shí)，最優(yōu)解有多個(gè)如邊界為實(shí)線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與某一邊界線平行時(shí)，會(huì)有多個(gè)最優(yōu)解（3）可行域一邊開(kāi)放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時(shí)也就不存在最優(yōu)解Azz（4） 形如z=Ax+0），即y =一x ,為該直線在y軸上的截距，z的幾何意義就是該直線在BBBy軸上截距的B倍，至于z與截距能否同時(shí)取到最值，還要看B的符號(hào).工x 2y乞1【

10、例 5】已知不等式組2x + y占-1表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若直線I:y = kx - k -1與區(qū)域D有公共點(diǎn)，則i x _ y蘭0實(shí)數(shù)k的取值范圍是【解析】 作出約束條件1111A.-2,二B.-；，222C.-2,1D. -2,-1【答案】Ax +2y蘭1【解析】作出不等式組 丿2x + y Z -1表示的平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示,x - y 0,y0，且x+ 2y= 1，則的最小值為 _x y【答案】3 22【解析】因?yàn)楣な?尸1, QO,尸0,所+當(dāng)且僅當(dāng)Jtyx yy x?即x=y/lyj即x= 5-L 3/ = 1-時(shí)取等號(hào).y2故的最小值為3+2.【名師點(diǎn)睛】利用基本不等式求

11、最值的注意點(diǎn)：(1)要能夠通過(guò)恒等變形及配湊，使其“和”或“積”為定值；(2 )要注意在正數(shù)范圍內(nèi)應(yīng)用基本不等式，同時(shí)等號(hào)成立的條件要驗(yàn)證【例 8】若實(shí)數(shù)a,b,c0,且a c a b =6-2、一5，則2a b c的最小值為觀察可知,-3,x貝U 3乞2- 2ab(a0,b0)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.2 2(2)a+b2ab,ab0)，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，等號(hào)成立;a1a+Ya2(ab0,cdcB.D.a bcda bc-又因?yàn)樗韵?V 二故選C.aC2 .已知函數(shù)yx2-2x -3的定義域?yàn)榧螦，集合BA.； -5, -3，-1,3,5,7 :【答案】Bx2_2x _3亠O= x

12、x _3 x 1 _0j=x|x_T或x丄3,C.；-3, -1,3,5,7 ”D.:-5, -3, -1,3,51=x x = 2n + 1,z, n 3，貝UAAB為B.【解析】由題可知A二X17：3一3,-1,1,3,5二所以AnB-.3,1,3,5?.故選B.3 .不等式x2x一6x -10的解集為A.(-8,-3C. (- 8,-3U1,2【答案】DB.(1,2D. (- 8,-3U(1,2【解析】 由x2x6x -10，解得口 乙所獲實(shí)數(shù)収的取值范圍是（7：-6112燉.故選D.-9145.已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前9 項(xiàng)和S9二，則一的最小值為2 a2a8A.8B

13、.9C. 12D. 16【解析】 因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，9(a1+a9)所以S919(a2a8)9，即a2a = 1,22214所以一（丄4-)(a2a8)54a25 2/849a?a8a2a8a2a8. a2a8當(dāng)且僅當(dāng)a8二4a21，即a2 =1,a8 =2時(shí)取等號(hào)，故選B.a2a833【答案】B2x + y蘭40 x +2y蘭506.已知?jiǎng)狱c(diǎn)（x, y）滿足，則5x 2y的最大值是jx啟0y -0B二x|x =2n 1, nZ,邊界）,18A. 50B. 60C. 70【答案】DD. 100【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,5 z5 zy - - x 2 25 z

14、易知當(dāng)直線y =-一x+經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y = -=x+=的縱截距最大，此時(shí)z最大.2 2 2 2由z =5x 2y得易得C(20,O)，所以zmax= 5 20 =100.故目標(biāo)函數(shù)z=5x 2y的最大值為100故選D.217.已知函數(shù)y = X +,X （,母），貝y y的最小值是 _x3【答案】2、2【解析】因?yàn)樗?2-fi-2-fi , ,3x x x x當(dāng)且僅當(dāng)即X=72時(shí)等號(hào)成立，x x故卩的最小值是2血故填2血X _y _0,8.已知實(shí)數(shù)x, y滿足x乞4 -y,記點(diǎn)（x,y）圍成的封閉區(qū)域?yàn)殚T，若z=x2/的最大值為 8,則門2x - y - k _ 0.的面積為_(kāi)【答案】12

15、k +4 8 _ k【解析】依題意，區(qū)域1是以點(diǎn)A（2, 2）,B（k,k）,C（ ,）（k：2）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包含33邊界）,1920由圖易得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+2y過(guò)點(diǎn)C（上，口）時(shí)，z有最大值 8,即亠上十2x口 =8，解得3333k = -4 ,故點(diǎn)B（_4, _4）到直線x y二4的距離為6.2,_ 1 _ _而|AC|=2、2，故門的面積為2、2 6 -. 2=12.2x y乞2I9 .已知實(shí)數(shù)x, y滿足約束條件y - x _2，記該不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)殚T，且z,=2x- y,3x -y】：一6勺=丄,Z3=（x -1）2y2，現(xiàn)有如下說(shuō)法：x -41一（x,y） J

16、zj1 :（x,y）,Z2豈一?：（x,y）門乙乞2.則上述說(shuō)法正確的有_.（橫線上填寫所有正確命題的序號(hào)）【答案】【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如團(tuán)中陰影部分所示對(duì)于可=2工-八 平移直線y y = = 2x2x? ?可知勺在點(diǎn)岀 0202）處取得最大值，為（咼爲(wèi)=-2；在點(diǎn)C（73）處取得最小值，為佃）迪=-廠則石=2兀-肛-戈-2,對(duì)于乃=蘭二，它表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn) 3 刃與Z）（4-l）連線的斜率，易知X4巧=出丘-土-丄對(duì)于有=的距離的平方/%- 456g易知可之工一紂+於亡亍13 ,故正確，錯(cuò)誤一21B. 5z2x3yD. 3y2x。，則eR A =A. & 一1

17、vx v2【解析】解不等式JCa-x-20得工C一1或x2?所次4= xx2,所以可決求得= JC| 1x2f古攵選B.2x + 3y3蘭01.（ 2017 新課標(biāo)全國(guó)I理科）設(shè)X、y、z為正數(shù)，且2X=3y=5z，則A. 2x3y5zC. 3y5z2x2x372lg klg33lg k-lg91，則2x 3y，lg82x 2lg k lg5- -5z lg 2 5lg k噬叮，則2z，故選 D.B.x 1 Ex蘭2C. ?x|x：-，LMx|x2【答案】BD. 1x|x -1Ulx|x 2：3加一尸-6223.（ 2017 新課標(biāo)全國(guó)n理科）設(shè)x,y滿足約束條件2x-3y3 - 0,則2x y的最小值是y +3色0A-15B.-9D.9C. 123【答案】A【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)即：y=2x z，其中z表示斜率為k=-2的直線系與可行域有交點(diǎn)時(shí)直線的縱截距，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B(-6,3)處取得最小值，zmin= 2 (6) (-3)= -15，故選A.x-2y 2 04.( 2018 新課標(biāo)全國(guó) I 理科)若 x , y 滿足約束條件 2x-y+1K0 ，則 z = 3x+2y 的最大值為0【答案】6【解析】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示:331