1、填空題1. 設(shè)矢性函數(shù)和，則 ， 。2. 矢性函數(shù)的導(dǎo)矢代表對(duì)應(yīng)的矢端曲線的 矢量，且矢量指向 增加的方向。3. 矢性函數(shù)對(duì)其矢端曲線的弧長(zhǎng)的導(dǎo)數(shù)在幾何上為一 矢量，且矢量恒指向 增大的一方。4. 曲線：，的切向單位矢量為 。5. 曲線，在處的單位切向矢量為 。6. 曲線，在處的單位切向矢量為 。7. 將矢性函數(shù)的起點(diǎn)取在坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的終點(diǎn)所描繪出的曲線稱為 。8. 若矢性函數(shù)，則 。9. 一矢性函數(shù)，其導(dǎo)矢 。10. 我們所學(xué)的梯度、散度和旋度等概念，指的是 場(chǎng)的梯度， 場(chǎng)的散度， 場(chǎng)的旋度，而散度、梯度、旋度本身又分別為 場(chǎng)、 場(chǎng)和 場(chǎng)。(數(shù)量或矢量)11. 磁場(chǎng)（是或不是） 有勢(shì)

2、場(chǎng)，靜電場(chǎng) 有勢(shì)場(chǎng)，感生電場(chǎng) 有勢(shì)場(chǎng)。12. 有勢(shì)場(chǎng)又稱為無(wú) 場(chǎng)， 管形場(chǎng)又稱為無(wú) 場(chǎng)，調(diào)和場(chǎng)又稱為無(wú) 無(wú) 場(chǎng)。13. 在一個(gè)矢量場(chǎng)中，若在某點(diǎn)處 ，則稱矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處有源；若在某點(diǎn)處 ，則矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處無(wú)源。14. 平面數(shù)量場(chǎng)的梯度 ，其在點(diǎn)M（1 , 2 , 1）處沿矢量的方向?qū)?shù)為 。15. 數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處的梯度為 。16. 數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿矢量方向的方向?qū)?shù)為 。17. 矢量場(chǎng)在點(diǎn)P（1，2，2）處的旋度為 ，A在點(diǎn)P處沿著矢量的環(huán)量面密度為 。18. 我們所學(xué)的散度場(chǎng)、梯度場(chǎng)、旋度場(chǎng)本身分別為 場(chǎng)、 場(chǎng)和 場(chǎng)（數(shù)量或矢量）。19. 數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處的梯度為 。20. 數(shù)量場(chǎng)在一點(diǎn)處沿該點(diǎn)的

3、矢量方向的方向?qū)?shù)值最大。21. 矢量場(chǎng)、的散度分別為 和 ； 而旋度則分別為 和 。22. 設(shè)數(shù)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)，應(yīng)用哈密頓算子表示場(chǎng)的散度、梯度、旋度寫(xiě)法分別為 、 、和 。23. 已知數(shù)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)，則 。24. 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算： ， ； ， ； ；若，則 。25. 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算： ； ； ； 、 和 ； ； ； 26. 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算： ， ； ； ； ； ； 。27. 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算： 、 、 。28. 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算： ； 。 29. 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算： ， ； 、 、 。30. 的三角表示式和指數(shù)表示式分別為 、 ；復(fù)數(shù)的實(shí)

4、部為 ；復(fù)數(shù)的主值為 ；設(shè)，則 ； 。31. 設(shè)，則 ；的主值為 ； ；復(fù)數(shù)的模為 ；以方程的根的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形面積為 ； 。32. 復(fù)變函數(shù)，則方程的所有根為 、 、 。33. 復(fù)變函數(shù)，則方程的所有根為 、 、 。34. 復(fù)變函數(shù)，則方程的所有根為 、 ；的主值為 。35. 復(fù)變函數(shù)，則方程的所有根為 、 。36. 復(fù)變函數(shù)，則方程的所有根為 、 、 。37. 復(fù)變函數(shù)，則 ；，則 ；，則 ；在處的導(dǎo)數(shù)為 ；，則 ；。38. 復(fù)變函數(shù)在 處可導(dǎo)，且 。39. 由柯西-黎曼方程可知，一個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部是互為 關(guān)系的 函數(shù)。40. 柯西-黎曼方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 和 ，它們是判斷復(fù)變

