1、專題19,選修1-1綜合練習（文）（解析版） 1 題 專題 19 選修 1-1 綜合練習 一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1若函數 ) (x f y = 可導，則" 0 ) ( =¢ xf 有實根'是" ) (x f 有極值'的( )。 a、必要不充分條件 b、充分不必要條件 c、充要條件 d、既不充分也不必要條件 【答案】a 【解析】 0 ) ( =¢ xf ，但 ) (xf ¢在零點左側和右側都同時大于零或者小于零時 ) (x f 在零點處無

2、極值， 但 ) (x f 有極值則 ) (xf ¢在極值處一定等于 0 ，故選 a。 2下列函數在點 0 = x 處沒有切線的是( )。 a、 x x x f cos 3 ) (2+ = b、 x x x g sin ) ( × = c、 xxx h 21) ( + = d、xx wcos1) ( = 【答案】c 【解析】函數 xxx h 21) ( + = 在 0 = x 處不可導，點 0 = x 處沒有切線，故選 c。 3已知雙曲線 c ： 12222= -byax( 0 > a ， 0 > b )的一條漸近線方程是 x y 3 = ，它的一個焦點坐標為 )

3、 0 2 ( ， ，則雙曲線 c 的方程為( )。 a、 12 62 2= -y x b、 1322= - yx c、 16 22 2= -y x d、 1322= -yx 【答案】d 【解析】雙曲線 c ： 12222= -byax( 0 > a ， 0 > b )的一個焦點坐標為 ) 0 2 ( ， ， 2 = c ，焦點在 x 軸上， 2 漸近線方程是 x y 3 = ， 3 =ab，令 m b 3 = ( 0 > m )，則 m a= ， 2 22 2= = + = m b a c ， 1 = m ， 1 = a ， 3 = b ，雙曲線方程為 1322= -yx ，

4、故選 d。 4已知點 ) 1 2 ( ， a 為拋物線 py x 22= ( 0 > p )上一點，則 a 到其焦點 f 的距離為( )。 a、23 b、212 + c、 2 d、 1 2 + 【答案】a 【解析】把 ) 1 2 ( ， a 代入拋物線中，解得 1 = p ，則拋物線的準線方程為21- = y ， 由拋物線的定義得23)21( 1 | | = - - = af ，故選 a。 5如果1p 、2p 、np 是拋物線 c ： x y 42= 上的點，它們的橫坐標依次為1x 、2x 、nx ， f 是拋物線c 的焦點，若 102 1= + × + +nx x x ，則

5、= + × + + | | | | | |2 1f p f p f pn( )。 a、 10 + n b、 20 + n c、 10 2 + n d、 20 2 + n 【答案】a 【解析】由題可知拋物線的焦點為 ) 0 1 ( ， ，準線為 1 - = x ， 由拋物線定義可知 1 | |1 1+ = x f p 、 1 | |2 2+ = x f p 、， 故 10 | | | | | |2 1+ = + × + + n f p f p f pn，故選 a。 6已知橢圓 c ： 12222= +byax( 0 > > b a )，點 m 、 n 、 f 分別

6、為橢圓 c 的左頂點、上頂點、左焦點，若 = Ðmfn o90 + Ðnmf ，則橢圓 c 的離心率是( )。 a、21 2 - b、21 3 - c、21 5 - 3 d、23 【答案】c 【解析】依題意有2 2b a mn + = ， c a mf - = ， a nf = ，o90 + Ð = Ð nmf mfn ， nmf nmf mfn Ð = + Ð = Ð cos ) 90 sin( sino，即2 2b aaab+= ，解得21 522-=ab， 離心率21 5122-= - =abe ，故選 c。 7已知拋

7、物線 c ： x y 162= ，焦點為 f ，直線 l ： 1 - = x ，點 l aÎ ，線段 af 與拋物線 c 的一個交點為 b ，若 fb fa 5 = ，則 = | | af ( )。 a、 3 4 b、 2 6 c、 35 d、 40 【答案】c 【解析】過 b 作 be l 于 e ，設 l 與 x 軸的交點為 d ，則| | | | |fdbefaba= ， fb fa 5 = ， | |5| | |45| | |be befdbafa= = = ， 4 | | = be ， 又 7 3 | | | | = + = be fb ， 35 | | 5 | | = =

