1、在許多實際問題中在許多實際問題中, , 常需要考慮隨機變量函常需要考慮隨機變量函數的分布數的分布. .如在一些試驗中如在一些試驗中, ,所關心的隨機變所關心的隨機變量往往不能直接測量得到量往往不能直接測量得到, , 而是某個能直接而是某個能直接測量的隨機變量的函數測量的隨機變量的函數. .在本節中在本節中, ,我們將討我們將討論如何由論如何由已知的隨機變量已知的隨機變量X 的分布去求它的的分布去求它的函數函數Y= =f( (X) )分布分布. .設設 X 為為離離散散型型隨隨機機變變量量,其其分分布布律律為為, 2 , 1,)( ipxXPii,隨隨機機變變量量)(XgY ,從從而而 Y 的的

2、所所有有可可能能取取值值為為, 2 , 1),( ixgyii,因因此此 Y 也也是是離離散散型型隨隨機機變變量量.注注意意到到ji 時時,也也有有可可能能出出現現)()(jixgxg 的的情情況況,故故 Y的的分分布布律律為為 , 2 , 1 ),()()( ixXPyYPikyxgki X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 Y 0 1 4 P 0.1 0.7 0.2 例例 1 1 設隨機變量設隨機變量X X的分布律如下表的分布律如下表, ,試求試求Y=Y=( (X-X-1)1)2 2的分布律的分布律. .解解 Y所有可能取的值為所有可能取的值為0,1,4.0,1,4.由

3、由即得即得Y Y的分布律為的分布律為1 . 0)1()0)1()0(2 XPXPYP)1)1()1(2 XPYP7 . 04 . 03 . 0)2()0( XPXP2 . 0)1()4)1()4(2 XPXPYP例例 2 2 設設X服從參數為服從參數為的泊松分布的泊松分布, ,試求試求Y= =f( (X) )的的分布列分布列. .其中其中 為為奇奇數數為為偶偶數數xxxxf, 10, 0, 1)(解解 易知易知Y的可能取值為的可能取值為-1,0,1,-1,0,1,且有且有 0120)!12()12()1(kkkekkXPYP eXPYP)0()0( 121)!2()2()1(kkkekkXPY

4、P 設設 X 為連續型隨機變量為連續型隨機變量,已知其分布函數已知其分布函數)(xFX和密度函數和密度函數)(xfX,隨機變量隨機變量)(XgY ,要求要求 Y 的分布函數的分布函數)(yFY和密度函數和密度函數)(yfY. 其他其他0408)(xxxfX求隨機變量求隨機變量Y=2X+8Y=2X+8的概率密度的概率密度. .例例3 3 設隨機變量設隨機變量X X具有概率密度具有概率密度解解 先求先求Y=2=2X+8+8的分布函數的分布函數FY( (y).).82)(yXPyYPyFY 于是得于是得Y=2=2X+8+8的概率密度為的概率密度為2828)( yyfyfXY 28)()28(yXdx

5、xfyXP 其其他他 , 04280 ,21)28(81yy 其他其他 , 0168 ,328yy例例4 4 設隨機變量設隨機變量X X具有概率密度具有概率密度fX( (x),-),-x0 0 時時, ,有有dxxfyXyPyXPyYPyFyyXY )()()()()(2于是得于是得Y的概率密度為的概率密度為 0 ),()(210 ,0)(yypypyyYXXyf例例 5 5 設設隨隨機機變變量量),(2 NX, ,試試求求)0( abaXY的的密密度度函函數數. . 解解 先根據先根據Y與與X的函數關系式求的函數關系式求Y的分布函數的分布函數)()()(ybaXPyYPyFY 0),(1)(

6、0),()(aabyFabyXPaabyFabyXPXX若若若若)( ,( , ,21 21 2)(2)(2)(2222 aabNYyeaeaaabyaby 即即其中其中 從而從而 0,1)(0,1)()()(aaabyfaaabyfdyydFyfXXYY若若若若aabyfX1)( 例例 6 設設隨隨機機變變量量)1 , 0( UX,求求122 XY的的密密度度函函數數. 解解 X的取值范圍為的取值范圍為(0,1), 從而從而Y 的取值范圍的取值范圍為為(1,3) 當當1y3時時,Y的分布函數為的分布函數為)12()()(2yXPyYPyFY 2121yXyP 2121yFyFXXdyydFyfYY)()( 而而Y1和和Y4是不可能事件是不可能事件, 從而有從而有 21)(yFyFXY0)( ,0 xFxX時時由由于于當當021 yFX從而從而因此當因此當1y0(或或g(x)0),則則Y=g(X)的概率密度為的概率密度為 其他其他0|,)( |)()( yyhyhfyfXY )(),(max )(),(min ,)()( ggggxgyh 的的反反函函數數是是其其中中證明證明 (略略)例例7 7 設隨機變量設隨機變量X X具有概率密度具有概率密度求求Y= =ln X 的概率密度的概率密度. . 其他其他, 00,)1(2)