5、函數(shù) 的充要條件。41. 若在全平面內(nèi)解析，則常數(shù) ， ， 。42. 設(shè)函數(shù)在全平面內(nèi)解析，則常數(shù)、取值分別為 、 、 、 。43. 設(shè)復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且為實(shí)常數(shù)。則在內(nèi)是 。44. 在全平面內(nèi)解析，在實(shí)軸上等于的函數(shù)是 。45. 設(shè)，其中，則 ， 。46. 設(shè)，其中，則 。47. 設(shè)，其中，則 。48. 設(shè)，其中，則 。49. 設(shè)，其中，則 ， 。50. 設(shè)，其中，則 ， 。51. 。52. 計(jì)算函數(shù)在處的級(jí)數(shù)展開(kāi)式時(shí)，若要展開(kāi)成 級(jí)數(shù)，則必須是的解析點(diǎn)；若點(diǎn)為非解析點(diǎn)，則只能展開(kāi)成 級(jí)數(shù)。53. 函數(shù)在處展開(kāi)的泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑為 ，若在處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，則收斂半徑為 。54. 函數(shù)

6、在處展開(kāi)的泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑為 ，若在處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，則收斂半徑為 。55. 在處的級(jí)數(shù)為 。（至少寫(xiě)出前四項(xiàng)）56. 設(shè)的展開(kāi)式為，則此級(jí)數(shù)的收斂半徑為 。57. 在處的級(jí)數(shù)中，項(xiàng)的系數(shù)為 。58. 在處的級(jí)數(shù)的收斂半徑為 。59. 函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是 ，在孤立奇點(diǎn)上的留數(shù)為 。60. 函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是 ，在孤立奇點(diǎn)上的留數(shù)為 。61. 函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)上的留數(shù)為 、 。62. 函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是 ，奇點(diǎn)類型 ，在孤立奇點(diǎn)上的留數(shù)為 。63. 設(shè)，為一常數(shù)，的孤立奇點(diǎn)為 ，其類型為 。64. ； ； 。65. 函數(shù)的零點(diǎn)在以內(nèi)的個(gè)數(shù)為 。66. 留數(shù)在形如定積分上應(yīng)用時(shí)，為使積分存在，要求有理

7、函數(shù)的分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少 ，并且所有的孤立奇點(diǎn)都 。67. 按照函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的 級(jí)數(shù)展開(kāi)式的不同情況，可將孤立奇點(diǎn)分為 、 和 三種。68. 函數(shù)在奇點(diǎn)處的留數(shù)為 。69. 靜電場(chǎng)中的電力線，磁場(chǎng)中的磁力線，流速場(chǎng)中的流線，可以統(tǒng)稱為 。70. 積分中，若為包含的任一條簡(jiǎn)單正向閉曲線，為整數(shù)，則當(dāng) 時(shí)，積分值不為零且等于 。71. 在高階導(dǎo)數(shù)公式中，要求為包含 點(diǎn)的一條簡(jiǎn)單正向閉曲線，而在內(nèi) 。72. 留數(shù)在形如定積分上應(yīng)用時(shí)，為使積分存在，要求有理函數(shù)的分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少 ，并且所有的孤立奇點(diǎn)都 。73. 設(shè)復(fù)變函數(shù)，則這個(gè)孤立奇點(diǎn)的類型為 ；并且 。74. 留

8、數(shù)在形如定積分上應(yīng)用時(shí)，為使積分存在，要求有理函數(shù)的分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少 ，并且所有的孤立奇點(diǎn)都 。75. 函數(shù)的變換為 。76. 函數(shù)的變換為，則 。77 函數(shù)的拉普拉斯逆變換為 。78已知函數(shù)的傅利葉變換為，則的傅利葉變換為 。（）選擇題1. 矢量場(chǎng)為 。（A）有勢(shì)場(chǎng)； （B）管形場(chǎng)； （C）調(diào)和場(chǎng)； （D） 一般場(chǎng)2. 矢量場(chǎng)為 。（A）有勢(shì)場(chǎng)； （B）管形場(chǎng)； （C）調(diào)和場(chǎng)； （D） 一般場(chǎng)3. 矢量場(chǎng)為 。（A）有勢(shì)場(chǎng)； （B）管形場(chǎng)； （C）調(diào)和場(chǎng)； （D） 一般場(chǎng)4. 矢量場(chǎng)為 。（A）有勢(shì)場(chǎng)； （B）管形場(chǎng)； （C）調(diào)和場(chǎng)； （D）一般場(chǎng)5. 下面公式中，正確的是 。其中

9、為數(shù)性函數(shù)，為矢性函數(shù)。（A）； （B）；（C）； （D）6. 下面公式中，正確的是 。其中為數(shù)性函數(shù)，為矢性函數(shù)。（A）； （B）；（C）； （D）7. 下面公式中，正確的是 。其中，為矢性函數(shù)。（A）； （B）；（C）； （D）8. 一個(gè)向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2，則原向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 。（A）； （B）； （C）； （D）9. 一個(gè)向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，向右平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則原向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 。（A）2； （B）； （C）； （D）10. 函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)是在點(diǎn)解析的 。（A）充分不必要條件； （B）必要不充分條件； （C