8、 fb fa ，故選 c。 8若關于 x 的不等式 0 < + - × a ax e xx的解集為 ) ( n m， ( 0 < n )，且 ) ( n m， 中只有一個整數，則實數 a 的取值范圍是( )。 a、 )1 12e e， b、 )21322e e， c、 )2 12e e， d、 )1322e e， 【答案】b 【解析】設xe x x g × = ) ( ， a ax y - = ，由題設原不等式有唯一整數解， 即xe x x g × = ) ( 在直線 a ax y - = 下方，xe x x g × + = ¢ )

9、 1 ( ) ( ， 4 ) (x g 在 ) 1 ( - -¥， 遞減，在 ) 1 ( ¥ + - ， 遞增， 故eg x g1) 1 ( ) (min- = - = ， a ax y - = 恒過定點 ) 0 1 ( ， p ， 結合函數圖像得pb pak a k < £ ，即eae 21322< £ ，故選 b。 9已知函數 c bx ax x x f + + + =2 32131) ( 在1x 處取得極大值，在2x 處取得極小值，滿足 ) 0 1 (1， - Î x ， ) 1 0 (2， Î x ，則24 2+

10、+ab a的取值范圍是( )。 a、 ) 3 0 ( ， b、 3 0 ， c、 ) 3 1 ( ， d、 3 1 ， 【答案】c 【解析】 c bx ax x x f + + + =2 32131) ( ， b ax x x f + + = ¢2) ( ， 函數 ) (x f 在區間 ) 0 1 ( ， - 內取得極大值，在區間 ) 1 0 ( ， 內取得極小值， 0 ) (2= + + = ¢ b ax x x f 在 ) 0 1 ( ， - 和 ) 1 0 ( ， 內各有一個根， 0 ) 0 ( <¢ f， 0 ) 1 ( > -¢ f

11、， 0 ) 1 ( >¢ f， 即ïîïíì> + +> + -<0 10 10b ab ab，在 aob 坐標系中畫出其表示的區域，212 124 2+´ + =+ +abab a， 令21+=abm ，其幾何意義為區域中任意一點與點 ) 1 2 ( - - ， 連線的斜率， 分析可得 1210 <+<ab，則 324 21 <+ +<ab a，24 2+ +ab a的取值范圍是 ) 3 1 ( ， ，故選 c。 10已知1f 、2f 分別是雙曲線 e ： 12222= -b

12、yax( 0 > a ， 0 > b )的左、右焦點，且 2 | |2 1= f f ，若 p 是該雙曲線右支上一點，且滿足 | | 2 | |2 1pf pf = ，則2 1 fpf d 面積的最大值是( )。 a、 1 b、34 c、35 d、 2 【答案】b 【解析】設 m pf = | |1， n pf = | |2， q = Ð2 1 pff ，由題意得 n m 2 = ， 1 = c ， 5 由雙曲線定義得 a n m 2 = - ， a a c a n - = - ³ = 1 2 Þ31³ a Þ32³ n

13、Þ942³ n ， 由余弦定理得22 2 244 524cosnnmnc n m -=- += q ， 2222)44 5( 1 sin212 1nnn mn sf pf- = q =d 349256)920( 94116 40 9412 2 2 4³ + - - = - + - = n n n ， 當949202> = n 時，2 1 fpf d 面積的最大值是34，故選 b。 11點 p 到曲線 c 上每一點的距離的最小值稱為點 p 到曲線 c 的距離，已知點 ) 0 2 ( ， p ，若點 p 到曲線 c 的距離為 3 ，在下列曲線中不符合題意的是(

