1、第函數概念與卑本初等函數I2.4二次函數與幕函數基礎知識自主學習知識梳理知識梳理妥點講解探層突破妥點講解探層突破1.二次函數(1) 二次函數解析式的三種形式1一般式：f(x) = ax2+ bx+ c(a豐0).2頂點式：f(x)= a(x m)2+ n(a 0).3零點式：f(x)= a(x x)(x X2)(a 工 0).(2)二次函數的圖象和性質解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0 時，幕函數的圖象都過點(1,1)和(0,0)，且在(0,+ )上單調遞增；4當a0 時，幕函數的圖象都過點 (1,1)，且在(0,+ )上單調遞減.【思考辨析】判斷下面結論

2、是否正確(請在括號中打“V”或“X”)4ac_ b1 2(1)二次函數 y= ax2+ bx+ c, x a, b的最值4a二次函數 y= ax2+ bx+ c, x R，不可能是偶函數.(X)(3)在 y = ax2+ bx+ c(a* 0)中，a 決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大 小.(V)1函數y=2x2是幕函數.(X)如果幕函數的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.當 n0, 即卩 m21，解得 m1.2 .已知函數 f(x)= ax2+ x+ 5 的圖象在 x 軸上方，則 a 的取值范圍是 _1答案 ，+則實數 m 的取值范圍是 _a0,a0,i解析由題意知.0,即

3、1-20a2013 .函數y=x3的圖象是_ .(填序號)U J kJ7知701”刁E答案ii解析 顯然 f( x) = f(x)，說明函數是奇函數，同時由當 OvXV1 時，x3X；當 x 1 時，x3vx故只有符合.4.已知函數 y= x2 2x+ 3 在閉區間0 , m上有最大值 3,最小值 2，貝Vm 的取值范圍為答案1,2解析 如圖，由圖象可知m 的取值范圍是1,2.5.(教材改編)已知幕函數 y= f(x)的圖象過點 2, 2，則此函數的解析式為 _;在區間_ 上遞減.1答案y=x1(0,+)題型分類深度剖析題型一求二次函數的解析式例 1 已知二次函數 f(x)滿足 f(2) =

4、1, f( 1) = 1，且 f(x)的最大值是 8，試確定此二次函數的解析式.解方法一(利用一般式):設 f(x) = ax2+ bx+ c(a豐0).所求二次函數為 f(x)= 4X2+4X+7.方法二(利用頂點式):設 f(x) = a(x m)2+ n. f(2) = f( 1),1m= 2又根據題意函數有最大值8, n= 8, y = f(x)= a x 22+ 8.- f(2) = 1,1 a 22+ 8= 1，解得 a= 4,1 f(x) = 4 x 22+ 8 = 4x2+ 4x+ 7.方法三(利用零點式):由已知 f(x)+ 1 = 0 的兩根為 X1= 2, x2= 1,故

5、可設 f(x)+ 1 = a(x 2)(x + 1),即 f(x) = ax2 ax 2a 1.4 a 2 a_ 1 _ _ a2又函數的最大值是 8,即4a- - = 8.4a解得 a= 4,所求函數的解析式為f(x) = 4x2+ 4x+ 7.思維升華 求二次函數的解析式，關鍵是靈活選取二次函數解析式的形式，所用所給出的條 件，根據二次函數的性質進行求解.蛾蹋訓給 1(1)二次函數的圖象過點(0,1)，對稱軸為 x= 2,最小值為一 1,則它的解析式是3 4(2)若函數 f(x) = (x+ a)(bx+ 2a)(常數 a, b R)是偶函數，且它的值域為(一, 4，則該函數的解析式 f(

6、x) =_ .4答案(1)f(x)= 2x2 2x+ 1 (2) 2x2+ 4解析(1)依題意可設 f(x)= a(x 2)2 1,由題意得4a + 2b + c = 1,a b + c= 1,4aCb2= 8,4aa = 4,解得 b = 4,c= 7.拋物線的圖象的對稱軸為x=2+ 1 =2=12.又其圖象過點(0,1),-4a 1 = 1, - - a = 2*二 f(x) = 2(x_ 2)21.1f(x) = qx2 2x+ 1.由 f(x)是偶函數知 f(x)圖象關于 y 軸對稱， b = 2, f(x)= 2x2+ 2a2,又 f(x)的值域為(a,4, 2a2= 4,故 f(x

7、) = 2x2+ 4.題型二二次函數的圖象與性質命題點 1 二次函數的單調性例 2 已知函數 f(x) = x2+ 2ax + 3, x 4,6,(1) 求實數 a 的取值范圍，使 y = f(x)在區間4,6上是單調函數；當 a= 1 時，求 f(|x|)的單調區間.2 a解(1)函數 f(x) = x2+ 2ax+ 3 的圖象的對稱軸為 x= = a,要使 f(x)在4,6上為單調函數，只需一a6，解得 a 4 或 a0 ,其圖象如圖所示.又 x 4,6, f(|x|)在區間4， 1)和0,1)上為減函數，在區間1,0)和1,6上為增函 數.命題點 2 二次函數的最值例 3 已知函數 f(