10、）充分必要條件； （D）既非充分也非必要條件11.下列函數(shù)中，在整個(gè)復(fù)平面上均為解析函數(shù)的是 。（A）； （B）； （C）； （D）12.下列函數(shù)中，在整個(gè)復(fù)平面上均為解析函數(shù)的是 。（A）； （B）； （C）； （D）13. 下列函數(shù)中，在整個(gè)復(fù)平面上均為解析函數(shù)的是 。（A）； （B）； （C）； （D）14. 若函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，則實(shí)常數(shù) 。（A）0； （B）1； （C）2； （D）15. 設(shè)在區(qū)域內(nèi)為的共軛調(diào)和函數(shù)，則下列函數(shù)中為內(nèi)解析函數(shù)的是 。（A）； （B）； （C）； （D）16下列觀點(diǎn)中正確的個(gè)數(shù)為 。1）若復(fù)變函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)解析；2）若復(fù)變函數(shù)在點(diǎn)解析，則在點(diǎn)可

11、導(dǎo)；3）若復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)處處可導(dǎo)；4）若復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)，則在內(nèi)解析（A）0； （B）1； （C）2； （D）317. 設(shè)，則 。（A）； （B）； （C）； （D）18. 積分 。（A）； （B）； （C）1； （D）019. 設(shè)為正向圓周，則 。（A）； （B）； （C）； （D）20. 設(shè)為正向圓周，則 。（A）； （B）； （C）； （D）21. 設(shè)為正向圓周，則 。（A）； （B）； （C）； （D）22. 若冪級(jí)數(shù)收斂半徑為2，則該級(jí)數(shù)在處的斂散性為 。（A）絕對(duì)收斂； （B）條件收斂； （C）發(fā)散； （D）不能確定23. 若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則該級(jí)數(shù)在處的斂散

12、性為 。（A）絕對(duì)收斂； （B）條件收斂； （C）發(fā)散； （D）不能確定24. 若函數(shù)的泰勒展開(kāi)式為，則級(jí)數(shù)的收斂半徑為 。（A）； （B）1； （C）； （D）25. 復(fù)變函數(shù)在環(huán)域展開(kāi)的洛朗級(jí)數(shù)中的正冪項(xiàng)在 內(nèi)絕對(duì)收斂。（A）； （B）； （C）； （D）26. 復(fù)變函數(shù)在環(huán)域展開(kāi)的洛朗級(jí)數(shù)中的負(fù)冪項(xiàng)在 內(nèi)絕對(duì)收斂。（A）； （B）； （C）； （D）27. 若復(fù)變函數(shù)在圓環(huán)域：內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)為，為內(nèi)任意一條簡(jiǎn)單正向閉曲線，則積分 。（A）； （B）； （C）； （D）28. 是函數(shù)的 。（A）可去奇點(diǎn)； （B）1級(jí)極點(diǎn)； （C）1級(jí)零點(diǎn)； （D）本性奇點(diǎn)29. 是的 。（A）可去奇點(diǎn)； （

13、B）1級(jí)極點(diǎn)； （C）2級(jí)極點(diǎn)； （D）3級(jí)極點(diǎn)30. 是的 級(jí)極點(diǎn)。 （A）5； （B）4； （C）3； （D）231. 是的 級(jí)極點(diǎn)。 （A）5； （B）4； （C）3； （D）232. 是的 級(jí)極點(diǎn)。 （A）4； （B）3； （C）2； （D）133. 是的 級(jí)極點(diǎn)。 （A）4； （B）3； （C）2； （D）134. 是的 級(jí)極點(diǎn)。（A）5； （B）4； （C）3； （D）235. 是的 級(jí)極點(diǎn)。 （A）4； （B）3； （C）2； （D）136. 是的 級(jí)極點(diǎn)。（A）3； （B）2； （C）1； （D）037. 若為的級(jí)零點(diǎn)，則為的 級(jí)零點(diǎn)（A）； （B）； （C）； （D）38.

