1、只要功夫下得深，夢想一定能成真! 第3講 直線和圓的位置關(guān)系 【基礎(chǔ)知識精講】 知識點(diǎn)1、直線和圓的三種位置關(guān)系：知識點(diǎn)2、切線的判定和性質(zhì)：d<rd=rd>r關(guān) 系相交相切相離交點(diǎn)個數(shù)兩個交點(diǎn)一個交點(diǎn)沒有交點(diǎn)直線名稱割線切線不相交線1、 判定：（1）當(dāng)圓心到直線的距離d等于半徑r時，直線是圓的切線； （2）經(jīng)過半徑外端垂直于的半徑的直線，是圓的切線。2、性質(zhì)：如果一條直線與圓相切，若滿足：（1）過圓心，（2）過切點(diǎn)，（3）垂直于切線其中任意兩個條件，則必滿足第三個條件。ADCBABP知識點(diǎn)3、弦切角定理：弦切角等于所夾弧對的圓周角。知識點(diǎn)4、切線長定理：從圓外一點(diǎn)向圓所引的兩條切

2、線段長相等；APDCBABTPDC知識點(diǎn)5、圓冪定理：（1）PA·PB=PC·PD （相交弦定理） （2）PT²=PA·PB=PC·PD（切割線定理）AcbIaCBAcbBCar知識點(diǎn)6、圓與三角形：（1）， （2）， 注意：(1)“連半徑證垂直得切線”。“作垂直證半徑得切線”。(2) 見切線要想到它垂直于過切點(diǎn)的半徑；若過切點(diǎn)有垂線則必過圓心；過切點(diǎn)有弦，則想到弦切角定理，想到圓心角、圓周角性質(zhì)，可再聯(lián)想同圓或等圓弧弦弦心距等的性質(zhì)應(yīng)用。（3）任意三角形有且只有一個內(nèi)切圓，圓心為這個三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。 【典例精講】考點(diǎn)1、切線的性質(zhì)和判

3、定例1、（2011梧州）如圖，AB是O的直徑，CD是O的切線，切點(diǎn)為C延長AB交CD于點(diǎn)E連接AC，作DAC=ACD，作AFED于點(diǎn)F，交O于點(diǎn)G（1） 求證：AD是O的切線；（2） 如果O的半徑是6cm，EC=8cm，求GF的長（1）證明：連接OCOCD=90°OCA+ACD=90°OA=OC，OCA=OACDAC=ACD，OCA+DAC=90°0AC+CAD=90°OAD=90°AD是O的切線（2）解：連接BG；OC=6cm，EC=8cm，在RtCEO中，OE2=OC2+EC2 =100AE=OE+OA=16AFED，AFE=OCE=90&

4、#176;，E=ERtAEFRtOECAF：OC =AE：OE 即：AF ：6 =16 ：10 AF=9.6AB是O的直徑，AGB=900AGB=AFEBAG=EAF，RtABGRtAEFAG ：AF =AB： AE 即：AG： 9.6 =12： 16 AG=7.2GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4（cm）考點(diǎn)2、圓冪定理：例2、（1）如圖，已知PT是0的切線，PAB、PCD是0的割線，BCPT，連接DA并延長交PT與Q求證：PQ=TQ證明：QPAQDP,PQ2=QA.QD,TQ2=QA.QD,PQ=TQ考點(diǎn)3、圓和三角形例3、(2011大慶) 如圖，的兩直角邊邊長為4，邊長為3，它的內(nèi)

5、切圓為0，0與邊、分別相切于點(diǎn)、，延長交斜邊于點(diǎn)(1)求的半徑長； (2)求線段的長提示：（1）1由AD=AF=AC-FC=4-1=3,在正方形OECF中，CO(即CG)平分BCAAG/GB=AC/CB即AG/AB=AC/(AC+CB)AG=AB·AC/(AC+CB)=5×4/(4+3)=20/7DG=AD-AG=3-20/7=1/7考點(diǎn)4、圓的綜合題型AMOEDCB例4、如圖，在半徑為的中，是兩條直徑，是的中點(diǎn)，的延長線交于，設(shè)，。用含和的代數(shù)式表示的長，并求證；當(dāng)且時，求的值；由圖形求出的取值范圍，試問：上是否存在一點(diǎn)，使的長是方程的相等實(shí)根，若存在，求出的值，若不存在

