1、9.3 空間幾何外接球和內(nèi)切球一公式1. 球的表面積：s4r22. 球的體積：v43r3二概念1.空間幾何體的外接球：球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球2.空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球考向一長（正）方體外接球【例 1】若一個(gè)長、寬、高分別為4，3，2 的長方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球o的表面上，則此球的表面積為_【舉一反三】1. 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_2. 如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是_. 考向二棱柱的外接球【例 2】直三棱柱 ?-?的所有棱長均為2 3

2、，則此三棱柱的外接球的表面積為（）a12b16c28d36【舉一反三】1.設(shè)直三棱柱abc-a1b1c1的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的表面積是40， ab=ac=aa1， bac=120 ，則此直三棱柱的高是_. 2. 直三棱柱 ?-?1?1?1中，已知 ? ?，? = 3，? = 4，?1= 5，若三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_考向三棱錐的外接球類型一：正棱錐型【例 3-1 】已知正四棱錐pabcd的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長為2，若該正四棱錐的體積為 2，則此球的體積為（）a. 1243 b. 62581 c. 50081 d. 2569【舉一反三】1.

3、已知正四棱錐pabcd的各條棱長均為2，則其外接球的表面積為( ) a. 4 b. 6 c. 8 d. 162如圖，正三棱錐dabc的四個(gè)頂點(diǎn)均在球o的球面上，底面正三角形的邊長為3，側(cè)棱長為2 3，則球o的表面積是()a4b323c16d36類型二：側(cè)棱垂直底面型【例 3-2 】在三棱錐pabc中，2ap，3 3ab，pa面abc，且在三角形abc中，有cos2coscbabc（其中, ,a b c為abc的內(nèi)角,a b c所對的邊）， 則該三棱錐外接球的表面積為（）a. 40 b. 20 c. 12 d. 203【舉一反三】1. 已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）

4、a. 214 3 b. 127 3 c. 1153 d. 12432. 已知三棱錐sabc中，sa平面abc，且30acb，22 3.1acabsa. 則該三棱錐的外接球的體積為( ) a. 13138 b. 13 c. 136 d. 13 136類型三：側(cè)面垂直與底面型【例 3】已知四棱錐 ?- ?的三視圖如圖所示，則四棱錐?-?外接球的表面積是（）a. 20? b. 101?5 c. 25? d. 22?【舉一反三】1. 九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對幾何體外接球的研究，如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何

5、體的外接球的表面積是（）a. 81? b. 33? c. 56? d. 41?2已知如圖所示的三棱錐dabc的四個(gè)頂點(diǎn)均在球o的球面上，abc和dbc所在平面相互垂直，3ab，3ac，2 3bccdbd，則球o的表面積為()a4b12c16d363三棱錐pabc的底面是等腰三角形，120c， 側(cè)面是等邊三角形且與底面abc垂直，2ac，則該三棱錐的外接球表面積為()a 12b 20c 32d 100類型四：棱長即為直徑【例 3-4 】已知底面邊長為 2，各側(cè)面均為直角三角形的正三棱錐?- ?的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積為（）a. 3? b. 2? c. 43? d. 4?【舉一反三

6、】1已知三棱錐pabc 的所有頂點(diǎn)都在球o 的球面上，pc 是球 o 的直徑若平面pca平面 pcb ，paac ， pbbc ，三棱錐 pabc 的體積為a，則球 o 的體積為 ()a 2 ab 4 ac23ad43a考向四墻角型【例 4】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是（）a23 b 32 c 3 d 4 3【舉一反三】1. 已知四面體 ?的四個(gè)面都為直角三角形，且? 平面 ?，? = ? = ? = 2，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 ? 的表面上，則球? 的表面積為（）a3?b2 3?c4 3?d12?2已知一個(gè)棱長為2 的正方體被兩個(gè)平面所截得的幾何體的三視圖如圖所示

7、，則該幾何體外接球的表面積是()a24b20c16d123在三棱錐p一abc中，1papbpc，pa、pb、pc兩兩垂直，則三棱錐pabc的外接球的表面積為()a12b6c4d3考向五內(nèi)切球【例 5】正三棱錐的高為1，底面邊長為62，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切求球的表面積與體積【舉一反三】1球內(nèi)切于圓柱，則此圓柱的全面積與球表面積之比是()a 1:1b 2:1c 3: 2d 4:32若三棱錐abcd中，6abcd，其余各棱長均為 5 ，則三棱錐內(nèi)切球的表面積為3一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，三視圖都為腰長為 2 的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為()a 33 32b

8、 3c 3 32d 132考向六最值問題【例 6】已知球o的內(nèi)接長方體abcda b c d中，2ab，若四棱錐oabcd的體積為2，則當(dāng)球o的表面積最小時(shí)，球的半徑為()a2 2b2 c2d1 【舉一反三】1已知a，b是球o的球面上兩點(diǎn)，90aob，c為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐oabc體積的最大值為 36，則球o的表面積為()a36b64c144d2561已知正三棱柱111abca b c的底面邊長為3，外接球表面積為16，則正三棱柱111abca b c的體積為（）a3 34b3 32c9 34d9 322 已知p，a，b，c，d是球o的球面上的五個(gè)點(diǎn)， 四邊形abcd為梯形，/ /adb