14、設(shè)為復(fù)變函數(shù)的可去奇點(diǎn)，則在處的極限值為 。（A）不存在； （B）有限值； （C）無(wú)窮大39. 復(fù)變函數(shù)在處展開(kāi)的泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑為 。（A）1； （B）2； （C）3； （D）440. 下列函數(shù)中，是單值函數(shù)的是 。（A）； （B） （為正整數(shù)）； （C）；（為正整數(shù)） （D）41. 留數(shù)在定積分的計(jì)算上應(yīng)用時(shí)，若積分存在，有理函數(shù)的分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少 。（A）高1次； （B）高2次； （C）低1次； （D）低2次42. 復(fù)變函數(shù)若在處展開(kāi)為洛朗 級(jí)數(shù)，則展開(kāi)時(shí)需要區(qū)分的解析區(qū)域個(gè)數(shù)為 。（A）0； （B）1； （C）2； （D）3證明題1. 證明點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)，其中

15、，2. 利用混合積公式證明： 3. 證明矢量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)。4. 證明矢量場(chǎng)為調(diào)和場(chǎng)5. 利用二重矢量積公式證明：6. 利用二重矢量積公式證明：7. 利用二重矢量積公式證明：，其中問(wèn)答題1. 請(qǐng)敘述一下矢量場(chǎng)的通量與散度的關(guān)系。2. 形如的積分如何轉(zhuǎn)化為復(fù)變積分，其中 為與的有理函數(shù)。3. 敘述一下什么叫做等值線和矢量線。4. 敘述一下數(shù)量場(chǎng)沿矢量的方向?qū)?shù)和梯度的關(guān)系。5. 復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)分為幾種，定義分別是什么？6. 詳細(xì)分析復(fù)變函數(shù)的奇點(diǎn)是的何種奇點(diǎn)。計(jì)算題1. 計(jì)算下列矢量場(chǎng)的和。（9分）（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11） （12）（1

16、3） 2. 設(shè)為曲面在點(diǎn)處指向曲面外側(cè)的法向矢量，求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)。3. 設(shè)兩曲面，一數(shù)量場(chǎng)，求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿兩曲面交線的切線方向的方向?qū)?shù)。4. 已知數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處指向的方向?qū)?shù)為2，指向的方向?qū)?shù)為，求：（1）點(diǎn)處的梯度；（2）點(diǎn)指向的的方向?qū)?shù)5. 設(shè)，求滿足的函數(shù)。6. 已知流速場(chǎng)，為曲面()，求在單位時(shí)間內(nèi)向下側(cè)穿過(guò)的流量。7. 已知矢量場(chǎng)，為曲面，求沿正向的通量。8. 已知矢量場(chǎng)，為上半球面，求向上穿過(guò)的通量。9. 已知矢量場(chǎng)，為曲面（），求向左側(cè)穿過(guò)的通量。10. 已知矢量場(chǎng)，為曲面，求沿正向的通量。11. 證明函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)函數(shù)單獨(dú)用表示的形式。12. 證

17、明函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)函數(shù)單獨(dú)用表示的形式。13. 證明函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)函數(shù)單獨(dú)用表示的形式。14. 證明函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)函數(shù)單獨(dú)用表示的形式。15. 證明函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)函數(shù)單獨(dú)用表示的形式。16. 已知函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，求參數(shù)的值，并求出解析函數(shù)函數(shù)單獨(dú)用表示的形式。17.證明函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)函數(shù)單獨(dú)用表示的形式，并使得。18. 證明函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)函數(shù)單獨(dú)用表示的形式，并使得。19. 求函數(shù)在處展開(kāi)的級(jí)數(shù)20. 求函數(shù)在處展開(kāi)的級(jí)數(shù)21. 求函數(shù)在處展開(kāi)的級(jí)數(shù)22. 將函數(shù)在圓環(huán)域：（1），（2）內(nèi)展開(kāi)成級(jí)數(shù)。23. 求函

18、數(shù)在處的級(jí)數(shù)。24. 求函數(shù)在處的級(jí)數(shù)。25. 求函數(shù)在處的級(jí)數(shù)。26. 求函數(shù)在處的級(jí)數(shù)。27. 求函數(shù)在處的級(jí)數(shù)。28. 求函數(shù)在處的級(jí)數(shù)。29. 求函數(shù)在處的級(jí)數(shù)。30. 求函數(shù)在處的級(jí)數(shù)。31. 分別求函數(shù)在、處的級(jí)數(shù)。32. 求函數(shù)在處的級(jí)數(shù)。33. 求函數(shù)在處的級(jí)數(shù)。34. 求下列積分。（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） (15) () (16) () (17) () (18) （19）； （20） （）35. 已知，求，。36. 設(shè)在內(nèi)解析（），且，計(jì)算積分，并由此計(jì)算定積分37. 計(jì)算積分，并由此證明定積分38. 求函數(shù) （）的Fourier變換及其Fourier積分。39. 求函數(shù) （）的Fourier變換及其Fourier積分。40. 求函數(shù)的Fourier變換。41. 求函數(shù)的Fourier變換。42. 求函數(shù)的Fourier變換及其Fourier積分。43. 求函數(shù)的Fourier變換及其Fourier積分。44. 求函數(shù) （）的Fourier變換及其Fourier積分，并驗(yàn)證。45. 求