6、，請說明理由。解：CDE中，DE2+CE2=CD2,()2+(x+CM)2=82,CM=-x,由相交弦定理知：EM.CM=AM.BM,x.CM=62,CM=,=-x,CM=-x=7-x,7-x=,x1=3,x2=4,x=4,=2<<6,=()2-4×12=0,a=16,x=2,OE2=EM2+OM2,OME=900,=例5、如圖，第一象限內(nèi)半徑為4的C與y軸相切于點(diǎn)A，作直徑AD，過點(diǎn)D作C的切線交x軸于點(diǎn)B，P為直線l上一動點(diǎn)，已知直線PA的解析式為y=kx+6.(1)設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為p，寫出p隨x變化的函數(shù)關(guān)系式。(2)設(shè)C與PA交于點(diǎn)M，與AB交于點(diǎn)N，則不論動點(diǎn)P

7、處于直線l上（除點(diǎn)B以外）的什么位置時，都有AMNABP.請你對于點(diǎn)P處于圖中位置時的兩三角形相似，給予證明。(3)是否存在使AMN的面積等于的K值？若存在，請求出符合的K值，若不存在，請說明理由. 解：（1）y軸和直線l都是C的切線，OAAD，BDAD；又OAOB，AOB=OAD=ADB=90°，四邊形OADB是矩形；C的半徑為4，AD=OB=8；點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，p）；又點(diǎn)P也在直線AP上，p=8k+6；（2）連接DNAD是C的直徑，AND=90°，ADN=90°-DAN，ABD=90°-DAN，ADN=ABD，又ADN=AMN，AB

8、D=AMN，MAN=BAP，AMNABP；（3）存在理由：把x=0代入y=kx+6得：y=6，即OA=BD=6，AB2= AD2+BD2 = 82+62 =102，SABD= ABDN= ADDB，DN=AD×BD：AB =8×6：10 =24：5 ，AN2=AD2-DN2=82-（ ）2= ，AMNABP，SAMN：SABP =（AN：AP ）2，即SAMN=（AN：AP ）2SABP=AN2SABP：AP2 ，當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)上方時，AP2=AD2+PD2=AD2+（PB-BD）2=82+（8k+6-6）2=64（k2+1），或AP2=AD2+PD2=AD2+（BD-PB）

9、2=82+（6-8k-6）2=64（k2+1），SABP= PBAD= （8k+6）×8=8（4k+3），SAMN=AN2SABP:AP2 =1024×8(4k+3): 25×64(k2+1) =128(4k+3):25(k2+1) =128:25 ，整理得：k2-4k-2=0，解得k1=2+，k2=2- ，當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時，AP2=AD2+PD2=82+（6-8k-6）2=64（k2+1），SABP= PBAD=-（8k+6）×8=-8（4k+3），SAMN=AN2SABP： AP2 =-1024×8(4k+3) ：25×64(k

10、2+1) =128：25 化簡得：k2+4k+4=0，解得：k1=k2=-2，綜合以上所得，當(dāng)k=2± 或k=-2時，AMN的面積等于128：25 點(diǎn)評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解【名書·名校·競賽·中考在線】ODGCAEFBP1、（成都）如圖，是以為直徑的上一點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，與的延長線相交于點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長與相交于點(diǎn)，延長與的延長線相交于點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）若，且的半徑長為，求和的長度（1）證明：是的直徑，