14、)。 a、 0 32 2= - y x b、 3 ) 3 ( ) 1 (2 2= - + + y x c、 45 9 52 2= + y x d、 x y 22= 【答案】c 【解析】a 選項，由 0 32 2= - y x 可知 0 3 = ± y x ， 則點 ) 0 2 ( ， p 到直線 0 3 = ± y x 的最短距離為 3 = d ，符合題意， b 選項， 3 ) 3 ( ) 1 (2 2= - + + y x 是圓心為 ) 3 1 ( ， - c ，半徑為 3 = r 的圓， 則點 ) 0 2 ( ， p 到曲線 c 的最短距離為： 3 3 ) 3 ( )

15、1 2 ( | |2 2= - + + = - = r pc d ，符合題意， c 選項， 45 9 52 2= + y x 可化為橢圓 c ： 15 92 2= +y x，設 c 上任意一點 ) sin 5 cos 3 ( q q， q ， 則點 ) 0 2 ( ， p 到曲線 c 上任意一點的距離為： q + q + q - = q + q - = =2 2 2 2sin 5 cos 9 cos 12 4 ) sin 5 ( ) cos 3 2 ( | | pq d q - = - q = + q - q = cos 2 3 ) 3 cos 2 ( 9 cos 12 cos 42 2， 5

16、 1 £ £ d ，最小值為 1 ，不符合題意， d 選項， x y 22= 上任意一點 ) 2 2 (2t t m ， ，則點 ) 0 2 ( ， p 到曲線 c 上任意一點的距離為： 2 2 4 2 2 24 4 8 4 ) 2 ( ) 2 2 ( | | t t t t t pm d + + - = + - = = 6 343)21( 2 4 4 42 2 2 4³ + - = + - = t t t ，符合題意， 故填 c。 12已知函數2 323) ( ax x x f - = ，且關于 x 的方程 0 ) ( = +a x f 有三個不等的實數根，則實

17、數 a 的取值范圍是( )。 a、 ) 2 0 ( ) 2 ( ， ， u - -¥ b、 ) 2 ( ) 2 ( ¥ + - -¥ ， ， u c、 ) 2 2 ( ， - d、 ) 2 ( ) 0 2 ( ¥ + - ， ， u 【答案】b 【解析】令 a ax x a x f x g + - = + =2 323) ( ) ( ，得 ) ( 3 3 3 ) (2a x x ax x x g - = - = ¢ ， 當 0 = a 時， 0 ) ( ³¢ xg ，函數 ) (x g 為增函數，不合題意， 當 0 <

18、 a 時， ) ( a x ， -¥ Î 、 ) 0 ( ¥ + ， 時， 0 ) ( >¢ xg ， ) 0 ( ， a xÎ 時， 0 ) ( <¢ xg ， ) ( a x ， -¥ Î 、 ) 0 ( ¥ + ， 時， ) (x g 單調遞增， ) 0 ( ， a xÎ 時， ) (x g 單調遞減， a x= 時函數有極大值為 a a a a g + - =3 323) ( ， 0 = x 時函數有極小值為 a g = ) 0 ( ， 由ïîï

19、íì<> + -00233 3aa a a得 2 - < a ， 當 0 > a 時， ) 0 ( ， -¥ Î x 、 ) ( ¥ + ， a 時， 0 ) ( >¢ xg ， ) 0 ( a x ， Î 時， 0 ) ( <¢ xg ， ) 0 ( ， -¥ Î x 、 ) ( ¥ + ， a 時， ) (x g 單調遞增， ) 0 ( a x ， Î 時， ) (x g 單調遞減， 0 = x 時函數有極大值為 a g = ) 0 (

20、 ， a x= 時函數有極小值為 a a a a g + - =3 323) ( ， 由ïîïíì< + ->02303 3a a aa得 2 > a ， 綜上，實數 a 的取值范圍是 ) 2 ( ) 2 ( ¥ + - -¥ ， ， u ，故選 b。 二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。 13已知1f 、2f 為橢圓 c ： 116222= +yax的左、右焦點， m 為橢圓上一點，且2 1 fmf d 內切圓的周長等于 p 3 ， 7 若滿足條件的點 m 恰好有兩個，則 = a