9、c ，2abdcad，4bcpa，pa面abcd，則球o的體積為（）a6423b16 23c16 2d163已知三棱錐sabc的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，球心o在ab上， so底面abc，球的體積與三棱錐體積之比是4，2ac，則該球的表面積等于（）ab2c3d 44某三棱錐的三視圖如圖所示，則此三棱錐的外接球表面積是（）a163b283c11d3235如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的體積是（）a195754b22 6654c193d2236 九章算術(shù)中將底面為長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”現(xiàn)有一陽馬

10、，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形.若該陽馬的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）a 6?b6?c9?d24?7如圖，邊長為2的正方形 ?中，點(diǎn) ?、? 分別是 ?、?的中點(diǎn)，將 ?，?，?分別沿 ? ，? ，? 折起，使得 ? 、? 、? 三點(diǎn)重合于點(diǎn) ?，若四面體 ?的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為 ( ) a5?b6?c8?d11?8某簡單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在球? 的球面上，則球? 的表面積是：（）a8?b12 3?c12?d48?9已知三棱錐?- ?的底面 ?的頂點(diǎn)都在球 ? 的表面上，且 ? = 6，? = 2 3，? = 4 3，且

11、三棱錐?- ?的體積為 4 3，則球 ? 的體積為（）a32?3b64?3c128?3d256?310我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱. 現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，acbc，若12a aab，則塹堵111abca b c的外接球的體積為（）a1623b8c8 23d4311在三棱錐pabc中.2papbpc.1abac，3bc，則該三棱錐的外接球的表面積為（）a8b163c43d3232712一個(gè)各面均為直角三角形的四面體有三條棱長為2，則該四面體外接球的表面積為（）a6b12c32d4813已知在三棱錐pabc中，1papbbc

12、，2ab，abbc，平面pab平面abc，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）a32b23c2d314已知三棱錐dabc的體積為 6， 在abc中，2ab，4ac，60bac， 且三棱錐dabc的外接球的球心o恰好是ad的中點(diǎn)，則球o的表面積等于（）a323b643c43d4214已知三棱錐sabc各頂點(diǎn)均在球o上，sb為球o的直徑，若2abbc，23abc，三棱錐sabc的體積為 4，則球o的表面積為（）a120b64c 32d1615已知三棱柱111abca b c的側(cè)棱與底面垂直，12,4aabcbac， 則三棱柱111abca b c外接球的體積為（）a12 3b8 3c

13、6 3d4 316在三棱錐abcd中，bcbd，4 3abadbd，6bc，平面abd平面bcd，則三棱錐abcd的外接球體積為()a36b2563c5003d28817已知三棱錐p-abc中，pa=4 ，ab=ac=23，bc=6 ，pa 面 abc ，則此三棱錐的外接球的表面積為（）a16b32c64d12818三棱柱111abca b c的側(cè)棱垂直于底面，且1,2abbc abbcaa , 若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）a48b 32c 12d819一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）a20b16c12 2d8 220我國古代九章算術(shù)將四

14、個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉月需. 如圖是一個(gè)鱉月需的三視圖，其中側(cè)視圖是等腰直角三角形，則該鱉月需的外接球的表面積是（）a 5b6c 12d2421在三棱錐pabc中，pc底面abc，90baco，3ab，4ac，60pbco，則三棱錐pabc外接球的體積為（）a100b5003c125d125322. 已知四棱錐mabcd，ma平面abcd，abbc，180bcdbad，2ma，2 6bc，30abm. 若四面體macd的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）a20b22c40d4423一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()a1

15、63b83c4 3d2 324 已知四面體abcd外接球的球心o恰好在ad上， 等腰直角三角形abc的斜邊ac為 2，2 2dc，則這個(gè)球的表面積為（）a254b8c12d1625已知三棱錐?-?中， ? ? ，? = ? = 2，? = 1，? = 3，則該三棱錐的外接球的體積為()a4?3b8?3c8 2?3d36?26已知三棱錐asbc的體積為2 33，各頂點(diǎn)均在以sc為直徑球面上，2,2abacbc，則這個(gè)球的表面積為_。27表面積為4 3的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為_28已知三棱錐pabc中， 側(cè)棱2,5,3papbpc, 當(dāng)側(cè)面積最大時(shí)，三棱錐pabc的外接球體積為 _ 29已知直三棱柱111abca bc的 6 個(gè)頂點(diǎn)都在球o 的球面上，若6ab，10ac，acab，12 5aa，則球 o的表面積為 _ 30在三棱錐 ?- ?中，平面 ? 平面 ?，?是邊長為 2 3的等邊三角形，其中? = ? = 7，則該三棱錐外接球的表面積為_31已知圓錐的母線長為5，底面半徑為4，則它的外接球的表面積為_ 32四棱錐 sabcd 中，底面abcd為矩形，4ad，2ab，且8sasd，當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為_. 33已知三棱錐pdef的各頂點(diǎn)都在球面上，pded,ef平面pde,4de，3ef,