8、x) = x2 2x，若 x 2,3，則函數 f(x)的最大值為 _ .答案 8解析 f(x)= (x 1)2 1, / 2wx 3(如圖)， f(X)max= f( 2) = 8.引申探究已知函數 f(x) = x2-2x,若 x -2 , a，求 f(x)的最小值.解函數 y = x2-2x= (x- 1)2 1,對稱軸為直線 x= 1, x = 1 不一定在區間2, a內，應進行討論，當一 21 時，函數在2,1上單調遞減， 在1 , a上單調遞增，則當 x= 1 時，y 取得最小值，即 ymin= 1.綜上，當一 21 時，ymin= 1.命題點 3 二次函數中的恒成立問題例 4 (1

9、)設函數 f(x)= ax2 2x+ 2,對于滿足 1x0，則實數 a 的取值 范圍為_ .已知 a 是實數，函數 f(x) = 2ax2+ 2x 3 在 x 1,1上恒小于零，則實數 a 的取值范圍為11答案2，(2) m,解析 由題意得 a2 $對 1x4 恒成立,x xp22o112, 1 11 彳又廠 x=2x22+2，412.(2)2ax2+ 2x 30 在1,1上恒成立.當 x= 0 時，適合；3 1 111當XM0 時，a f(x)恒成立？a f(X)max, a f(x)恒成立？a f(x)min.憑琮訓練 2已知函數 f(x)= x2+ 2ax+ 2, x 5,5.(1)當

10、a= 1 時，求函數 f(x)的最大值和最小值；求實數 a 的取值范圍，使 y = f(x)在區間5,5上是單調函數.解 當 a= 1 時，f(x) = x2 2x+ 2= (x 1)2+ 1, x 5,5,所以當 x= 1 時，f(x)取得最小值 1 ；當 x= 5 時，f(x)取得最大值 37.函數 f(x) = (x+ a)2+ 2 a2的圖象的對稱軸為直線x= a,因為 y= f(x)在區間5,5上是單調函數，所以一 a 5,即卩 a5.故 a 的取值范圍是(一R,5U5 ,+).題型三幕函數的圖象和性質例 5 (1)已知幕函數 f(x)= kxa的圖象過點 1，乎，貝Uk+a=_.1

11、 1若(2m+1)2(m2+m1)2，則實數 m 的取值范圍是 _.答案(1)3亠尹,2解析由幕函數的定義知 k= 1.又 f * =屮,1、f213所以 1a= 2，解得a=1，從而 k+a=3.1因為函數y=x2的定義域為0,+),5所以 a 0,所以不等式等價于m2+ m 1 0,2m+ 1m2+ m 1.1解 2m+1A0,得 mA ;解 m2+ m 1A0,得 mw-2_1 或 mA眾眾1解 2m + 1m2+ m 1,得1m2,思維升華(1)幕函數的形式是 y= xR),其中只有一個參數a因此只需一個條件即可確定其解析式.(2)在區間(0,1)上，幕函數中指數越大，函數圖象越靠近x

12、 軸(簡記為“指大圖低”)，在區間(1, +g)上，幕函數中指數越大，函數圖象越遠離x 軸.銀採劉 I 練3(1)已知幕函數 f(x)=(m2m1) x5m3在(0,+g)上是增函數，則 m=1 1若(a+1)2(32a)2,則實數 a 的取值范圍是2答案1(2) 1, |)解析T函數 f(x) = (m2 m 1)x5m3是幕函數，/ m2 m 1 = 1, 解得 m = 2 或 m= 1.當 m= 2 時，一 5m 3 = 13,函數 y= x13在(0, +g)上是減函數;當 m= 1 時，一 5m 3= 2，函數 y= x2在(0, + )上是增函數.1易知函數y=x2的定義域為0，+

13、g)，在定義域內為增函數，所以a+ 1A0,3 2aA0,a+ 13 2a,解之得-1wa2.思想與方法系列3 .分類討論思想在二次函數最值中的應用典例 (14 分)已知 f(x) = ax2 2x(0 0 時，f(x)= ax2 2x 圖象的開口方向向上，且對稱軸為x = -.4 分a1當- 1 時，f(x) = ax2 2x 圖象的對稱軸在0,1內，a11二 f(x)在0,匚上遞減，在-,1上遞增.aa“、1121八f(x)min=f(a)=aa=孑分12當-1,即 0a1 時，f(x)= ax2 2x 圖象的對稱軸在0,1的右側，/ f(x)在0,1上遞減.af(x)min= f(1)