21、。 【答案】 5 ± 【解析】由題意得內切圓的半徑等于23，因此2 1 fmf d 的面積為2) ( 3) 2 2 (2321 c ac a+= + ´ ´ ， 即 c yc am2 | |212) ( 3´ ´ =+，滿足條件的點 m 恰好有兩個， m 為橢圓短軸端點，即 4 | | =my ， c a 5 3 = ，而 162 2= -c a ， 252= a ， 5 ± = a 。 14已知拋物線 y x 42= 的焦點為 f ，準線為 l ， p 為拋物線上一點，過 p 作 l pa 于點 a ，當o30 = Ðaf

22、o ( o 為坐標原點)時， = | | pf 。 【答案】34 【解析】令 l 與 y 軸交點為 b ，在 abf rtd 中，o30 = Ðafb ， 2 = bf ， 33 2= ab ，若 ) (0 0y x p ， ( 00 >x )，則33 20= x ， 代入 y x 42= 中，則310 =y ，而341 | | | |0= + = = y pf pf 。 15函數 ) (x f y = 的導函數的圖像如圖所示，給出下列判斷： 函數 ) (x f y = 在區間 ) 5 3 ( ， 內單調遞增； 函數 ) (x f y = 在區間 ) 321( ， - 內單調遞

23、減； 函數 ) (x f y = 在區間 ) 2 2 ( ， - 內單調遞增； 當21- = x 時，函數 ) (x f y = 有極大值； 當 2 = x 時，函數 ) (x f y = 有極大值； 則上述判斷中正確的是 。 【答案】 【解析】 ) 4 3 ( ， 時 0 ) ( <¢ xf ， ) (x f 單調遞減， ) 5 4 ( ， 時 0 ) ( >¢ xf ， ) (x f 單調遞增，錯， ) 221( ， - 時 0 ) ( >¢ xf ， ) (x f 單調遞增， ) 3 2 ( ， 時 0 ) ( <¢ xf

24、， ) (x f 單調遞減，錯， ) 2 2 ( ， - 時 0 ) ( >¢ xf ， ) (x f 單調遞增，對， ) 2 2 ( ， - 時 0 ) ( >¢ xf ， ) (x f 單調遞增，當21- = x 時 ) (x f 不是極大值，錯， ) 221( ， - 時 0 ) ( >¢ xf ， ) (x f 單調遞增， ) 3 2 ( ， 時 0 ) ( <¢ xf ， ) (x f 單調遞減， 2 = x 為極大值，對。 8 16已知函數 ) ( 2 ) (1 1 2 + - -+ × + - =x xe

25、e a x x x f 有唯一一個零點，則 = a 。 【答案】21 【解析】 0 )1( 1 ) 1 ( ) ( 2 ) (11 2 1 1 2= + × + - - = + × + - =- + - -xx x xee a x e e a x x x f ， 函數 ) (x f 有唯一一個零點等價于方程 )1( 1 ) 1 (11 2-+ × = + - -xxee a x 有唯一解， 等價于 1 ) 1 ( ) (2+ - - = x x g 與 )1( ) (11-+ × =xxee a x h 的圖像只有唯一一個交點， 當 0 = a 時， 1

26、 2 ) (2- ³ - = x x x f ，此時有兩個零點，矛盾， 當 0 < a 時， ) (x g 在 ) 1 ( ， -¥ 上單調遞增，在 ) 1 ( ¥ + ， 上單調遞減， 函數 ) (x g 的圖像的最高點為 ) 1 1 ( ， a ， )1( ) (11-+ × =xxee a x h 的圖像的最高點為 ) 2 1 ( a b ， ， 1 0 2 < < a ，此時 ) (x g 與 ) (x h 的圖像有兩個交點，矛盾， 當 0 > a 時，函數 ) (x g 的圖像的最高點為 ) 1 1 ( ， a ， )