11、是的切線，又，易證，是的中點(diǎn)，（2）證明：連結(jié)是的直徑，在中，由（1），知是斜邊的中點(diǎn)，又，是的切線，是的切線（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1），知，由已知，有，即是等腰三角形，即，四邊形是矩形，易證ODGCAEFBP，即的半徑長為，解得，在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）或取的中點(diǎn)，連結(jié)，則易證，故，由，易知，由，解得又在中，由勾股定理，得，（舍去負(fù)值）CEBMADO2、（成都）如圖，已知的半徑長為2，以的弦為直徑作M，點(diǎn)是優(yōu)弧AB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）連結(jié)，分別與M相交于點(diǎn)，點(diǎn)，連結(jié)若（1）求的度數(shù)； （2）求的長；（3）如果記，那么在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，試用含的代數(shù)式表示解：（1）連結(jié)

12、則在中，連結(jié)則3分（2）在和中，連結(jié)則在中，即3分或：點(diǎn)在上移動，恒為，長始終不變當(dāng)點(diǎn)移動到延長線與交點(diǎn)處時，可求得（3）連結(jié)是的直徑，由，可得，在中， ；又由（2），知3分在中，1分3、（成都）如圖，RtABC內(nèi)接于O，AC=BC，BAC的平分線AD與0交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，延長BD，與AC的延長線交于點(diǎn)F，連結(jié)CD，G是CD的中點(diǎn)，連結(jié)0G (1)判斷0G與CD的位置關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；(2) 求證：AE=BF；(3) 若，求O的面積。4、（成都）已知：如圖，內(nèi)接于，為直徑，弦于，是弧AD的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)，分別交、于點(diǎn)、（1）求證：是的外心； （2）若,求的

13、長； （3）求證：(FP+PQ)2=FP·FG（1）證明：C是的中點(diǎn)，CAD=ABC，AB是O的直徑，ACB=90°。CAD+AQC=90°，又CEAB，ABC+PCQ=90°AQC=PCQ，在PCQ中，PC=PQ，CE直徑AB，CAD=ACE。在APC中，有PA=PC，PA=PC=PQ，P是ACQ的外心。（2）解：CE直徑AB于F，在RtBCF中，由tanABC=，CF=8，得。由勾股定理，得，AB是O的直徑，在RtACB中，由tanABC=，得。易知RtACBRtQCA，。（3）證明：AB是O的直徑，ACB=90°，DAB+ABD=90&#

14、176;又CFAB，ABG+G=90°，DAB=G；RtAFPRtGFB，即，易知RtACFRtCBF，（或由攝影定理得），由（1），知PC=PQ，F(xiàn)P+PQ=FP+PC=FC，家庭作業(yè)第一部分：1.（2011安徽）如圖，O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則O 的半徑是_.第二部分： 2（2011廣安）如圖所示，P是O外一點(diǎn)，PA是O的切線，A是切點(diǎn)，B是O 上一點(diǎn)，且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點(diǎn)Q（1）求證：PB是O的切線；（2）求證：AQPQ=OQBQ；（3）設(shè)AOQ=，若cos= ，OQ=15，求AB

15、的長解答：（1）證明：連接OP，與AB交于點(diǎn)CPA=PB，OA=OB，OP=OP，OAPOBP（SSS），OBP=OAP，PA是O的切線，A是切點(diǎn)，OAP=90°，OBP=90°，即PB是O的切線；（2）證明：Q=Q，OAQ=QBP=90°，QAOQBP，AQ:BQ =OQ:PQ ，即AQPQ=OQBQ；（3）連OP并交AB于點(diǎn)C，在RtOAQ中，OQ=15，cos= ，OA=12，AQ=9，QB=27；AQ:BQ =OQ:PQ ，PQ=45，即PA=36，OP=12 ；APO=APO，PAO=PCA=90°,PACPOA，PA:PO =AC:AO ，PAOA=OPAC，即36×12=12 AC，AC= ，故AB= 第三部分 P A D O BC3、已知，如圖，是O的直徑，點(diǎn)在半圓上，垂足為，切線交的延長線于，的長是關(guān)于的方程的兩根，且，求和的長解：設(shè)AD=x，則BD=4x，AD：BD=1：4，方程x2-（4m+2）+4m2=0（m0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，x+4x=4m+2，x4x=4m2，m0，x=m，5m=4m+2，解得m=2，AD