14、= a 2.10 分當 a0 時，f(x)= ax2 2x 的圖象的開口方向向下，1且對稱軸 X=-0,在 y 軸的左側，af(x) = ax2 2x 在0,1上遞減. f(x)min= f(1) = a 2.13 分a 2,a 1.a，溫馨提醒(1)本題在求二次函數最值時，用到了分類討論思想，求解中既對系數a 的符號進行討論，又對對稱軸進行討論在分類討論時要遵循分類的原則：一是分類的標準要一致， 二是分類時要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無原則的分類討論.在有關二次函數最值的求解中，若軸定區間動，仍應對區間進行分類討論.-思韻方法感悟提高-方法與技巧1.二次函數的三種形式(

15、1)已知三個點的坐標時，宜用一般式.已知二次函數的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關的量時，常使用頂點式.已知二次函數與 x 軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便.2 .研究二次函數的性質要注意：(1) 結合圖象分析；(2) 含參數的二次函數，要進行分類討論.3 利用幕函數的單調性比較幕值大小的技巧在比較幕值的大小時，必須結合幕值的特點，轉化為同指數幕，再選擇適當的函數，借助其 單調性進行比較.失誤與防范1.對于函數 y= ax2+ bx+ c,要認為它是二次函數，就必須滿足a豐0,當題目條件中未說明 a豐0 時，就要討論 a= 0 和 0 兩種情況.2.幕函數的圖

16、象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；幕函數的圖象最多能同時出現在兩個象限內；如果幕函數圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.練出高分A 組專項基礎訓練(時間：40 分鐘)1._ 如果函數 f(x)= x2 ax 3 在區間(一汽 4上單調遞減，則實數 a 的范圍是 _. 答案8 ,+ )解析函數圖象的對稱軸為 x= 2,由題意得 24,解得 a 8.2.函數 f(x)= (m2 m 1)xm是幕函數，且在 x (0,+ )上為增函數，則實數 m 的值是答案 2解析 f(x)= (m2 m 1)xm是幕函數？m2 m 1 = 1 ? m

17、= 1 或 m= 2.又在 x (0, +g)上是 增函數，所以 m= 2.3 .設函數 f(x) = x2+ x+ a(a0)，且 f(m)1解析Tf(x)的對稱軸為 x= , f(0) = a0, f(x)的大致圖象如圖所示.由 f(m)0，得1m0, f(m+ 1)f(0)0.4 .若函數 f(x) = x2 ax a 在區間0,2上的最大值為 1,則實數 a=_答案 1解析T函數 f(x) = x2 ax a 的圖象為開口向上的拋物線，函數的最大值在區間的端點取得，/ f(0) = - a, f(2) = 4-3a,a 4 3a, a0 的解集為答案(30)3解析 由題意設 f(x)=

18、 ax2+ bx+ 2 (a 工 0),則 f (x)= 2ax+ b, / f (x) = x 1,f(x)=2 - x+ 2,令 f(x)0，得3x0 ,不等式 f(10 x)0 可化為 010 x1 , x0)，若? X1 1,2, ? X2 1,2，使得 f(x1)= g(x2),則實數 a 的取值范圍是_ .答案 3,+s)解析 由函數 f(x)= x2 2x= (x 1)2 1,當 x 1,2時，f(X)min= f(1) = 1 , f(x)max= f( 1)=3, 即函數 f(x)的值域為1,3，當 x 1,2時，函數 g(x)min= g( 1) = a + 2 , g(x

19、)max= g(2)=a+2w 1,2a+ 2,若滿足題意則2a + 2 3,解得 a 3.答案 1 或 32a = 1,b= 1,1a = 2,b= 1,7 .當0 xg(x)f(x)解析如圖所示為函數f(x), g(x), h(x)在(0,1)上的圖象，由此可知，h(x)g(x)f(x).+3)，貝 U a 的值為解析由于函數 f(x)的值域為1，+g),所以 f(x)min= 1.又 f(x) = (x a)2 a2+ 2a + 4,當 x R 時，f(x)min= f(a)= a2+ 2a + 4 = 1,即 a2 2a 3= 0,解得 a= 3 或 a= 1.9 .已知函數 f(x)

20、= ax2+ bx+ 1(a, b 為實數，a豐0, x R).(1)若函數 f(x)的圖象過點(一 2,1)，且方程 f(x)= 0 有且只有一個根，求f(x)的表達式;在(1)的條件下，當 x 1,2時，g(x)= f(x) kx 是單調函數，求實數 k 的取值范圍. 解(1)因為 f( 2) = 1，即 4a 2b + 1 = 1,所以 b = 2a.因為方程 f(x) = 0 有且只有一個根，所以= b2 4a= 0.所以 4a2 4a= 0,所以 a= 1,所以 b= 2.所以 f(x)= x2+ 2x+ 1.(2)g(x) = f(x) kx=x2+ 2x+ 1 kx= x2 (k 2)x+ 1k 2=xk 一 2k2由 g(x)的圖象知：要滿足題意，則一廠2 或6 或 kw0,所以所求實數 k 的取值范圍為(一g,0U6 ,