27、(x h 的圖像的最底點為 ) 2 1 ( a b ， ， 由題可知點 a 與點 b 重合時滿足條件，即 1 2 = a ，即21= a ，符合條件， 綜上所述，21= a 。 三、解答題：本題共 6 小題，共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17（10 分）已知 r mÎ ，設命題 p ： 1 1 ， - Î "x ， 0 2 8 4 22 2³ - + - - m m x x 成立，命題 q ： 2 1 ， Î $x ，1 ) 1 ( log221- < + -mx x 成立。如果" q pÚ

28、'為真，" q pÙ '為假，求 m 的取值范圍。 【解析】若 p 為真：對 1 1 ， - Î "x ， 2 2 8 42 2- - £ - x x m m 恒成立， 設 2 2 ) (2- - = x x x f ，配方得 3 ) 1 ( ) (2- - = x x f ， ) (x f 在 1 1 ， - 上的最小值為 3 - ， 3 8 42- £ - m m ，解得2321£ £m ， p 為真時2321£ £m ， 3 分 若 q 為真： 2 1 ， Î $

29、x ， 2 12> + -mx x 成立，xxm12-< 成立， 設xxxxx g1 1) (2- =-= ，易知 ) (x g 在 2 1 ， 上是增函數， ) (x g 的最大值為23) 2 ( = g ， 23< m ， q 為真時23< m ， 6 分 q pÚ 為真， q pÙ 為假， p 與 q 一真一假， 9 當 p 真 q 假時ïïîïïíì³£ £232321mm，23= m ，當 p 假 q 真時ïïî

30、ïïíì<> <232321mm m 或，21< m ， 綜上所述， m 的取值范圍是21< m 或23= m 。 10 分 18（12 分）設圓 0 15 22 2= - + + x y x 的圓心為 a ，直線 l 過點 ) 0 1 ( ， b 且與 x 軸不重合， l 交圓 a 于 c 、 d 兩點，過 b 作 ac 的平行線交 ad 于點 e 。 (1)證明 | | | | eb ea + 為定值，并寫出點 e 的軌跡方程； (2)設點 e 的軌跡為曲線1c ，直線 l 交1c 于 m 、 n 兩點，過 b 且與 l

31、 垂直的直線與圓 a 交于 p 、 q 兩點，求四邊形 mpnq 面積的取值范圍。 【解析】(1)證明： | | | | ac ad = ， ac eb/ ，故 adc acd ebd Ð = Ð = Ð ， | | | | ed eb = ，故 | | | | | | | | | | ad ed ea eb ea = + = + ， 1 分 又圓 a 的標準方程為 16 ) 1 (2 2= + + y x ，從而 4 | | = ad ， 4 | | | | = + eb ea ， 2 分 由題設得 ) 0 1 ( ， - a ， ) 0 1 ( ， b ， 2

32、 | | = ab ， 點 e 的軌跡是以 a 、 b 為焦點的橢圓， 設 e ： 12222= +byax( 0 > > b a )， 0 ¹ y ， 3 分 則 2 = a 、 1 = c ， 3 = b ，則軌跡 c 的方程為 13 42 2= +y x( 0 ¹ y )； 4 分 (2)當 l 與 x 軸不垂直時，設 l 的方程為 ) 1 ( - = x k y ( 0 ¹ k )， ) (1 1y x m ， 、 ) (2 2y x n ， ， 由îíì= +- =12 4 3) 1 (2 2y xx k y得：

33、 0 12 4 8 ) 4 3 (2 2 2 2= - + - + k x k x k ， 0 > d 恒成立， 6 分 則222 14 38kkx x+= + ，222 14 312 4kkx x+-= × ，222 124 3) 1 ( 12| | 1 | |kkx x k mn+= - + = ， 7 分 過點 ) 0 1 ( ， b 且與 l 垂直的直線 m ： ) 1 (1- - = xky ， a 到 m 的距離為122+ k， 8 分 13 44 )12( 4 2 | |22222+=+- =kkkpq ， 故四邊形 mpnq 的面積3 411 12 | | |

34、|212+ = ´ ´ =kpq mn s， 9 分 可得當 l 與 x 軸不垂直時，四邊形 mpnq 面積的取值范圍為 ) 3 8 12 ( ， ， 10 分 當 l 與 x 軸垂直時，其方程為 1 = x ， 3 | | = mn ， 8 | | = pq ，四邊形 mpnq 的面積為 12 ， 11 分 10 綜上，四邊形 mpnq 面積的取值范圍為 ) 3 8 12 ， 。 12 分 19（12 分）已知函數 x e e x fx x4 2 ) (2- - = 。 (1)求 ) (x f 的單調區間； (2)當 0 > x 時， x a e x f ax) 1

35、 4 ( ) ( + - < × 恒成立，求 a 的取值范圍。 【解析】(1) ) (x f 的定義域為 r ， ) 2 )( 1 ( 2 4 2 2 ) (2- + = - - = ¢x x x xe e e e x f ， 令 0 ) ( =¢ xf ，解得 2 ln = x ， 2 分 當 ) 2 ln ( ， -¥ Î x ， 0 ) ( <¢ xf ，則函數 ) (x f 在 ) 2 ln ( ， -¥ 上單調遞減， 3 分 當 ) 2 (ln ¥ + Î ， x ， 0 ) ( &

36、gt;¢ xf ，則函數 ) (x f 在 ) 2 (ln ¥ + ， 上單調遞增； 4 分 (2)令 x e a e a x a e x f a x gx x x+ + - × = + + - × = ) 1 2 ( ) 1 4 ( ) ( ) (2， 則當 ) 0 ( ¥ + Î ， x 時， 0 ) ( < x g 恒成立， ) 1 )( 1 2 ( 1 ) 1 2 ( 2 ) (2- - × = + + - × = ¢x x x xe e a e a e a x g ， 5 分 當210 &

37、lt; < a ， ) 2 ln ( ¥ + - Î ， a x 時， 0 ) ( >¢ xg 恒成立， ) (x g 在 ) 2 ln ( ¥ + - ， a 上是增函數，且 ) ) 2 ln ( ( ) ( ¥ + - Î ， a g x g ，不符合題意， 7 分 當21³ a ， ) 0 ( ¥ + Î ， x 時， 0 ) ( >¢ xg 恒成立， ) (x g 在 ) 0 ( ¥ + ， 上是增函數，且 ) ) 0 ( ( ) ( ¥ + 

38、06; ， g x g ，不符合題意， 9 分 當 0 £ a ， ) 0 ( ¥ + Î ， x 時，恒有 0 ) ( <¢ xg ，故 ) (x g 在 ) 0 ( ¥ + ， 上是減函數， 于是" 0 ) ( < x g 對任意 ) 0 ( ¥ + Î ， x 都成立'的充要條件是 0 ) 0 ( £ g ， 即 0 ) 1 2 ( £ + - a a ，解得 1 - ³ a ，故 0 1 £ £ - a ， 11 分 綜上， a 的取值范

39、圍是 0 1 ， - 。 12 分 20（12 分）已知點 p 是圓1f ： 16 ) 1 (2 2= + + y x 上任意一點(1f 是圓心)，點2f 與點1f 關于原點對稱，線段2pf 的中垂線 m 分別與1pf 、2pf 交于 m 、 n 兩點。 (1)求點 m 的軌跡 c 的方程； (2)直線 l 經過2f ，與拋物線 x y 42= 交于1a 、2a 兩點，與 c 交于1b 、2b 兩點，當以2 1 bb 為直徑的圓經過1f時，求 | |2 1 aa 。 【解析】(1)由題意得 ) 0 1 (1， - f ， ) 0 1 (2， f ，圓1f 的半徑為 4 ，且 | | | |2m

40、p mf = ， 1 分 | | 4 | | | | | | | | | |2 1 1 1 2 1f f pf mp mf mf mf > = = + = + ， 點 m 的軌跡是以1f 、2f 為焦點的橢圓， 2 分 設 c ： 12222= +byax( 0 > > b a )，則 2 = a 、 1 = c ， 3 = b ， 11 則軌跡 c 的方程為 13 42 2= +y x； 3 分 (2)當直線 l 與 x 軸垂直時，可取 )231 (1， b ， )231 (2- ， b ，又 ) 0 1 (1， - f ，此時 01 2 1 1¹ ×

41、f b f b ， 以2 1 bb 為直徑的圓不經過1f ，不滿足條件， 4 分 當直線 l 不與 x 軸垂直時，設 l ： ) 1 ( - = x k y ，由ïîïíì= +- =13 4) 1 (2 2y xx k y， 得 0 12 4 8 ) 4 3 (2 2 2 2= - + - + k x k x k ， 0 > d 恒成立，恒有兩個交點， 6 分 設 ) (1 1 1y x b ， ， ) (2 2 2y x b ， ，則222 14 38kkx x+= + ，222 14 312 4kkx x+-= × ， 7

42、 分 以2 1 bb 為直徑的圓經過1f ， 01 2 1 1= × f b f b ， 又 ) 0 1 (1， - f ， 0 ) 1 )( 1 (2 1 2 1= × + - - - - y y x x ， 即 0 1 ) )( 1 ( ) 1 (22 122 12= + + + - + × + k x x k x x k ，解得792= k ， 9 分 由îíì- =) 1 (42x k yx y得： 0 ) 4 2 (2 2 2 2= + + - k x k x k ，直線 l 與拋物線有兩個交點， 0 ¹ k ，

43、設 ) (3 3 1y x a ， 、 ) , (4 4 2y x a ，則2 224 3424 2k kkx x + =+= + ， 14 3= ×x x ， 11 分 964242 | |24 3 2 1= + + = + + =kp x x a a。 12 分 21（12 分）已知函數2 3) ( ax x x f - = ，常數 r aÎ 。 (1)若 1 = a ，過點 ) 0 1 ( ， 做曲線 ) (x f y = 的切線 l ，求 l 的方程； (2)若曲線 ) (x f y = 與直線 1 - = x y 只有一個交點，求實數 a 的取值范圍。 【解析】(

44、1)設切點 ) (0 0y x p ， ，則 p 處的切線方程為2030 0 020) )( 2 3 ( x x x x x x y - + - - = ， 1 分 該直線經過點 ) 0 1 ( ， ，則2030 0 020) 1 )( 2 3 ( 0 x x x x x - + - - = ， 2 分 化簡得 0 202130= + - x x x ，解得 00 =x 或 10 =x ， 3 分 切線方程為 0 = y 和 1 - = x y ； 4 分 (2)由題意可知 0 12 3= + - - x ax x 只有一個根，設 1 ) (2 3+ - - = x ax x x g ， 5

45、分 則 1 2 3 ) (2- - = ¢ ax x x g ， 0 12 42> + = d a ， ) (xg¢有兩個零點1x 、2x ， 6 分 即 0 1 2 32= - - ax x 有兩個根1x 、2x ，322 1ax x = + ， 0312 1< - = ×x x ，xxa21 32-= ， 7 分 設2 10 x x < < ，則 ) (x g 在 ) (1x ， -¥ 和 ) (2¥ + ， x 單調遞增，在 ) (2 1x x， 單調遞減， 12 則 ) (1x g 為極大值， ) (2x g 為

46、極小值， 8 分 則方程 0 12 3= + - - x ax x 只有一個根等價于 0 ) (1> x g 且 0 ) (2> x g 或 0 ) (1< x g 且 0 ) (2< x g ， 又當 0 ) ( =¢ xg 時 12 21121 313 223 2 3+ - - = + - ×- = + - -xx x xxxx x ax x ， 10 分 設 12 21) (3+ - - =xx x h ， 02123) (2< - - = ¢ x x h ， ) (x h 為減函數， 又 0 ) 1 ( = h ， 1 < x 時 0 ) ( > x h ， 1 > x 時 0 ) ( < x h ， 1x 、2x 都大于 1 或小于 1 ，